精品解析：河南周口市商水县第一高中2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

商水一高2025—2026（下）高一年级期末考试 数学试题 一、单选题 1. 已知i是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量是相等向量． B. 向量的模是一个正实数． C. 与实数类似，对于向量，有，，三种关系． D. 若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合． 3. 如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A. B. C. D. 4. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ） A. 平均数第60百分位数众数 B. 平均数 第60百分位数 众数 C. 第60百分位数 众数 平均数 D. 平均数 第60百分位数 众数 5. 已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲的中位数高于乙的中位数 B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D. 甲成绩比乙成绩稳定 6. 某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（ ） A. 0.704 B. 0.644 C. 0.564 D. 0.336 7. 已知长方体,,,,则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 8. 不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为2的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 与可以作为所在平面的一组基底 C. D. 10. 若，，，则（ ） A. 事件 与 不互斥 B. 事件 与 对立 C. 事件 与 互相独立 D. 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，为 的中点，直线 交平面于点 ，则下列结论正确的是（ ） A. ， ，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 三、填空题 12. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 13. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______． 14. 已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 四、解答题 15. 已知复数. （1）若复数 是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数 表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点. （1）求证：SA//平面PCD （2）求圆锥SO的表面积. 17. 已知的周长为，且. （1）求边的长； （2）若的面积为，求角 的度数. 18. 周口市举行“高一年级 节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中 的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 19. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）证明:平面PBE⊥平面PAB； （2）求点D到平面PBE的距离； （3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商水一高2025—2026（下）高一年级期末考试 数学试题 一、单选题 1. 已知i是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以 的虚部为. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量是相等向量． B. 向量的模是一个正实数． C. 与实数类似，对于向量，有，，三种关系． D. 若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合． 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为向量与向量是相反向量，不是相等向量，故A错误； 对于B，因为向量的模是一个非负实数，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，但两个向量不能比较大小，故C错误； 对于D，若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，故D正确. 3. 如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据模型中相邻的面折成长方体以后仍相邻，即可作出判断． 【详解】解：D折成的长方体有两组对面是黑色的，一组对面是白色的． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的折叠，考查空间想象能力是此类题目的目的． 4. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ） A. 平均数第60百分位数众数 B. 平均数 第60百分位数 众数 C. 第60百分位数 众数 平均数 D. 平均数 第60百分位数 众数 【答案】D 【解析】 【分析】 从数据为20，30，40，50，50，60，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可. 【详解】解：平均数为， ， 第5个数50即为第60百分位数. 众数为50， 它们的大小关系是平均数 第60百分位数 众数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查平均数、百分位数、众数的求法，属于基础题. 5. 已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲的中位数高于乙的中位数 B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D. 甲成绩比乙成绩稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图， 对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于， 所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确； 对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学， 其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确； 对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差， 由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确； 对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性， 所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确. 故选：C. 6. 某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（ ） A. 0.704 B. 0.644 C. 0.564 D. 0.336 【答案】C 【解析】 【分析】先根据互斥事件和对立事件的概率公式，求得元件A与B至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】由题意，电子元件A与B至少有一个正常工作的概率为： 所以该控制模块能正常工作的概率为. 故选：C. 7. 已知长方体,,,,则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 画出长方体,由长方体性质可知 与所成的角即为异面直线与所成角,即为.根据线面垂直关系及线段长度,即可求得. 【详解】画出长方体如下图所示: 在长方体中，， 则 与所成的角即为异面直线与所成角,即为或其补角， 因为 平面，平面， 所以，即， 因为,， 所以， 故选:B 【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,长方体的几何性质的应用,属于基础题. 8. 不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为2的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出事件包含的所有情况，再利用对立事件的概率公式计算求解. 【详解】每次取球，取到每个球的概率均为， 若取出的个球的最小编号为2，则所有球的编号均为 或 ，且至少有个编号为 ， 取出的个球的编号均为 或 的概率为； 取出的个球编号全部为 的概率为； 故取出的个球的最小编号为2的概率为. 故选：C 二、多选题 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 与可以作为所在平面的一组基底 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，因为，则，故A错误； 对于B，若两个向量可作为基底，则这两个向量不共线.因为，， 对于与，因为 ，所以与不共线，则与可以作为所在平面的一组基底，故B正确； 对于C，根据向量夹角余弦值的计算公式，所以，故C错误； 对于D，因为，， 根据两向量垂直，则它们的数量积为0.因为 ， 所以，故D正确. 10. 若，，，则（ ） A. 事件 与不互斥 B. 事件 与对立 C. 事件 与互相独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，以及积事件的概念，判断选项A，B正误；根据事件相互独立的概念，判断选项C的正误，根据和事件概率的求法，判断选项D的正误； 【详解】已知，即事件同时发生的概率不为，所以事件 与不互斥，所以A正确； 已知事件 与不互斥，则事件 与不对立，所以B错误； 已知，则，因为，所以， 所以事件 与互相独立，所以C正确； 可知，所以D正确； 故选：ACD. 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，为 的中点，直线 交平面于点 ，则下列结论正确的是（ ） A. ， ，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的特征证得点 在 上可知 项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离． 【详解】由于 为正方体的体对角线， 在平面内，据此可得平面 平面于， 又 交平面于点 ，故点 在 上，故 项正确； 很明显平面，平面，故， 同理，，于点，故平面，故项正确； 设正方体的棱长为1，直线 与平面的夹角为，则， 点到平面的距离为，故，，故 项正确； 设到平面的距离为 ，，，解得，故D项错误； 故选：ABC． 三、填空题 12. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 【答案】－2＋i 【解析】 【分析】由题设可得点B对应坐标，据此可得B对应复数. 【详解】由题设可得 对应坐标为，则，从而对应复数为. 13. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用中位数与平均数的概念先确定，再根据方差与标准差的算法计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 将已知数据排序有， 该组数据的中位数为第3个和第4个数据的平均数， 所以第3个和第4个数据的和为262，不妨设， 则第3个和第4个数据应为，则，经验证符合题意， 则该组数据的方差为 ，所以标准差为. 故答案为： 14. 已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，得到圆柱底面半径和高，进而求出外接球的半径，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为 ，则轴截面周长为，即， 侧面积， 当，即，时等号成立，此时侧面积最大， 设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长， 所以，得到， 所以球的体积. 四、解答题 15. 已知复数. （1）若复数 是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数 表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数 的虚部为0求解即可； （2）根据复数 的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【小问1详解】 因为复数 是实数，所以，即， 解得或 ；所以实数的值为或； 【小问2详解】 因为复数 表示的点在第四象限， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 16. 如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点. （1）求证：SA//平面PCD （2）求圆锥SO的表面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）连结OP，由中位线定理得到OP//SA，由线面平行判定定理得证； （2）分别计算侧面积和底面积，求和得表面积． 【详解】解∶ （1）连结OP， ∵O,P分别为AB,SB的中点， ∴OP//SA， 又∵SA⊄平面PCD,OP⊂平面PCD, //平面 ； （2）记底面圆的半径为r，侧面展开图扇形的半径为R，且R=2， 则， 得r=1，又侧面展开图为半圆， ∴S底=, S侧=, S表= 17. 已知的周长为，且. （1）求边 的长； （2）若的面积为，求角 的度数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解； （2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解． 【小问1详解】 解：由正弦定理知， ， ， 的周长为， ， ． 【小问2详解】 解：的面积， ， 由（1）知，，， 由余弦定理知， ， ． 18. 周口市举行“高一年级 节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 【答案】（1） ，众数为85，平均成绩为77.5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及众数、平均数定义求解即可. （2）结合分层抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得， ，解得 ． 由频率分布直方图可知初赛成绩的众数为 85， 估计初赛成绩的平均数为： ． 所以 ，众数为85，平均成绩为77.5． 【小问2详解】 由（1）知，成绩在，的频率之比为 ， 则在中随机抽取了 人，记为， ， 在中随机抽取了 人，记为，，， 从5人中随机抽取2人的样本空间为： ，共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． 19. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）证明:平面PBE⊥平面PAB； （2）求点D到平面PBE的距离； （3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1) 利用面面垂直的判定定理，转化为证明平面. (2) 在三棱锥中，利用等体积法求点到面的距离. (3) 先作出所求二面角并证明，再用解三角形知识求解. 【详解】(1)证明：连接BD，由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60° ， 可知 是正三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD， 又AB//CD，所以 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥ BE. 又平面PAB，平面PAB， AB∩PA=A， 所以BE⊥ 平面PAB， 又平面PBE，所以平面 PBE⊥平面PAB. (2)因为PA⊥底面 ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AB. 又 PA=2， AB=1，所以. 因为正三角形BCD中，BC=1， E是CD的中点，所以. 因为BE⊥平面PAB，平面PAB，所以BE⊥PB， 所以 因为，PA⊥底面ABCD， 设点D到平面PBE的距离为d， 所以， 而 所以，即点D到平面PBE的距离为. (3)延长BE、AD，交于点F，连PF，则PF为平面PAD和平面PBE的交线. 取AD中点H，连BH，过B作，垂足为I，连HI. 由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°， 可知 是正三角形，因为H是AD的中点，所以 . 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以.PA⊥ BH. 又平面PAD，平面PAD，AD∩PA=A， 所以BH⊥平面PAD，又 平面PAD，所以.BH⊥PF， 又BI⊥PF，平面BHI，平面BHI， BH∩BI=B， 所以PF⊥平面BHI，而平面BHI，所以PF⊥HI， 则∠BIH为二面角B-PFA的一个平面角. 因为BH⊥平面PAD，平面PAD，所以BH⊥HI. 因为菱形ABCD中，DE//AB，， E为BF的中点，. 在中，，，PB⊥BF， BI⊥PF， 所以，，又， 所以中，，， 即平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $