精品解析：吉林长春市公主岭市2025-2026学年 九年级下学期中考考前模拟试题

九年级第五次模拟测试数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各数中，最大的负数是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为测量零件内槽宽 ，某同学制作了一个测量尺．其中， 为固定臂， 为活动臂（可绕点 转动）．，分别为 ， 的三等分点（即 ， ），测量尺的零刻度与点重合．现测得 的长约为5 cm，则内槽宽 的长为（ ） A. 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 18 cm 6. 已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量树 的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树 的高为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，点 在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且 轴， 轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是__________． 11. 徐州市在泉山自然保护区建立了“青檀种质资源保护小区”，以保护三级稀有物种青檀．已知青檀花粉的直径约为0.000027米．将0.000027用科学记数法表示为_______． 12. 如图，已知，，则的度数为______________． 13. 楚韵班评选优秀班干部，从“德”、“能”、“勤”、“绩”四个方面考核打分，各项满分均为 ，若依次按照 的比例确定成绩，小明这四项得分依次为，，， ，则小明这四项综合得分为__________分． 14. 如图，正方形的边长为2，G是对角线上的动点，于点E，于点F，连接 ，给出4种情况：①若G为上任意一点，则 ；②若G为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点G作正方形交 边于M，则．其中正确的是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中 16. 如图，从昆明市到大理市有、、三条路线，其中路线的路程最短；从大理市到丽江市有、两条路线，其中路线的路程最短． （1）任选一条路线从昆明市到大理市，选到路线的概率是__________； （2）从昆明市经过大理市到达丽江市，请用列表或画树状图的方法求所走的两段路线恰好都是路程最短的路线的概率． 17. 已知：如图，在四边形中，对角线 ，相交于点O，O是 的中点，且．求证：四边形是平行四边形． 18. 汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元．求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 、、均在格点上，点在格线上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中找一格点，使是直角三角形； （2）在图②中找一格点，使是等腰三角形； （3）在图③中找一点，使点到 和 的距离相等． 20. 某校组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 非遗知识竞赛成绩扇形统计图 A组 B组 C组 D组 备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为___________，B组15个成绩的平均数为___________分； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为___________分； （3）学校决定对本次竞赛成绩80分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 21. 小王与小刘相约从商场出发到景区集合，路线如图1，具体时间与路程信息如图2，小王先到咖啡馆坐了15分钟后与小刘同时到达园林，游玩15分钟后准备前往景区，小王选择休息一会儿再出发，小刘则马上出发，最终小王比小刘早7.5分钟到，两人行走速度不变． （1）请求出小王与小刘的速度． （2）请求出60分钟后小刘的路程s关于时间的函数表达式． （3）求图2中小王与小刘相遇时 的值． 22. 婆罗摩笈多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． （1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是__________．（填序号）； ①矩形 ②菱形 ③正方形 （2）如图①，在中，，以 为弦的 交 于点，交 于点，连结 、 、，，，若四边形是“婆氏四边形”，求 的长； （3）如图②，四边形为 的内接四边形，连结 ，，，， ，，已知 ，当 ，圆心到 的距离为1时，直接写出 的半径． 23. 如图，在中，，， ，动点从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，动直线 从 开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交 、 于、两点，当点运动到点 时，直线 也停止运动． （1）求点到 的最大距离； （2）当点在 上运动时， ①求的值； ②把绕点顺时针旋转，当点的对应点落在上时，的对应线段恰好与 垂直，求此时的值． （3）当点关于直线 的对称点为时，四边形能否成为菱形？若能，直接写出的值；若不能，请说明理由． 24. 如图在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点，均在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； （3）当轴时，求点到直线 的距离； （4）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第五次模拟测试数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各数中，最大的负数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则即可求解． 【详解】解：∵四个选项的数均为负数，且， ∴， ∴最大的负数是． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方运算法则即可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图是从左面观察几何体所得到的图形求解即可． 【详解】解：从左面观察几何体为， 只有C选项符合题意． 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律：点平移时，横坐标左移减，右移加，纵坐标下移减，上移加，按平移步骤计算坐标即可． 【详解】解：将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点坐标为：，即． 5. 如图，为测量零件内槽宽 ，某同学制作了一个测量尺．其中， 为固定臂， 为活动臂（可绕点 转动）．， 分别为 ， 的三等分点（即 ， ），测量尺的零刻度与点重合．现测得 的长约为5 cm，则内槽宽 的长为（ ） A. 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 18 cm 【答案】C 【解析】 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ． 6. 已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故选：A． 7. 如图，为了测量树 的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树 的高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，，再根据正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴． 8. 如图，点 在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且 轴， 轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到 ， ，根据四边形 的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴， 轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】16 【解析】 【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式计算，结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【详解】解：． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 10. 如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是__________． 【答案】 三角形具有稳定性 【解析】 【详解】解：三角形具有稳定性，即当三角形的三条边长确定时，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生改变，自行车的车架由多个三角形组成，利用了三角形具有稳定性这一数学原理，使得车架在受力时不易变形，保证了骑行的安全与稳定． 11. 徐州市在泉山自然保护区建立了“青檀种质资源保护小区”，以保护三级稀有物种青檀．已知青檀花粉的直径约为0.000027米．将0.000027用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示方法，其中n的值为整数，当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解： ． 12. 如图，已知，，则的度数为______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴． 13. 楚韵班评选优秀班干部，从“德”、“能”、“勤”、“绩”四个方面考核打分，各项满分均为，若依次按照 的比例确定成绩，小明这四项得分依次为，，， ，则小明这四项综合得分为__________分． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的权重比，按照加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意得，四项得分的权重比为 ，总权重和为 ， 故小明的综合得分为 ． 14. 如图，正方形的边长为2，G是对角线上的动点，于点E，于点F，连接 ，给出4种情况：①若G为上任意一点，则 ；②若G为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点G作正方形交 边于M，则．其中正确的是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明，则，易证明四边形是矩形，则 ，据此判断①；证明，则，据此判断②；求出的面积，利用求出，根据求出，据此判断③；根据正方形的性质得到，进而得到，证明，则，利用勾股定理求出长，据此判断④． 【详解】解： 四边形是正方形， 、、， 在和 中， ， ， ， 、， ， ， 四边形是矩形， ， ， 故①正确； 四边形是正方形， ， G为的中点， ， 、， ， 在和中， ， ， ， 由①知，四边形是矩形， 四边形是正方形； 故②正确； 四边形是正方形， 、， ， ， ， ， ， 故③错误； 四边形是正方形， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得：， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到最简结果，然后把m的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 16. 如图，从昆明市到大理市有、、三条路线，其中路线的路程最短；从大理市到丽江市有、两条路线，其中路线的路程最短． （1）任选一条路线从昆明市到大理市，选到路线的概率是__________； （2）从昆明市经过大理市到达丽江市，请用列表或画树状图的方法求所走的两段路线恰好都是路程最短的路线的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行求解即可； 【小问1详解】 解：由题意，选到路线的概率是； 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中所走的两段路线恰好都是路程最短的路线的结果只有1种， ∴. 17. 已知：如图，在四边形中，对角线 ，相交于点O，O是 的中点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据三角形全等，结合平行四边形的判定解答即可． 本题考查了三角形的全等判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】证明：， ， 是 的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 18. 汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元．求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价． 【答案】 甲种汴绣工艺品每件售价为200元，乙种汴绣工艺品每件售价为500元. 【解析】 【分析】先设出甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价，再根据题干给出的两种营收条件列出方程组，求解方程组即可得到结果． 【详解】解：设甲种汴绣工艺品每件的售价为元，乙种汴绣工艺品每件的售价为元， 根据题意得 解得 答：甲种汴绣工艺品每件售价为200元，乙种汴绣工艺品每件售价为500元． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 、、均在格点上，点 在格线上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中找一格点，使是直角三角形； （2）在图②中找一格点，使是等腰三角形； （3）在图③中找一点 ，使点 到 和 的距离相等． 【答案】（1）如图即为所求；（答案不唯一） （2）如图，即为所求； （3）如图，点 即为所求；（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据网格特点，作，即可； （2）根据网格特点，作点关于过点 的竖直格线的对称点即为点，连接 即可； （3）在 上取点，使 ，连接，取的中点 ，连接，三线合一得到平分 ，进而得到点 到 和 的距离相等. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 某校组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 非遗知识竞赛成绩扇形统计图 A组 B组 C组 D组 备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为___________，B组15个成绩的平均数为___________分； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为___________分； （3）学校决定对本次竞赛成绩80分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1）50，84 （2） （3）162人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，从频数分布表和扇形统计图获得信息是解题的关键． （1）根据B组有15人，B组所占比例为，求出样本容量，再根据平均数的定义计算B组平均数即可； （2）根据中位数的定义得到该中位数位于B组第13、14个成绩，据此解答即可； （3）用总人数乘以本次调查成绩80分及以上的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为： ， 组15个成绩的平均数为分； 【小问2详解】 解：由（1）知，本次样本容量为50， 则A组人数为：人，B组人数15人， 把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是第25个、26个， 则中位数位于B组第13、14个成绩， 因此，本次被抽取的所有成绩的中位数为：分； 【小问3详解】 解：人， 答：估计本次竞赛的获奖人数为162人． 21. 小王与小刘相约从商场出发到景区集合，路线如图1，具体时间与路程信息如图2，小王先到咖啡馆坐了15分钟后与小刘同时到达园林，游玩15分钟后准备前往景区，小王选择休息一会儿再出发，小刘则马上出发，最终小王比小刘早7.5分钟到，两人行走速度不变． （1）请求出小王与小刘的速度． （2）请求出60分钟后小刘的路程s关于时间 的函数表达式． （3）求图2中小王与小刘相遇时 的值． 【答案】（1）小王：米／分，小刘： 米／分 （2） （3）两人相遇时 的值为70分钟 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度路程 时间求出小王的速度，求出小王到达园林的时间，再根据速度路程 时间求出小刘的速度即可； （2）根据路程速度时间计算并求出 的取值范围即可； （3）求出小王到达景区的时间，从而求出小王从园林出发时的时间，进而根据路程速度时间写出小王从园林到景区的过程中路程关于时间 的函数表达式，根据二人相遇时的路程相等列关于 的一元一次方程并求解即可． 【小问1详解】 解：小王的速度为（米／分）， 小王到达园林的时间为（分）， 小刘的速度为（米／分）． 【小问2详解】 解：小刘从园林出发的时间（分）， ∴， 当时，解得， ∴分钟后小刘的路程关于时间 的函数表达式为． 【小问3详解】 解：小王到达景区的时间为（分）， 则小王从园林出发时的时间为（分）， 则小王从园林到景区的过程中路程关于时间 的函数表达式为， 根据题意，得， 解得， ． 22. 婆罗摩笈多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． （1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是__________．（填序号）； ①矩形 ②菱形 ③正方形 （2）如图①，在中，，以 为弦的 交 于点，交 于点 ，连结 、 、，，，若四边形是“婆氏四边形”，求 的长； （3）如图②，四边形为 的内接四边形，连结 ，，，， ，，已知 ，当 ，圆心到 的距离为1时，直接写出 的半径． 【答案】（1）③ （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得，从而可证明四边形为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断； （2）根据垂径定理和圆周角定理可得， ，设 ，则 ， 在中解直角三角形即可； （3）作，分别垂直于 ， ，证明 ，依题意可得 ，则，， ，在 中，根据勾股定理即可求出半径． 