第25讲 余弦定理和正弦定理及其应用（第一课时 余弦定理和正弦定理）课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“余弦定理和正弦定理及其应用”专题，依据课标要求“掌握正、余弦定理，解斜三角形，培养运算求解能力”，系统梳理正弦定理、余弦定理、面积公式、射影定理等核心考点，通过近三年高考真题分析明确解三角形、形状判断、面积周长问题等高频题型分布，构建完整备考体系。 课件亮点在于“考点突破+真题实战+素养落地”，如例1用正弦定理解决已知两边一角的多解问题，例2通过边角互化判断三角形形状，培养学生数学思维与运算能力。设置基础检测易错点分析和答题模板，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准把握高考命题趋势，提升复习效率。

第25讲 余弦定理和正弦定理及其应用 第一课时 余弦定理和正弦定理 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求 解能力. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.正弦定理、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 变形形 式 ， ________， ________； ___， ___， ___； （其中为 外接圆半径） ， _________________， __________________； 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 定理 正弦定理 余弦定理 变形 形式 ________________； ， ， ， _ ________， _________ 2.三角形的面积：___________________________ （为三角形外接圆半径， 为内切圆半径）. 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 【重要结论】 在△ABC中，常有以下结论: (1)A+B+C=π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A+B)=sin C; cos(A+B)=-cos C; tan(A+B)=-tan C; sin=cos; cos =sin . (5)三角形中的射影定理:在△ABC中，a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A; c=bcos A+acos B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　) (2)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　) (3)当b2+c2-a2>0时，△ABC为锐角三角形.(　　) (4)在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解.(　　) (5)在△ABC中，若A∶B∶C=1∶2∶3，则a∶b∶c=1∶2∶3.(　　) × √ × × × 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 2.[必修2p44例6]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，则角A的大小为(　　) A. B. C. D. D [解析] 因为b2+c2=a2+bc， 所以由余弦定理可得cos A= = = ， 因为0<A<π，所以A= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b= ，a=3，则∠C=(　　) A. B. C. D. C [解析] ∵A=，b=，a=3， ∴由正弦定理= ，可得 = ，∴sin B= ， ∵b<a，∴B为锐角，∴B= ，∴C=π-A-B= .故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 4.在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C [解析] 由正弦定理知= =2R(R为△ABC外接圆半径). 若sin A>sin B，则>，即a>b，所以A>B; 若A>B，则a>b，所以2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B， 所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要条件. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 5.在△ABC中，a=2，b=3，C=60°，则c=　　　　，△ABC的面积 为　　　　.  [解析] 易知c= =， △ABC的面积等于×2×3× = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 考点1 利用正弦、余弦定理解三角形 例1　(1)在△ABC中，a=，b=1，∠B=30°，则∠A=(　　) A.30° B.60° C.60°或120° D.120° C [解析] ∵a=，b=1，∠B=30°，∴根据正弦定理 = ， 得sin A= = = ，又a>b，得到∠A>∠B，即30°<∠A<180°， 则∠A=60°或120°.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 (2)(2025·山西晋城·二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A+B)=2sin2A-1. (ⅰ)证明:C=2A; (ⅱ)若a=，b=2，求c. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 [解析] (ⅰ)由三角形内角和A+B+C=π及二倍角的余弦公式cos 2A=1-2sin2A， 可得cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C， 即-cos C=-cos 2A，则cos C=cos 2A. 又A，C∈(0，π)，2A∈(0，2π)，所以C=2A，或C+2A=2π， 因为A+C<π，所以C+2A<2π，故C=2A. (ⅱ)由正弦定理，得= ，所以c= = =2cos A，所以 cos A= ，由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，得3=12+c2-2×2c×，解得c=3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 [小结]1.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 2.利用正弦定理的变形,达到边化角、角化边消元的目的,进一步可解三角形. 3.由正弦定理容易得到:在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即A>B⇔a>b⇔sin A>sin B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，c=1，b=2，A=60°，则△ABC的外接圆半径是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 D [解析] 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=4+1-2×2×1×=3，所以a=(舍负)， 设△ABC的外接圆半径为R，根据正弦定理， 可得2R= = =2，所以R=1. 故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a=c，cos C=. (1)求sin A的值; (2)若b=11，求△ABC的面积. [解析] (1)∵cos C=，0<C<π，∴sin C= . ∵4a=c，∴由正弦定理知4sin A=sin C，则sin A= sin C= . (2)∵4a=c，∴由余弦定理得cos C= = = = ， 即a2+6a-55=0，解得a=5，而sin C= ，b=11， ∴△ABC的面积S= absin C=×5×11×=22. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 考点2 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 例2　(1)在△ABC中，若c=2acos B，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.非等边三角形 B [解析] 由c=2acos B及正弦定理得sin C=2sin A·cos B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B， 所以sin Acos B=cos Asin B，即sin(A-B)=0， 因为A，B∈(0，π)，所以A-B∈(-π，π)， 所以A-B=0，即A=B.故△ABC为等腰三角形.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 (2)(多选)(2025·江苏南通·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC的中点，则(　　 ) A.若AD=csin B，则△ABC是等腰三角形 B.若AD= ，则△ABC是直角三角形 C.若AD>，则△ABC是锐角三角形 D.若AD<，则△ABC是钝角三角形 ABD 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 [解析] 对于A，由正弦定理可得= ， 故sin∠ADB=1， 而∠ADB为三角形内角，故∠ADB为直角，故△ABC是等腰三角形，故A正确; 对于B，因为AD= ，由正弦定理得AD= = = BC， 故△ABC是直角三角形，故B正确; 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 对于C，取BC=8，AD=5，AC=2，则DC=4，AD>， 因为2+4>5，故△ACD存在，故△ABC存在， 此时由余弦定理得cos C=<0，故角C为钝角，故△ABC是钝角三角形，故C错误; 对于D，因为=(+)，故=(++2·)， 故(++2·)<a2， 由余弦定理可得(c2+b2+2bccos∠BAC)<(c2+b2-2bccos∠BAC)， 故cos∠BAC<0，故∠BAC为钝角，故△ABC是钝角三角形，故D正确. 故选ABD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 [小结]判断三角形形状的两种思路 (1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 3.若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且sin2C=sin A·sin B，那么△ABC是(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 B [解析] 由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得:a2+b2-c2=ab， 在△ABC中，由余弦定理得cos C= = ，而0°<C<180°，则C=60°， 由正弦定理及sin2C=sin Asin B得:c2=ab，于是得a2+b2-2ab=0，整理得a=b， 所以△ABC是等边三角形.故选B. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 4.(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(　 　) A.若acos A=bcos B，则△ABC一定是等腰三角形 B.若cos(A-B)·cos(B-C)=1，则△ABC一定是等边三角形 C.若acos C+ccos A=c，则△ABC一定是等腰三角形 D.若cos(2B+C)+cos C>0，则△ABC一定是钝角三角形 BCD [解析] 对于A:因为acos A=bcos B， 由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B，所以sin 2A=sin 2B， 因为A，B为△ABC的内角，所以2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B= ， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，A错误; 对于B:由余弦函数的有界性可知-1≤cos(A-B)≤1，-1≤cos(B-C)≤1， 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 因为cos(A-B)·cos(B-C)=1，所以cos(A-B)=1，cos(B-C)=1或cos(A-B)=-1，cos(B-C)= -1， 当cos(A-B)=1，cos(B-C)=1时，有A=B且B=C，所以A=B=C= ， 所以△ABC是等边三角形， 当cos(A-B)=-1，cos(B-C)=-1时，有A-B=π且B-C=π，不符合题意， 所以△ABC一定是等边三角形，B正确; 对于C:因为acos C+ccos A=c，由余弦定理得a·+c· =c， 所以2b2=2bc，所以b=c，则△ABC一定是等腰三角形，C正确; 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 对于D:在△ABC中，A+B+C=π， 所以cos(2B+C)=cos(B+π-A)= -cos(B-A)， 而cos C=cos(π-A-B)= -cos(A+B)， 所以cos(2B+C)+cos C= -cos(B-A)-cos(B+A)>0， 所以cos(B-A)+cos(B+A)<0， 即2cos Bcos A<0，所以cos B<0或cos A<0， 所以△ABC一定是钝角三角形，D正确. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 考点3 与三角形面积、周长有关的问题 例3　(1)已知△ABC的面积为10，且AB=7，∠ACB=60°，则该三角形的周长为(　　) A.15 B.18 C.20 D.21 C [解析] 设△ABC中，角A，B，C对应的边为a，b，c， 则S=absin C=ab=10，解得ab=40， 由余弦定理得cos C= = = = ， 解得(a+b)2=169，即a+b=13，所以△ABC的周长为a+b+c=20.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 (2)在△ABC中，c=7，cos A=-，a+b=11，求: (ⅰ)a的值; (ⅱ)sin C和△ABC的面积. [解析] (ⅰ)∵c=7，cos A= - ，a+b=11， 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos A，即a2=(11-a)2+72-2(11-a)·7·，解得a=8. (ⅱ)∵cos A= - ，A∈(0，π)，∴sin A==， 由正弦定理得:= ，∴ = ，∴sin C= ， S=basin C= ×(11-8)×8×=6. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 [小结](1)对于面积公式S=absin C=ac·sin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积、周长有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C+ccos B= -atan C，b=2a，△ABC的面积为2，则c=(　　) A.2 B.2 C.3 D.2 D 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 [解析] 因为bcos C+ccos B= - atan C， 所以sin Bcos C+cos Bsin C= - sin Atan C，整理得sin A=-sin Atan C， 因为sin A>0，所以tan C=-. 又C∈(0，π)，所以C= . 因为△ABC的面积为2，b=2a， 所以a·2a·sin =2，解得a=2，b=4， 所以c2=22+42+2×2×4×=28，则c=2.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 6.(2025·江西萍乡·三模)已知△ABC中，cos A+2sincos=1，且A≠. (1)若BC=2，求△ABC的外接圆面积; (2)若=4，∠DAB=90°，△ABD的面积为2，求△ABC的周长. [解析] (1)依题意，cos A+sin=1，则cos A-cos 2A=1， 故cos A-2cos2A=0，因为A∈(0，π)，且A≠，故cos A= ，则sin A= ， 故△ABC的外接圆半径R= = ，故△ABC的外接圆面积S=πR2= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 (2)由∠DAB=90°，由(1)知，∠CAD=，又=4，则BC=3CD， 所以S△ABC=3S△ACD，则·AB·AC·sin=3··AD·AC·sin，故AB=AD. 由△ABD的面积为2，则AB·AD=2，代入AB=AD，可得AB=2，AD=2，又S△ABC= S△ABD，则AB·AC·sin = ×2，解得AC=， 由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=9，解得BC=3， 故△ABC的周长为3+3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 考点4 射影定理的应用 例4　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C，则下列等式成立的是(　　) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A A [解析] 由正弦定理及射影定理acos C+ccos A=b知， sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C可化为 b+2bcos C=2acos C+ccos A=acos C+(acos C+ccos A)=acos C+b， 即2bcos C=acos C， 又因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b=a. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 (2)(2025·四川宜宾·三模)在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且acos C+asin C-b-c=0. (ⅰ)求A; (ⅱ)若b=1，△ABC的面积为，求a. [解析] (ⅰ)因为acos C+asin C-b-c=0， 所以asin C-c=b-acos C， 由射影定理得ccos A+acos C=b， 即asin C-c=ccos A，于是sin A-cos A=1， 即sin=，又A∈(0，π)，解得A=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 (ⅱ)因为S△ABC= bcsin A= c=， 解得c=4， 又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A， 得到a2=17-4=13，解得a=. [小结]射影定理:a=bcos C+ccos B，b=ccos A+acos C，c=acos B+bcos A， 整体使用，减少运算. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin B+bcos A=c，则B=(　　) A. B. C. D. D [解析] 因为acos B+bcos A=a×+b×=c， 所以c=acos B+bcos A=asin B+bcos A，即tan B=，∠B= .故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 8.(2023·郑州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2ccos C=acos B-bcos(B+C). (1)求角C; (2)若c=6，△ABC的面积S=6bsin B，求S. [解析] (1)因为A+B+C=π，所以cos(B+C)= -cos A， 所以2ccos C=acos B+bcos A， 由射影定理得2ccos C=c， 所以cos C=，则C= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 (2)由S=6bsin B，根据面积公式得6bsin B=acsin B=3asin B，所以a=2b. 由余弦定理得cos C== ， 整理得a2+b2-ab=36，即3b2=36， 所以b=2，a=4， 所以△ABC的面积S=absin C= ×4×2×=6. 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 走进高考 1.(2025·全国二卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° A [解析] 由题意得cos A= = = ， 又0°<A<180°，所以A=45°.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 2.(2025·全国一卷)(多选)已知△ABC的面积为，若cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos A·cos B·sin C=，则(　　) A.sin C=sin2A+sin2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 ABC [解析] cos 2A+cos 2B+2sin C=2，由二倍角公式，1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2， 整理可得，sin C=sin2A+sin2B，A选项正确; 由诱导公式，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，展开可得sin Acos B+sin Bcos =sin2A+sin2B， 即sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0，下证C=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 方法一:分类讨论 若A+B=，则sin A=cos B，sin B=cos A可知等式成立; 若A+B<，即A<-B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin A<cos B， 同理sin B<cos A，又sin A>0，sin B>0， 于是sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)<0， 与条件不符，则A+B<不成立; 若A+B>，类似可推导出sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)>0，则A+B>不成立. 综上讨论可知，A+B=，即C=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 方法二:边角转化 sin C=sin2A+sin2B时，由C∈(0，π)，则sin C∈(0，1]， 于是1×sin C=sin2A+sin2B≥sin2C，由正弦定理，a2+b2≥c2， 注意到cos Acos Bsin C=，则cos Acos B>0， 由余弦定理可知，cos C≥0，则C∈，若C∈，则A+B>， 于是cos A>0，cos B>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈， 结合A+B>⇔A>-B，而A，-B都是锐角，则sin A>sin=cos B>0， 于是sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和sin C≤1相矛盾，故C∈不成立，则C= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 方法三:结合射影定理(方法一改进) 由sin C=sin2A+sin2B，结合正弦定理可得，c=asin A+bsin B，由射影定理可得c=acos B+bcos A，于是asin A+bsin B=acos B+bcos A， 则a(sin A-cos B)+b(sin B-cos A)=0，可同方法一中讨论的角度，推出A+B=. 方法四:和差化积(方法一改进) 续法三: a(sin A-cos B)+b(sin B-cos A)=0，可知sin A-cos B，sin B-cos A同时为0或者异号，即(sin A-cos B)(sin B-cos A)≤0，展开可得， sin Asin B-sin Acos A-cos Bsin B+cos Acos B≤0， 名师导学第一轮总复习 高三数学 43 即cos(A-B)-(sin 2A+sin 2B)≤0，结合和差化积，cos(A-B)(1-sin(A+B))≤0， 由上述分析，A，B∈，则A-B∈，则cos(A-B)>0， 则1-sin(A+B)≤0，即sin C≥1，于是sin C=1，可知C= . 由cos Acos Bsin C= =cos Acos B，由A+B=，则cos B=sin A，即sin Acos A= ， 则sin 2A=，同理sin 2B= ，由上述推导，A，B∈，则2A，2B∈(0，π)， 不妨设A<B，则2A= ，2B= ，即A= ，B= ，由两角和差的正弦公式可知sin+sin = + = ，C选项正确; 名师导学第一轮总复习 高三数学 44 由两角和的正切公式可得，tan =2+， 设BC=t，AC=(2+)t，则AB=(+)t， 由S△ABC= (2+)t2= ，则t2= =，则t= ， 于是AB=(+)t=，B选项正确; 由勾股定理可知，AC2+BC2=2，D选项错误. 故选ABC. 名师导学第一轮总复习 高三数学 45 $