精品解析：吉林省实验中学2025-2026学年九年级下学期中考二模数学试题

九年级学业水平考试模拟练习（二） 数学 本试卷包括三道大题，共8页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是5． 故选：A． 2. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ， 为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及 的值．注意，确定 的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时， 是正数；当原数的绝对值时， 是负数． 【详解】解：， 故选：C． 3. 一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式解集在数轴上的表示可得答案， 本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：由数轴知，该不等式组的解集为： ， 故选：B． 4. 下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、活动衣架是四边形，没有应用到三角形的稳定性，符合题意； B、梯子和拉杆构成三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； C、三脚架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； D、太阳能热水器的支架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意． 故选：A ． 5. 唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离 的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP cos∠A=10cos50°海里． 【详解】 解：如图，由题意可知∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP， ∴∠A=∠NPA=50°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=50°，AP=10海里， ∴AB=AP•cos∠A=10cos50°海里． 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义． 7. 下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】B 【解析】 【分析】求出每个正多边形的内角度数即可得出答案． 【详解】解：∵正八边形的每个内角的度数是， 正三角形的每个内角的度数是， 正方形的每个内角的度数是， 正六边形的每个内角的度数是， ∴与正八边形组合能够铺满地面的是两个正八边形和一个正方形． 故选：B 【点睛】本题考查正多边形的内角和及平面镶嵌，能理解平面镶嵌的定义是解决本题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点 与原点 重合，点在轴的正半轴上，点 在反比例函数（）的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数（）的图象上，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用两点间距离公式求出，得到菱形的边长，结合菱形性质确定点A的坐标，进而求出反比例函数解析式，最后根据平移规律和点在函数图象上列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴ ，轴， ∴，， ∵点在反比例函数（）的图象上， ∴，即， ∴反比例函数为， ∵将菱形向右平移个单位， ∴点D平移后的点坐标为， ∵点刚好落在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 当分式的值为0时，的值是___________， 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0．分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， 解得； 当 时，分母 ，满足条件， 故答案为：2． 10. 因式分解： _____． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 11. 若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式 的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将 代入原方程，求出 的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的一元二次方程 （）的解， ， 整理得 ， ． 12. 已知一次函数（是常数），且随着的增大而减小，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性，可得一次项系数小于零，列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的函数值随着自变量的增大而减小， ∴， 解得： ． 13. 如图，图形是由一个绕某点连续旋转若干次得到，每次旋转相同角度 ，则 的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．由题意依据每次旋转相同角度 ，旋转了 次，旋转一周后（包含原始位置）共，进行分析即可得出答案． 【详解】解：每次旋转相同角度 ， 该图案可由绕点 旋转 次，旋转一周后（包含原始位置）共， ． 故答案为： ． 14. 如图，在中，已知， 的垂直平分线分别交 ，于点， ，，为 的外接圆，过点 作的切线 交 于点 ，则下列结论正确的是_____（写出所有正确结论的序号）． ①；②；③若，则的长为；④． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①根据线段垂直平分线的性质与直角三角形中斜边与直角边的关系即可判断； ②根据线段垂直平分线得出，再由直角三角形两锐角互余得出，等量代换即可； ③连接，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算即可； ④根据角角相等证明即可得出结论； 【详解】解∶①∵是 的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，， ．