【小问1详解】 解：如下图， ∵平行四边形为 的内接四边形， ∴，， ∴ ∴平行四边形为矩形， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴ ， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ， ，为直径， ∴ ， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴垂直平分 ， ∴， ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中，根据勾股定理得，， ∴， 解得，即； 【小问3详解】 解：作，分别垂直于 ，如图2所示： ∴ ， ， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中 ∵ ∴， ∴ ， ∵ ，圆心到 的距离为1， ∴ ，则， ， ， 在 中，， ∴当圆心到 的距离为1时， 的半径为． 【点睛】第一问：平行四边形内接于圆必为矩形，对角线再垂直，只能是正方形． 第二问：利用垂直直径的性质得，通过三角函数和勾股定理列方程求解． 第三问：通过全等转化线段，利用勾股定理求半径． 23. 如图，在中，，， ，动点从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，动直线 从 开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交 、 于、 两点，当点运动到点 时，直线 也停止运动． （1）求点到 的最大距离； （2）当点在 上运动时， ①求的值； ②把绕点 顺时针旋转，当点的对应点落在上时，的对应线段恰好与 垂直，求此时 的值． （3）当点关于直线 的对称点为 时，四边形能否成为菱形？若能，直接写出 的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②； （3）能，或． 【解析】 【分析】（1）由题意得：当点P与点C重合时，点P到 的距离最大，先用勾股定理求出，然后利用面积法求解即可； （2）①设运动时间为ts，则有，，由平行线的性质得到，如图1，过点D作于点G，则四边形 是矩形，，，由求出，则，即可得到 ，即 ；②根据角之间的关系证明，从而证明，得到 ，由此即可求解； （3）由点F是点P关于直线 的对称点，得到 垂直平分 ，则当 也垂直平分DE时，四边形为菱形；然后分①当点P在 上时，②当点P在 上时，P、F、E三点都在 上，构不成四边形；③当点P在上时，三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，点到 的距离最大， 设斜边 上的高 ， ∵，， ， ∴， ∵的面积， ∴， 即点到 的最大距离是； 【小问2详解】 ①当点在 上运动时， 设运动时间为，则有，， ∵直线， ∴， 如图1，过点作于点 ，则四边形 是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线， ∴直线 ， ∴，， 由旋转的性质，得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：； 【小问3详解】 四边形能成为菱形，理由如下： ∵点 是点关于直线 的对称点， ∴ 垂直平分 ， ∴当 也垂直平分 时，四边形为菱形， ∵直线， ∴， ∴， 即， ∴， ①当点在 上时，连接 ，如图2所示： 若 垂直平分 ，则有， ∴，解得：； ②当点在 上时，、 、 三点都在 轴上，构不成四边形； ③当点在上时，若点在直线 的右侧，连接 ，如图3所示： 类比①可得：，解得：； 若点在直线 的左侧，、 、 、四点构不成凸四边形； 综上所述，当 为或时，四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式，菱形的性质，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． 24. 如图在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点，均在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； （3）当轴时，求点到直线 的距离； （4）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为， ，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围为或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将二次函数的解析式化为顶点式，得出二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向下，从而可得点关于对称轴对称的点为，再结合题意即可得解； （3）由轴，得出点、关于直线对称，从而得出，，由勾股定理可得，设点到直线 的距离为，再由等面积法计算即可得解； （4）过点作轴交抛物线于点 ，此时点 与点关于直线对称，则，分三种情况：当时，最高点为点，最低点为点，则，；当时，最高点为顶点，最低点为点，则，；当 时，最高点为点，最低点为点，则，；分别结合计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵点，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向下，顶点为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵点，均在抛物线上，且， ∴的取值范围为或； 【小问3详解】 解：∵轴， ∴点、关于直线对称， ∵， ∴，， ∴， 设点到直线 的距离为， ∵， ∴， 即点到直线 的距离为； 【小问4详解】 解：如图，过点作轴交抛物线于点 ，此时点 与点关于直线对称， ， 则， 当时，最高点为点，最低点为点， ∵设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，最高点为顶点，最低点为点， ∵设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为， ， ∴，， ∵， ∴符合题意； 当 时，最高点为点，最低点为点， ∵设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得： 或 或， ∵ ， ∴； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性质，将二次函数的解析式化为顶点式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $