2027年高考数学一轮复习优质课件第❷课时　正弦定理、余弦定理的综合应用

该高中数学高考复习课件聚焦“正弦定理、余弦定理综合应用”专题，依据高考评价体系梳理了平面多边形解三角形、最值范围、与三角函数综合三大核心考点，通过2023新课标Ⅰ卷真题及2024模拟题分析考点权重，归纳多边形拆分、均值不等式求最值等常考题型，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题精研+方法建模+素养提升”策略，如例3以2023新课标Ⅰ卷为载体，用内角和定理与正弦定理培养数学思维，方法技巧中“多边形拆分”“函数构建”发展数学眼光，针对训练强化数学语言表达，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，实现高效冲刺。

第四章　三角函数、解三角形 第六节　正弦定理、余弦定理及其实际应用 第❷课时　正弦定理、余弦定理的综合应用 第四章　三角函数、解三角形 目 录 CONTENTS 01 关键能力 精准突破 考点1　平面多边形中解三角形问题 （精研通） 【例1】 如图，在平面四边形 ABCD ，已知 BC ＝1， cos ∠ BCD ＝－ . （1）若 AC 平分∠ BCD ，且 AB ＝2，求 AC 的长； （2）若∠ CBD ＝45°，求 CD 的长. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 解：（1）若 AC 平分∠ BCD ，则∠ BCD ＝2∠ ACB ＝2∠ ACD ， ∴ cos ∠ BCD ＝ 2 cos 2∠ ACB －1＝－ ， ∵ cos ∠ ACB ＞0，∴ cos ∠ ACB ＝ . 由余弦定理 AB2＝ BC2＋ AC2－2 BC · AC · cos ∠ ACB ， 得 AC2－ AC －3＝0， 解得 AC ＝ 或 AC ＝－ （舍去），∴ AC ＝ . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 （2）∵ cos ∠ BCD ＝－ ， ∴ sin ∠ BCD ＝ ＝ ， 又∵∠ CBD ＝45°，∴ sin ∠ CDB ＝ sin （180°－∠ BCD －45°）＝ sin （∠ BCD ＋ 45°）＝ （ sin ∠ BCD ＋ cos ∠ BCD ）＝ ， ∴在△ BCD 中，由正弦定理 ＝ 可得 CD ＝ ＝5，即 CD ＝5. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 多边形背景解三角形问题的求解思路 （1）分拆：把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用 正弦、余弦定理求解. （2）寻关系：即寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. （3）提醒：解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角 关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解 决问题. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 　如图，在圆内接四边形 ABCD 中， B ＝120°， AB ＝2， AD ＝2 ，△ ABC 的面 积为 . （1）求 AC ； （2）求∠ ACD . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 解：（1）因为△ ABC 的面积为 ，所以 AB · BC sin B ＝ .又因为 B ＝120°， AB ＝2，所以 BC ＝2. 由余弦定理得， AC2＝ AB2＋ BC2－2 AB · BC cos B ＝22＋22－2×2×2 cos 120°＝ 12， 所以 AC ＝2 . （2）因为四边形 ABCD 为圆内接四边形，且 B ＝120°，所以 D ＝60°. 又 AD ＝2 ，由正弦定理可得， ＝ ， 故 sin ∠ ACD ＝ ＝ ＝ . 因为 AC ＞ AD ，所以0°＜∠ ACD ＜60°，所以∠ ACD ＝45°. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 考点2　解三角形中的最值或范围问题 （精研通） 【例2】 （2024·山东淄博模拟）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，满足（ a ＋ b ＋ c ）（ a ＋ b － c ）＝ ab . （1）求角 C ； （2）若角 C 的平分线交 AB 于点 D ，且 CD ＝2，求2 a ＋ b 的最小值. 解：（1）由（ a ＋ b ＋ c ）（ a ＋ b － c ）＝ ab 可得： a2＋ b2－ c2＝－ ab ， 由余弦定理知， cos C ＝ ＝－ ＝－ ， 又 C ∈（0，π），因此 C ＝ . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 （2）在△ ACD 中，由 ＝ ，得 AD ＝ ， 在△ BCD 中，由 ＝ ，可得 BD ＝ ， 所以 c ＝ AD ＋ BD ＝ ＋ ； 在△ ABC 中，由 ＝ ＝ 得 ＝ ＝ ， 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 解得 a ＝2（1＋ ）， b ＝2（1＋ ）， 所以2 a ＋ b ＝2（3＋ ＋ ）， 因为 sin A ＞0， sin B ＞0， 所以2 a ＋ b ≥2（3＋2 ）＝2（3＋2 ）＝6＋4 ， 当且仅当2 sin 2 A ＝ sin 2 B 时取等号， 因此2 a ＋ b 的最小值为6＋4 . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 解与三角形有关的最值（范围）问题的方法 （1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本量，确定基本 变量的范围； （2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本 变量的函数； （3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 　（2024·江苏南通高三开学考试）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知2 b sin B ＝ a sin B cos C ＋ c sin A cos B . （1）求 ； （2）若 c ＝1，求角 B 的取值范围. 解：（1）由正弦定理结合2 b sin B ＝ a sin B cos C ＋ c sin A cos B ， 可得2 sin B sin B ＝ sin A sin B cos C ＋ sin C sin A cos B ， 即2 sin B sin B ＝ sin A （ sin B cos C ＋ sin C cos B ）＝ sin A sin （ B ＋ C ）， 故2 sin 2 B ＝ sin 2 A ，所以2 b2＝ a2，故 ＝ . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 （2）由（1）得 a ＝ b ，故 cos B ＝ ＝ ＝ （ b ＋ ）≥ ， 当且仅当 b ＝ 即 b ＝1时取等号， 又 B ∈（0，π），故 B ∈（0， ］. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 考点3　解三角形与三角函数的综合问题 （精研通） 【例3】 （2023·新课标Ⅰ卷）已知在△ ABC 中， A ＋ B ＝3 C ，2 sin （ A － C ）＝ sin B . （1）求 sin A ； （2）设 AB ＝5，求 AB 边上的高. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 解：方法一　（1）在△ ABC 中， A ＋ B ＝π－ C ， 因为 A ＋ B ＝3 C ，所以3 C ＝π－ C ，所以 C ＝ . 因为2 sin （ A － C ）＝ sin B ， 所以2 sin （ A － ）＝ sin （ － A ）， 展开并整理得 （ sin A － cos A ）＝ （ cos A ＋ sin A ）， 得 sin A ＝3 cos A ， 又 sin 2 A ＋ cos 2 A ＝1，且 sin A ＞0， 所以 sin A ＝ . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 （2）由正弦定理 ＝ ， 得 BC ＝ × sin A ＝ × ＝3 ， 由余弦定理 AB2＝ AC2＋ BC2－2 AC · BC cos C ， 得52＝ AC2＋（3 ）2－2 AC ·3 cos ， 整理得 AC2－3 AC ＋20＝0， 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 解得 AC ＝ 或 AC ＝2 ， 由（1）得，tan A ＝3＞ ，所以 ＜ A ＜ ， 又 A ＋ B ＝ ，所以 B ＞ ， 即 C ＜ B ，所以 AB ＜ AC ，所以 AC ＝2 ， 设 AB 边上的高为 h ，则 × AB × h ＝ × AC × BC sin C ， 即5 h ＝2 ×3 × ， 解得 h ＝6， 所以 AB 边上的高为6. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 方法二　（1）在△ ABC 中， A ＋ B ＝π－ C ， 因为 A ＋ B ＝3 C ，所以3 C ＝π－ C ，所以 C ＝ . 因为2 sin （ A － C ）＝ sin B ， 所以2 sin （ A － C ）＝ sin [π－（ A ＋ C ）]＝ sin （ A ＋ C ）， 所以2 sin A cos C －2 cos A sin C ＝ sin A cos C ＋ cos A sin C ， 所以 sin A cos C ＝3 cos A sin C ， 易得 cos A cos C ≠0， 所以tan A ＝3tan C ＝3tan ＝3， 又 sin A ＞0， 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 所以 sin A ＝ ＝ . （2）由（1）知 sin A ＝ ，tan A ＝3＞0，所以 A 为锐角， 所以 cos A ＝ ， 所以 sin B ＝ sin （ － A ）＝ （ cos A ＋ sin A ）＝ ×（ ＋ ）＝ ， 由正弦定理 ＝ ， 得 AC ＝ ＝ ＝2 ， 故 AB 边上的高为 AC × sin A ＝2 × ＝6. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 三角形与三角函数综合问题的策略 （1）“三统一”：即“统一角，统一函数，统一结构”； （2）定理公式应用：注意正、余弦定理，三角形内角和定理及三角形面积公式的 应用. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 　在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，1＋ sin 2 A ＝（3tan B ＋ 2） cos 2 A . （1）若 C ＝ ，求tan B 的值； （2）若 A ＝ B ， c ＝2，求△ ABC 的面积. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 解：（1）若 C ＝ ，则 A ＋ B ＝ ， 因为1＋2 sin 2 A ＝（3tan B ＋2） cos 2 A ， cos 2 A ≠0， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝tan（ A ＋ ）＝3tan B ＋ 2，所以tan（ － B ）＝3tan B ＋2⇒ ＝3tan B ＋2， 解得tan B ＝ 或－1，因为 B ∈（0， ）， 所以tan B ＝ . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 （2）若 A ＝ B ，由tan（ A ＋ ）＝3tan B ＋2， 可得 ＝3tan A ＋2，整理可得tan2 A ＝ ，即tan A ＝± ， 因为 A ＝ B ∈（0， ）， 所以tan A ＝ ， A ＝ B ＝ ，所以 C ＝ ， 所以△ ABC 是以 C 为顶角的等腰三角形， a ＝ b ＝ ＝ ， 所以△ ABC 的面积为 S ＝ ab sin C ＝ × × × ＝ . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第四章　三角函数、解三角形 谢谢观看！ $