故①错误． ②∵是 的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确． ③连接， ， ， ， ， 的长为，故③正确． ④∵， 是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，结论正确的是②③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式 ． 16. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和 的物体后，天平倾斜，如图所示，现有A、B、C三个物体，它们除质量不同外其余完全相同，其中A物体 ，B物体 ，C物体 ．小明从A、B、C三个物体中，随机选取两个放置在天平的右端托盘上．请用列表或画树状图的方法，求小明恰好使天平恢复平衡的概率（天平两端的托盘上放置的物体质量相同，天平恢复平衡）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定要使天平恢复平衡，选取的两件物体质量之和，然后再利用画树状图法或者列表法将所有可能结果表示出来，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：要使天平恢复平衡，选取的两件物体质量之和为 ， 列表如下， 共有6种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有 种， 小明恰好使天平恢复平衡的概率为． 17. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形是平行四边形，且 ，均为格点， ，均为竖格线上的点，点 是边与竖格线的交点． （1）如图①，在线段 上取点 ，连结 ，使得； （2）如图②，点是边 上任意一点，仅用无刻度的直尺在边上画出点，连结，使得． 【答案】（1）解：所求图形如图所示； （2）解：所求图形如图所示． 【解析】 【分析】（1）取 与格线的交点F，连接 即可； （2）同（1）取， 与格线的交点E，F，连接 ，， 与交于点O，连接并延长交 于点H，连接即可． 【小问1详解】 解：如图， 由网格特点可得，， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴， 同理可得点F是 的中点， ∴， ∵在 中， ，， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 解：如图， 由（1）同理可得点E，F分别是， 的中点，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 18. 骑行爱好者小王计划骑车前往距离120公里的邻市游玩．实际骑行时，因下坡路段较多，他的平均速度提升为原计划的1.2倍，结果提前1小时到达目的地．求小王原计划每小时骑行多少公里． 【答案】小王原计划每小时骑行20公里 【解析】 【分析】设小王原计划每小时骑行x公里，根据“提前1小时到达目的地”列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设小王原计划每小时骑行x公里，根据题意，得 ， 解得 ， 经检验， 是原分式方程的解． 答：小王原计划每小时骑行20公里． 19. 如图，点、 分别在 的边上， ，． （1）仅用圆规和无刻度直尺，在图中作 的角平分线交射线于点，连结；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑） （2）利用（1）中所画图形，求证：四边形 是菱形． 【答案】（1）解：所求图形如图所示． （2）证明：∵平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ 是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的定义与平行线的性质得到 ，因此，进而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形 是平行四边形，进而可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 2026年全球优质生鲜跨境采购峰会在我国举办，我国精品苹果种植基地接到海外大批量出口订单．海关质检部门从基地待出口的1000枚精选苹果中，随机抽取20枚作为官方抽检样本，测量果实直径，数据整理如下： 组别 直径 频数/个 A 3 B 4 C 8 D 5 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的20个苹果直径的中位数落在_____组；（填组别字母） （2）本次国际出口贸易标准规定：苹果直径不小于 ，才可达到全球商超的准入采购门槛．结合本次样本抽检数据，预估该基地1000枚待出口苹果中，符合国际出口准入标准的苹果总数量； （3）由于测量程序设置错误，测量出的20个苹果的直径都比真实值小，改正数据后，这20个新数据与原数据的特征数保持不变的是_____．（填数字序号） ①众数；②中位数；③平均数；④方差． 【答案】（1）C （2）650枚 （3）④ 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）用乘以苹果直径不小于 的数量所占的比例即可求解； （3）根据各统计量的性质，判断每个数据同时加相同常数后特征数的变化情况．． 【小问1详解】 解：∵随机抽取20枚作为官方抽检样本， ∴中位数是第10和第11个数的平均数， ∵ ， ∴抽取的20个苹果直径的中位数落在C组． 【小问2详解】 解： （枚）， 答∶估计符合国际出口准入标准的苹果为650枚； 【小问3详解】 解：若每个数据都增加，则众数增加2，中位数增加2，平均数增加2．方差反映数据的波动程度，所有数据同时增加相同的数，数据的波动程度不变，因此方差不变．因此特征数保持不变的是④． 21. 某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运，A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．两种机器人的搬运量y（kg）与时间x（h）的函数图象如图所示． （1）A种机器人每小时搬运量为______． （2）求B种机器人的搬运量y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如果A、B两种机器人分别连续搬运 ，那么B种机器人比A种机器人多搬运了______千克？ 【答案】（1） 千克 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据图象获取信息进行计算即可； （2）根据待定系数法求出一次函数解析式； （3）根据一次函数解析式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，A种机器人于某日0时开始搬运， 小时搬运了 吨， 故A种机器人每小时搬运量为（千克）； 【小问2详解】 解：设， 将代入函数解析式， ， 解得， 故； 【小问3详解】 解：设， 将代入，解得， 故， 当时，（千克）， 时，（千克）， （千克）． 故A、B两种机器人分别连续搬运 ，那么B种机器人比A种机器人多搬运千克． 22. 解决以下问题 【问题呈现】 如图①， ， ， ，求线段的最大值． （1）【问题探究】 通过对已知条件进行整理可知： ，小明想通过构造相似的办法探讨动点的轨迹问题．以下是小明的部分证明过程： 证明：如图②，过点 作 于点 ，且，连接 ． ， ， ． ， 又 ， 证明过程缺失 ， 点在以为直径的圆上． 请你帮助小明补全上述证明过程． （2）【问题解决】 根据以上的推导可知原问题中线段的最大值为_____． （3）【方法应用】 如图③，在平面直角坐标系中，点，点在轴上，连结 ，过点 作于 ，使得 ，连结，则线段的最小值为_____． 【答案】（1）∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给过程可得到，证明 ，即可解答； （2）取的中点F，则点F是点D轨迹圆的圆心，连接，，则 ，根据勾股定理求出，即可解答； （3）过点A作 ，且，连接 ，则，根据同角的余角相等得到 ．根据 的面积得到 ，结合 ，得出，即可证明 ，得到 ，因此点C在以为直径的圆上运动，取的中点E，则点E是点C轨迹圆的圆心，连接， ，根据 求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）可知点在以为直径的圆上， 取的中点F，则点F是点D轨迹圆的圆心，连接 ∴ ． 连接，则 ． ∵，，， ∴， ∴ ， 即的最大值为 ． 【小问3详解】 解：过点A作 ，且，连接 ，则， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴点C在以为直径的圆上运动． 取的中点E，则点E是点C轨迹圆的圆心，连接， ∴ ． 连接 ，则 ． ∵ ， ， ， ∴， ∴ ， 即的最小值为． 23. 如图①，在 中，，．点在边上，且 ．点在边 上，连接． （1）__________． （2）当 是等腰三角形时，直接写出的长． （3）将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点 作交线段 或线段 的延长线于点 ． （ⅰ）如图②，当点 在线段 上时，求证： ． （ⅱ）连接 ，当 面积是面积的3倍时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）1或2或 （3）（ⅰ）证明：在 中，， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知， ， ， ， ， 在 和 中， ， ； （ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得到的长； （2）根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可； （3）①根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质，得到 ，由旋转的性质可知， ， ，进而推出 ，即可利用“ ”证明全等； ②分两种情况讨论：当点 在线段 上时，如图，过点 作于点，过点作 于点；当点 在线段 的延长线上时，如图，过点 作于点 ，过点作 于点，利用全等三角形的性质和等高三角形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：在 中，， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：在 中，， ， ， 由（1）可知，， ①当 时， 是等腰三角形，此时 ， ， ， ； ②当时， 是等腰三角形，此时 ， ， ； ③当时， 是等腰三角形， 综上可知，的长为1或2或． 【小问3详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）解：当点 在线段 上时，如图，过点 作于点，过点作 于点， 由①可知， ， ， ， ， 面积是面积的3倍， ， ， ， ； 当点 在线段 的延长线上时，如图，过点 作于点 ，过点作 于点， 同理可证， ， ， ， 面积是面积的3倍， ， ， ， ， ； 综上可知，的长为或． 24. 在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线 （ 为常数）与轴交于点和点，与轴交于点 ，点在抛物线上，其横坐标为，直线 交该抛物线的对称轴于点，点、 关于点的对称点分别为Q、E，顺次连接点P、C、Q、E，得到四边形 ． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）写出点的坐标___________； （3）当点在第一象限时，四边形 的边与抛物线共有两个交点（四边形的顶点除外），求的取值范围； （4）直接写出使得四边形 成为轴对称图形时的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 或1，， 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线 ，即可求解； （2）对于抛物线 ，令 ，求出，令 ，求出，运用待定系数法求出直线 的解析式为 ，将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴为直线，从而得到点D的横坐标为，把代入函数 ，即可求出点D的坐标； （3）解：根据点关于点的对称点为点E，得到，可判断点E在抛物线的下方．设，其中 ，同理根据对称可得，根据四边形 的边与抛物线共有两个交点，得到点Q在抛物线的上方，因此列出不等式，求解即可； （4）根据点、 关于点的对称点分别为Q、E，可得四边形 是平行四边形，因此四边形 是菱形或矩形，据此分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 （ 为常数）与轴交于点， ∴ ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ． 【小问2详解】 解：对于抛物线 ， 令 ，则，解得 ， ， ∴， 令 ，则， ∴． 设直线 的函数解析式为， ∵直线 过点，， ∴，解得， ∴直线 的解析式为 ． ∵抛物线 ， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵直线 交抛物线的对称轴于点， ∴点D的横坐标为， 把代入函数 ，得， ∴． 【小问3详解】 解：∵点关于点的对称点为点E， ∴点D是的中点， ∴， ∵对于抛物线 ，当时， ， ∴点E在抛物线的下方． ∵点在抛物线上，且在第一象限，其横坐标为， ∴设，其中 ， ∵点关于点的对称点为点Q， ∴， ∵四边形 的边与抛物线共有两个交点， ∴点Q在抛物线的上方， ∵对于抛物线 ，当 时， ， ∴ ， 即 ， ∴ 或 ， ∵ ， ∴m的取值范围为 ． 【小问4详解】 解：∵点、 关于点的对称点分别为Q、E， ∴ ，， ∴四边形 是平行四边形． ∵四边形 是轴对称图形，则四边形 是菱形或矩形． ①当四边形 是菱形时， ， 连接， ∵，， ∴ ， ∴ 是等腰三角形， ∴ ， 由抛物线的对称性可得， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴点P在上， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 ， 解方程组得或， ∴点P的坐标为或， 即 或． ②当四边形 是矩形时， ∵，，， ∴， ， ∴， 即 ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ ， ， ， ． ∵当 时，点P与点C重合，舍去． 综上所述，得四边形 成为轴对称图形时的值为 或1，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学业水平考试模拟练习（二） 数学 本试卷包括三道大题，共8页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　） A. B. C. D. 5. 唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离 的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数（）的图象上，点的坐标为，将菱形 向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数（）的图象上，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 当分式的值为0时，的值是___________， 10. 因式分解： _____． 11. 若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式 的值是_____． 12. 已知一次函数（是常数），且随着的增大而减小，那么的取值范围是________． 13. 如图，图形是由一个绕某点连续旋转若干次得到，每次旋转相同角度，则的最小值为______． 14. 如图，在中，已知，的垂直平分线分别交，于点，，，为 的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是_____（写出所有正确结论的序号）． ①；②；③若，则的长为；④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和 的物体后，天平倾斜，如图所示，现有A、B、C三个物体，它们除质量不同外其余完全相同，其中A物体 ，B物体 ，C物体 ．小明从A、B、C三个物体中，随机选取两个放置在天平的右端托盘上．请用列表或画树状图的方法，求小明恰好使天平恢复平衡的概率（天平两端的托盘上放置的物体质量相同，天平恢复平衡）． 17. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形是平行四边形，且，均为格点，，均为竖格线上的点，点是边与竖格线的交点． （1）如图①，在线段上取点，连结，使得； （2）如图②，点是边上任意一点，仅用无刻度的直尺在边上画出点，连结，使得． 18. 骑行爱好者小王计划骑车前往距离120公里的邻市游玩．实际骑行时，因下坡路段较多，他的平均速度提升为原计划的1.2倍，结果提前1小时到达目的地．求小王原计划每小时骑行多少公里． 19. 如图，点、分别在 的边上， ，． （1）仅用圆规和无刻度直尺，在图中作 的角平分线交射线于点，连结；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑） （2）利用（1）中所画图形，求证：四边形 是菱形． 20. 2026年全球优质生鲜跨境采购峰会在我国举办，我国精品苹果种植基地接到海外大批量出口订单．海关质检部门从基地待出口的1000枚精选苹果中，随机抽取20枚作为官方抽检样本，测量果实直径，数据整理如下： 组别 直径 频数/个 A 3 B 4 C 8 D 5 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的20个苹果直径的中位数落在_____组；（填组别字母） （2）本次国际出口贸易标准规定：苹果直径不小于 ，才可达到全球商超的准入采购门槛．结合本次样本抽检数据，预估该基地1000枚待出口苹果中，符合国际出口准入标准的苹果总数量； （3）由于测量程序设置错误，测量出的20个苹果的直径都比真实值小，改正数据后，这20个新数据与原数据的特征数保持不变的是_____．（填数字序号） ①众数；②中位数；③平均数；④方差． 21. 某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运，A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．两种机器人的搬运量y（kg）与时间x（h）的函数图象如图所示． （1）A种机器人每小时搬运量为______． （2）求B种机器人的搬运量y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如果A、B两种机器人分别连续搬运 ，那么B种机器人比A种机器人多搬运了______千克？ 22. 解决以下问题 【问题呈现】 如图①， ， ， ，求线段 的最大值． （1）【问题探究】 通过对已知条件进行整理可知： ，小明想通过构造相似的办法探讨动点的轨迹问题．以下是小明的部分证明过程： 证明：如图②，过点作 于点，且，连接 ． ， ， ． ， 又 ， 证明过程缺失 ， 点在以为直径的圆上． 请你帮助小明补全上述证明过程． （2）【问题解决】 根据以上的推导可知原问题中线段 的最大值为_____． （3）【方法应用】 如图③，在平面直角坐标系中，点，点在轴上，连结，过点作于，使得 ，连结，则线段的最小值为_____． 23. 如图①，在中，，．点在边上，且 ．点在边上，连接． （1）__________． （2）当 是等腰三角形时，直接写出的长． （3）将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交线段或线段的延长线于点． （ⅰ）如图②，当点在线段上时，求证： ． （ⅱ）连接，当 面积是面积的3倍时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线 （为常数）与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，其横坐标为，直线交该抛物线的对称轴于点，点、关于点的对称点分别为Q、E，顺次连接点P、C、Q、E，得到四边形 ． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）写出点的坐标___________； （3）当点在第一象限时，四边形 的边与抛物线共有两个交点（四边形的顶点除外），求的取值范围； （4）直接写出使得四边形 成为轴对称图形时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $