精品解析：河南湘豫大联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

6月高二数学 注意事项： 1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算两个集合的交集即可. 【详解】不等式 因式分解得 ， 解得 ，即 ， 又集合，所以. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将已知等式变形求出复数，再根据共轭复数的定义计算得到结果. 【详解】由， 可得， 的共轭复数. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】，； . 4. 已知抛物线：的焦点为 ，过点 的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则 ， 故的标准方程为. 5. 定义在 上的偶函数满足，且当时，单调递减，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合偶函数性质及关系可得，，，再结合函数单调性比较，，，由此可得结论. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 又， 所以， ， ， 因为，且当时，单调递减， 所以， 所以， 即. 6. 已知二项式，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中第3项与第4项的二项式系数之比为 B. 展开式中所有项的二项式系数之和为128 C. 展开式中所有项的系数之和为64 D. 展开式中常数项为 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，展开式中第3项的二项式系数为，第4项的二项式系数为，则，故A错误； 对于B，展开式中所有项的二项式系数之和为，故B错误； 对于C，令，则展开式中所有项的系数之和为，故C错误； 对于D，，其中；令，得，则常数项为，故D正确. 7. 为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（ ） 月份 7 8 9 10 11 12 /亿次 2 3 4 5 6 7 /亿元 8 15 28 50 90 160 通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令 ，得到 关于的回归方程为，相关系数为 ．则下列说法正确的是 附： ， ， ， ， ， ， ． A. 关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元 B. 与的相关系数 ，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则 C. 若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元 D. 当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线经过样本点中心可知经过 ，得到，从而确定回归方程，由回归方程的性质判断每个选项. 【详解】根据回归直线的性质，必定经过，即 ， 于是，得， 则 ，，解得. A选项，由回归方程可知，当每增加1亿次时，变为原来的倍，A选项错误； B选项，由题知， 是指数相关的，因此 时， 的相关性更强，即，B选项错误； C选项， 时， ，C选项正确； D选项，令，则 ， 解得 ，D选项错误. 8. 为推广非遗文化，某文创店推出“非遗主题盲盒”，每个盲盒内装有1张对应非遗项目的卡片，共有剪纸、陶艺、戏曲、书法4款不同卡片，每款卡片在盲盒中出现的概率均等，且不同盲盒开出的卡片相互独立．某同学一次性购买了3个盲盒，设该同学抽到的不同卡片款式的数量为随机变量 ，则下列说法正确的是（ ） A. 随机变量 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定随机变量 的取值范围，计算各取值对应的概率，再结合期望、方差的公式及性质逐一验证选项. 【详解】3个盲盒的总基本事件数为，随机变量 的可能取值为， 计算各取值的概率：，， 由对立事件概率得 选项A：二项分布对应次独立重复试验的成功次数， 为不同卡片款式数，不服从二项分布，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：期望， 由期望性质得，C错误； 选项D：计算得， 由方差公式，D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，且，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列的前 项和 【答案】BD 【解析】 【分析】首先通过递推公式构造等比数列求出 的通项，进而得到 的通项，再逐一判断各选项，最后通过裂项相消法求前项和验证D选项. 【详解】选项 A ：计算得 ， 公差不相等，故 不是等差数列，A错误； 选项B：由 变形得 ，即 ，且 ， 因此 是首项为 2 、公比为 2 的等比数列，B正确； 选项C：由等比数列通项公式得 ，不是 ， C 错误； 选项D：先化简通项： ，故 ， 前项和裂项相消得 ，D正确. 10. 已知四棱锥 的底面是边长为2的正方形，顶点 在底面的投影为正方形的中心，高 ，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 该四棱锥的内切球的表面积为 C. 直线 与平面 所成角的正弦值为 D. 点到平面 的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将异面直线所成角，转化为相交直线所成角，即可判断A，利用四棱锥的体积公式，即可求四棱锥内切球的半径，即可判断B，利用等体积公式求点到平面的距离，判断C，根据直线 平面，结合选项C，即可判断D. 【详解】对于选项A.由条件可知， ，所以异面直线与所成角为与所成的角，为， 因为 ，，所以， 由条件可知， ，所以三角形中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确 对于选项B.由条件可知，，则， 所以三角形的面积为， 设正四棱锥内切球的半径为， 则，所以 ， 所以内切球的表面积为 ，故B错误； 对于选项C.利用等体积转化，设点到平面的距离为，， 即 ，得， 设和平面所成角为，，故C正确； 对于选项D.因为 ，易知 平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即，故D错误. 11. 已知函数，其中 ，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有（ ） A. 当 时，的最小值为0 B. 若方程有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是 C. 若 对任意恒成立，则实数 的取值范围是 D. 当时，有且仅有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】A根据得到函数的导函数，求，得到，再根据函数的单调性得到最小值，B令，讨论 的取值范围，根据函数的单调性以及零点求解即可，C讨论 的取值范围寻找特殊点的函数值，利用函数的单调性求解，D首先分析函数的单调性，得到的极值点，再分析的符号，进而得到的零点. 【详解】因为，所以. 对于A，当时，，，令，解得. 当时，，所以 ，所以 在上单调递减； 当时，，所以 ，所以 在上单调递增， 所以 在处取得最小值，最小值为，A正确； 对于B，因为，所以. 令，则问题等价于函数 有两个不同的零点. 因为，若，，所以 单调递增， 则函数 最多有一个零点，不符合题意； 若，令，得， 当时，， 单调递增； 当时，， 单调递减，所以 在处取得极小值， 且极小值为， 要使函数 有两个不同的零点，则. 因为，则，即，解得. 又当时，，，所以； 当时，函数的增长远快于一次函数，所以. 综上，当时，函数 有两个不同的零点，B正确； 对于C，要使 对任意 恒成立，分情况讨论： ①当时，由A知， 恒成立，符合要求； ②当时，在上单调递增，，， 故存在，使得. 在上单调递减，在上单调递增， 因此，不符合要求； ③当 时，取，； 取，，均不满足 恒成立； ④当时，，不符合要求. 综上，当且仅当时满足条件，C错误. 对于D，当时，，. 令，则. 令，得， 当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以. 结合时，可知有两个不同的实数根， 分别对应 的极大值点，极小值点. 又，所以， 在上单调递减，且， 所以 在上有1个零点，且； 在上单调递增，又当时，，， 所以 在上有1个零点； 在上单调递增， 又当时，，，所以 在上有1个零点. 综上， 有且仅有3个零点，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知各项均为正数的等比数列满足，则______． 【答案】 27 【解析】 【分析】由对数的运算性质和等比中项的性质求解. 【详解】由题知，，由等比中项， 则，则（负值舍去）. 13. 已知双曲线：的右焦点为 ，坐标原点为，以线段 为直径的圆与的一条渐近线交于异于点的另一点 ．若，则的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设点为第一象限的点，求得 ，再利用公式可计算出双曲线的离心率. 【详解】设点为第一象限的点，则以 为直径的圆交双曲线的渐近线 于点， 则，且 ， ， 因此，双曲线的离心率为. 14. 在三棱锥 中，侧棱， ， 两两互相垂直，且．若为空间内一点，且 ， ，则的最大值为_________________． 附：柯西不等式：，其中 ， ，，，，，当且仅当（约定：若分母为0，则对应的分子也为0）时等号成立． 【答案】 【解析】 【分析】由侧棱， ， 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，设由 ，得到，再利用柯西不等式结合．得到，然后利用数量积的坐标运算得到求解. 【详解】在三棱锥 中，侧棱， ， 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系： 设则， 所以， 则，， 则，解得， 因为，所以． 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， ， 而在上单调递增， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为深入落实科教兴国战略，提升中学生航天科学素养，某地市教育局联合航天科技馆开展“航天科普进校园”系列研学实践活动，研学参与者均参加科创竞赛．为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们的研学累计参与时长（规定：累计参与时长 课时为长时研学，<6课时为短时研学）与科创竞赛获奖情况，得到如下列联表： 研学时长 科创竞赛 合计 获奖 未获奖 长时研学 25 15 40 短时研学 10 50 60 合计 35 65 100 （1）从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选取3名作为代表参加航天科普宣讲会，求选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率； （2）依据的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关？ 附：，其中 ． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）能认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关 【解析】 【分析】（1）由分层抽样确定各层人数，然后根据古典概型求概率； （2）提出零假设，计算统计量，比较临界值得出结论. 【小问1详解】 分层抽样中，长时研学人数为人，短时研学人数为人， 选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率为. 【小问2详解】 零假设：学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长无关， ， 所以拒绝零假设， 依据的独立性检验，能认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关. 16. 在 中，内角，，的对边分别为 ， ，，满足． （1）求角的大小； （2）若 ，求 面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及降幂公式化简已知方程，再利用辅助角公式求出角； （2）由余弦定理得到方程，根据重要不等式得出面积的最值. 【小问1详解】 ， 即， 因为，所以， 即， 则，即， 因为 ，， 所以，. 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 因为，所以， ， 当且仅当时等号成立. 17. 如图1，在平面四边形中， 是以为斜边的等腰直角三角形，， 是边长为2的等边三角形．现将 沿翻折至的位置，使得，如图2． （1）设为的中点，证明：平面； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】（1）因为为的中点，是边长为2的等边三角形，所以，且. 如图，连接，在等腰中，，又， 满足，所以，即. 又，且平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面 与平面 的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则 因为平面位于平面内，易知平面的一个法向量为 又. 设平面 的法向量为，则， 得，令，得， 即平面的一个法向量为. 设平面与平面 的夹角为. 因为， ， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． （1）求的标准方程； （2）设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设直线的斜率存在，其方程为，. 联立，消去得 ， 则 ， 化简得 ，， 因为 ，所以 ，即 ， 而， 代入得 ， 所以 ， 整理得 ，所以，满足 . 所以点到直线的距离， 由，得. 当直线的斜率不存在时，设： ，代入椭圆方程得， 则，由 ，得 ， 即，解得，所以，仍然成立. 综上，点到直线的距离为定值. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率，得出 的关系，再由直线 与椭圆有且只有一个公共点，判别式为0，从而求出 的值. （2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系，结合 ，得出，再由点到直线的距离求解，当直线的斜率不存在时，求出点到直线的距离，即可得定值. （ⅱ）当直线的斜率存在时，根据弦长公式表示出，得出 面积与的关系，通过换元，求出 面积的最大值，再求出直线的斜率不存在时 的面积，比较即可求得最大值. 【小问1详解】 由，得，即， 因此椭圆方程可写为 ，即， 将直线 代入椭圆方程得， 即 ， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以 ， 即 ，解得 ，则 ， 所以椭圆的标准方程为 . 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）当直线的斜率存在时， 由（ⅰ）知 . 的面积， 由，令，则，， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以当，即 时，满足 ，取最大，最大值为. 所以面积的最大值为. 当直线的斜率不存在时，由（ⅰ）知，，，， 所以， ， 所以 ， 因为，所以面积的最大值为. 19. 已知函数，其中， 为自然对数的底数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若对任意 ，不等式恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）由于，故， 令，由于在上单调递增，则， 则可化为函数， 则，由于，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故的极小值也即最小值为， 故，即. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）令，将可化为函数，利用导数求出该函数的最小值，即可证明； （3）将对任意 ，不等式恒成立，化为对任意恒成立，分情况讨论a的取值情况，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 则， 则，， 故曲线在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，对任意 ，不等式恒成立， 等价于对任意恒成立，分情况讨论： 当时，恒成立，在R上单调递增， 当时，存在t使，不满足条件； 当时，对恒成立，满足条件； 当时，由（2）知的最小值为，令，得， 即， 综上，a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6月高二数学 注意事项： 1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数 （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 已知抛物线 ：的焦点为 ，过点 的直线与 交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则 的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 定义在 上的偶函数满足，且当时，单调递减，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二项式，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中第3项与第4项的二项式系数之比为 B. 展开式中所有项的二项式系数之和为128 C. 展开式中所有项的系数之和为64 D. 展开式中常数项为 7. 为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（ ） 月份 7 8 9 10 11 12 /亿次 2 3 4 5 6 7 /亿元 8 15 28 50 90 160 通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令 ，得到 关于的回归方程为，相关系数为 ．则下列说法正确的是 附： ， ， ， ， ， ， ． A. 关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元 B. 与的相关系数 ，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则 C. 若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元 D. 当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次 8. 为推广非遗文化，某文创店推出“非遗主题盲盒”，每个盲盒内装有1张对应非遗项目的卡片，共有剪纸、陶艺、戏曲、书法4款不同卡片，每款卡片在盲盒中出现的概率均等，且不同盲盒开出的卡片相互独立．某同学一次性购买了3个盲盒，设该同学抽到的不同卡片款式的数量为随机变量 ，则下列说法正确的是（ ） A. 随机变量 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，且，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列的前 项和 10. 已知四棱锥 的底面是边长为2的正方形，顶点 在底面的投影为正方形的中心，高 ，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 该四棱锥的内切球的表面积为 C. 直线 与平面 所成角的正弦值为 D. 点到平面 的距离为 11. 已知函数，其中 ，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有（ ） A. 当 时，的最小值为0 B. 若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 C. 若 对任意恒成立，则实数的取值范围是 D. 当时，有且仅有3个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知各项均为正数的等比数列满足，则______． 13. 已知双曲线 ：的右焦点为 ，坐标原点为，以线段 为直径的圆与 的一条渐近线交于异于点的另一点 ．若，则 的离心率为_________． 14. 在三棱锥 中，侧棱， ， 两两互相垂直，且．若为空间内一点，且 ， ，则的最大值为_________________． 附：柯西不等式：，其中，，，，，，当且仅当（约定：若分母为0，则对应的分子也为0）时等号成立． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为深入落实科教兴国战略，提升中学生航天科学素养，某地市教育局联合航天科技馆开展“航天科普进校园”系列研学实践活动，研学参与者均参加科创竞赛．为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们的研学累计参与时长（规定：累计参与时长 课时为长时研学，<6课时为短时研学）与科创竞赛获奖情况，得到如下列联表： 研学时长 科创竞赛 合计 获奖 未获奖 长时研学 25 15 40 短时研学 10 50 60 合计 35 65 100 （1）从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选取3名作为代表参加航天科普宣讲会，求选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率； （2）依据的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关？ 附：，其中 ． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在 中，内角，， 的对边分别为 ， ，，满足． （1）求角的大小； （2）若 ，求 面积的最大值． 17. 如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，， 是边长为2的等边三角形．现将 沿翻折至的位置，使得，如图2． （1）设为的中点，证明：平面； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值． 18. 已知椭圆 ：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． （1）求 的标准方程； （2）设一动直线不经过坐标原点，与 交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知函数，其中， 为自然对数的底数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $