第七节 余弦定理和正弦定理 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“正弦定理与余弦定理”核心模块，依据高考评价体系明确了解三角形、判断形状、面积计算三大考查方向，通过教材改编题与模拟题分析，梳理出“边角互化”“公式选择”“解的个数判断”等高频考点，构建了从知识清单到真题应用的完整备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”的复习路径，如以2025年全国Ⅱ卷解三角形题为例，提炼“余弦定理优先处理边的二次式”的解题策略，培养学生的数学思维与运算能力。设“易错诊断”“学霸笔记”专栏，帮助学生规避公式误用等问题，教师可依托分层训练实现精准复习，助力学生高效突破高考高频考点。

第七节　余弦定理和正弦定理 1 知识清单 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 公式 a2＝_______________， b2＝_______________， c2＝________________ ＝________＝________＝2R 常见变形 cos A＝____________，   cos B＝____________，   cos C＝____________ (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝________________； (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B， a sin C＝c sin A b2＋c2－2bc cos A a2＋c2－2ac cos B a2＋b2－2ab cos C sin A∶sin B∶sin C 返回导航 2 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 项目 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 ________ ________ ________ ____ ____ 1 2 1 1 0 返回导航 3 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝ab sin C＝________＝________； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． bc sin A ac sin B 返回导航 4 【常用结论】 1．三角形中的三角函数关系 (1)sin (A＋B)＝sin C； (2)cos (A＋B)＝－cos C； (3)sin ＝cos ； (4)cos ＝sin . 2．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B． 返回导航 5 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．(　　) × √ × × 返回导航 6 2．(人教A版必修二P44练习T2改编)在△ABC中，a＝2，b＝＋1，则最小角为(　　) A．15°　　B．30° C．45°　　D．60° 答案：B 解析：因为b<a<c，所以b边所对的角最小，所以由余弦定理得cos B＝，又0°<B<90°，所以B＝30°.故选B. 返回导航 7 3．(人教A版必修二P47例7改编)在△ABC中，A＝15°，B＝45°，c＝3＋，则a＝(　　) A. B． C． D． 答案：C 返回导航 8 解析：由三角形内角和定理，得C＝180°－(15°＋45°)＝120°，由正弦定理，得 a＝＝ ＝.故选C. 返回导航 9 4．(人教A版必修二P47例8改编)在△ABC中，B＝30°，b＝，c＝2，则这个三角形解的个数为________． 2 解析：由正弦定理，得sin C＝.因为c＞b，B＝30°，所以30°＜C＜180°.所以C＝45°或C＝135°.故这个三角形有两解． 返回导航 10 02.考教衔接·活用教材 返回导航 11 命题点一　利用正弦、余弦定理解三角形 例1 (1)(链接·2025年全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 答案：A　 解析：由题意得cos A＝，又0°<A<180°，所以A＝45°.故选A. 返回导航 12 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝－，sin B＝，b＝2，则a＝(　　) A．3 B． C．4 D．5 答案：C 解析：因为cos A＝－，所以sin A＝，由正弦定理可知⇒a＝＝4. 返回导航 13 学霸笔记：在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 返回导航 14 　跟踪训练　(1)(2026·张家口模拟)在△ABC中，满足a2＝b2＋c2＋bc，则A＝(　　) A．150° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 答案：A　 解析：因为a2＝b2＋c2＋bc，即b2＋c2－a2＝，所以cos A＝，且0°<A<180°，所以A＝150°.故选A. 返回导航 15 (2)在△ABC中，若A＝，cos B＝，BC＝6，则AC＝(　　) A．4 B．4 C．3 D． 答案：A　 解析：根据题意，cos B＝，所以B∈，且sin B＝，由正弦定理得，即，解得AC＝4.故选A. 返回导航 16 命题点二　判断三角形的形状 例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c cos B＝b－c cos A，且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为(　　) A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 答案：D 返回导航 17 解析：由c2＝a2＋b2－ab得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝.又C∈(0，π)，所以C＝.由a－c cos B＝b－c cos A，根据正弦定理可得sin A－sin C cos B＝sin B－sin C cos A，又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，所以sin B cos C＝sin A cos C．又cos C≠0，所以sin B＝sin A，由正弦定理可得a＝b.因为a＝b，C＝，所以△ABC是等边三角形．故选D. 返回导航 18 学霸笔记：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系． (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁． 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能，注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制． 返回导航 19 　跟踪训练　在△ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 答案：A 返回导航 20 解析：cos2，则sin C＋sin C·cos A＝sin B＋sin C，即sin C·cos A＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A·cos C＋sin C·cos A，则sin A·cos C＝0，由A，C∈(0，π)，则cos C＝0，故C＝，即△ABC的形状为直角三角形．故选A. 返回导航 21 命题点三　与三角形面积有关的问题 例3(2026·保定模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝3sin C，cos B＝－. (1)求的值； 解析：因为sin A＝3sin C，所以由正弦定理得a＝3c， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9c2＋c2－2×3c×c×＝12c2， 则b＝2c，所以. 返回导航 22 (2)若D为边BC上靠近点B的三等分点，AD＝2，求△ABC的面积． 解析：由题意得BD＝＝c， 在△ABD中，由余弦定理得AD2＝c2＋c2－2×c×c×＝c2＝24， 所以c＝3，则a＝9，又sin B＝， 所以S△ABC＝ac sinB＝. 返回导航 23 学霸笔记：(1)求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积； (2)已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系； (3)已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形． 返回导航 24 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P54T22)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0. (1)求A； 解析：根据正弦定理得＝2R，则a cos C＋a sin C－b－c＝0可变为2R sin A cos C＋2R·sin A sin C－2R sin B－2R sin C＝0，且B＝π－(A＋C)，即sin A cos C＋sin A sin C－sin (A＋C)－sin C＝0，可得sin C－cos A sin C－sin C＝0，且在△ABC中，sin C＞0，则sin A－cos A＝1，即sin ＝，且A∈(0，π)．综上，A＝. 返回导航 25 (2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c. 解析：根据三角形面积公式S△ABC＝可知，得bc＝4，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A可知22＝b2＋c2－4，由bc＝4，b＝，可得＋c2－8＝0，即(c2－4)2＝0，∴c2＝4，在△ABC中，c＞0，可得c＝2.∴b＝＝2，∴b＝c＝2. 返回导航 26 03.课时作业28 返回导航 27 1．在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝(　　) A．－1 B． C．1＋ D． 答案：D 解析：因为A＝45°，C＝75°，则B＝180°－(45°＋75°)＝60°，由正弦定理，则c＝＝4sin 75°＝4sin (45°＋30°)＝4sin 45°cos 30°＋4cos 45°sin 30°＝.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 28 2．(2026·楚雄模拟)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝，则c＝(　　) A． B． C． D．2 答案：D 解析：因为b＝1，a＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，2＝12＋c2－2c cos ，即c2－c－2＝0，解得c＝2或c＝－1(舍)．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 29 3．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若c cos C＝a cos A，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 30 解析：c cos C＝a cos A⇒sin C cos C＝sin A cos A⇒sin 2C＝sin 2A，则A＝C或2A＋2C＝π⇒A＋C＝，则△ABC是等腰或直角三角形．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 31 4．(2026·长沙模拟)在△ABC中，sin A＝，则AC的长为(　　) A． B． C． D． 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 32 解析：因为AB＝BC，所以△ABC为等腰三角形，可得A∈，且A＝C，又因为A＋B＋C＝π且sin A＝，所以cos B＝cos [π－(A＋C)]＝－cos (A＋C)＝－cos 2A＝2sin2A－1＝，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cosB＝2＋2－2×＝，所以AC＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 33 5．(2026·保定模拟)在△ABC中，若AC＝，AB＝2，则△ABC解的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．不确定 答案：C 解析：由正弦定理，得，所以，即sin B＝，又AC>AB，所以B>或，所以△ABC解的个数为2.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 6．(2026·衡水模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin B且C＝，则的值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为sin A＝2sin B，由正弦定理得a＝2b，又C＝，由余弦定理得c＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2，B＝，△ABC的面积S△ABC＝，则a＋c＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 解析：由题意，S△ABC＝ac sin ，可得ac＝4；由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos ，代入条件可得4＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－12，解得a＋c＝4.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 8．(2026·扬州模拟)在△ABC中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 解析：由得(a2＋b2)·sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，且a≠b，∴(a2＋b2)·(sin A cos B－cos A sin B)＝(a2－b2)(sin A cos B＋cos A sin B)，且a≠b，∴(a2＋b2)·(a cos B－b cos A)＝(a2－b2)(a cos B＋b cos A)，∴(a2＋b2)·＝(a2－b2)，化简整理得(a2＋b2)·(a2－b2)＝(a2－b2)c2，即(a2＋b2－c2)(a2－b2)＝0，∴a2＝b2或a2＋b2＝c2，又a≠b，∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有(　　) A．a＝4，b＝5，c＝6 B．A＝30°，B＝45°，c＝5 C．a＝，b＝2，A＝45° D．a＝3，b＝2，C＝60° 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 解析：对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，故A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，故B正确；对于C，由正弦定理，可得，sin B＝，因为b>a，则B>A，因为sin B＝>，结合正弦函数的图象可知角B有两解，故C错误；对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，故D正确．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A．若a＝2，则△ABC的外接圆的面积为16π B．已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，则C＝ C．若sin2A>sin2B＋sin2C，则△ABC为钝角三角形 D．若△ABC为锐角三角形，则sinA>cos B 答案：CD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：对于A，若a＝2，则△ABC的外接圆的半径为R＝＝2，△ABC的外接圆的面积为π×22＝4π，故A错误；对于B，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，则(a＋b)2－c2＝ab，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝，则C＝，故B错误； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 对于C，若sin2A>sin2B＋sin2C，则a2>b2＋c2，所以cosA＝<0，则A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，若△ABC为锐角三角形，则0<A，B，C<⇒A＋B＝π－C>，所以0<－B<A<，则sin A>sin ＝cos B，故D正确．故选CD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 11．(2026·南京模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，c＝4，b sin A＝1，则b＝________． 解析：由正弦定理可得a＝，则b2＝a2＋c2－2ac cos B＝2＋16－8＝10，即b＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 12．(2026·泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S＝，则角B＝________． 解析：由面积公式可得S＝ac sin B，即ac sin B＝(b2－a2－c2)，化简得sin B＝－＝－cos B，解得tan B＝－，又B∈(0，π)，所以B＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 13．(13分)(2026·南宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝b2＋c2－bc. (1)求角A的大小； 解析：由a2＝b2＋c2－bc可得bc＝b2＋c2－a2， 故cos A＝， 由于A∈(0，π)，故A＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 (2)若b＋c＝4，△ABC的面积为，求a的值． 解析：由S△ABC＝bc sin A＝，故bc＝2， 又bc＝b2＋c2－a2得bc＝(b＋c)2－2bc－a2， 故a2＝(b＋c)2－3bc＝16－6，故a＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 14．(15分)(2026·福州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin C＝c(1＋cos A)． (1)求A； 解析：方法一　由a sin C＝c(1＋cos A)及正弦定理， 得sin A sin C＝sin C(1＋cos A)． 又sin C≠0，得sin A－cos A＝1， 即sin ＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 方法二　由a sin C＝c(1＋cos A)及正弦定理， 得sin A sin C＝sin C(1＋cos A)． 又sin C≠0，得sin A＝1＋cos A， 即2sin cos ＝2cos2， 因为A∈(0，π)，所以∈，故cos≠0， 所以tan ，故，即A＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 (2)若a＝2，△ABC的周长为6，求△ABC的面积． 解析：由(1)得A＝. 由a＝2，△ABC的周长为6，得b＋c＝4. 由cos A＝， 所以b2＋c2－4＝bc，即(b＋c)2－4＝3bc， 故bc＝4， 所以S△ABC＝bc sin A＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 15．(5分)(2026·深圳模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋－b－c＝0，a＝2，△ABC的面积为，则(　　) A．b＝1 B．b＝2 C．b＝3 D．b＝2 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 解析：由正弦定理＝2R(R为△ABC外接圆半径)可得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．联立a cos C＋a sin C－b－c＝0可得：sin A cos C＋sin A sin C－sin B－sin C＝0　①.因为B＝π－(A＋C)，所以sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)．则①sin A cos C＋sin A sin C－(sin A cos C＋cos A sin C)－sin C＝0，即sin A sin C－cos A sin C－sin C＝0. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 因为0<C<π，所以sin C≠0，则sin A－cos A－1＝0，即)－1＝0⇒sin ＝.又0<A<π，所以A－⇒A＝，由S＝bc sin A＝⇒bc＝4　②，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A⇒b2＋c2＝8　③，联立②③可得b＝c＝2.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 16．(5分)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则sin A＋sin B＋sin C＝________． 解析：因为sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，由正弦定理＝2R，可得a∶b∶c＝5∶7∶8.设a＝5x，b＝7x，c＝8x，由余弦定理可得cos B＝.因为0<B<π，所以B＝，由＝2R，可得b＝R.因为＝＝＝2R，所以sin A＋sin B＋sin C＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 $