不等式与不等式组讲义（期末真题汇编）2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以不等式性质为基础，通过解法步骤与口诀构建系统方法，结合广东期末真题实现从概念到应用的逻辑进阶，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式的基本性质|10题|交换性、传递性及3条性质，明确移项、化系数为1的理论依据|从基本事实到性质拓展，构建不等式变形的逻辑基础| |一元一次不等式及其解法|2题|五步解法（去分母至系数化为1）及三大易错点（漏乘、移项变号、负系数变向）|性质应用于解法步骤，强化运算能力与推理意识| |一元一次不等式组及其解法|3题|“同大取大”等解集口诀，数轴法确定公共部分|单不等式解法延伸至组解集，培养几何直观与逻辑整合能力| |一元一次不等式（组）的应用|2题|四步应用法（分析关系至确定答案）|从数学模型到实际问题解决，发展模型意识与应用能力|

第十一章不等式与不等式组（期末真题汇编）讲义 单元/期末复习 广东适用 知识点01 不等式的基本性质 1. 两个基本事实 (1)不等式的性质的交换性 交换不等式的两边，不等号的方向改变. 如果a>b，那么b<a； (2)不等式的性质的传递性 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b，b<a,那么c<a；如果c≤b,b≤a,那么c≤a；如果c=b,b=a,那么c=a; 2. 不等式的基本性质 (1)不等式性质1 不等式的两边同加(或减)同一个数（或式子），不等号的方向不变. 不等式性质1是解不等式时移项法则的理论依据。 (2)不等式性质2 不等式的两边同乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. (3)不等式性质3 不等式的两边同乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 不等式性质②、③是解不等式时化系数为1和去分母法则的理论依据。 真题汇编 1、（24-25天河区期末）．若，则下列各式中正确的是(   ) A． B． C． D． 2、（24-25白云区期末）．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3、（24-25白云区期末）．如图，将不等式的解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是（   ） A． B． C．> D．< 4、（24-25天河区期末）．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5、（24-25番禺区期末）．一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50km，要在12：00之前驶过A地，设车速为km/h， 根据题意可列不等式为（    ） A． B． C． D． 6、（24-25天河区期末）．已知关于x，y的二元一次方程，当x分别取值时对于y的值如下表所示，则关于x的不等式的解集为（   ） x … -1 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 -1 … A． B． C． D． 7、（24-25荔湾区期末）．关于x的不等式组整数解共有3个，则a的取值范围是（   ）A． B． C． D． 8、（24-25天河区期末）．用适当的符号表示不等关系“m与3的和小于5”，则可以得到数学表达式为_________． 9、（24-25越秀区期末）．某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是_____． 10、 （24-25白云区期末）．已知不等式组的解为，则的值为________． 知识点02 一元一次不等式及其解法 1.不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； 2.不等式的解集 一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； 3. 解一元一次不等式的核心步骤： 1 去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； 2.三大易错点： 1 去分母不能漏掉没有分母的项； 2 移项要注意变号； 3 系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 真题汇编 一、单选题 11、（24-25天河区期末）解不等式：． 12、（24-25白云区期末）．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 1. 不等式组的解集知识点03 一元一次不等式组及其解法 不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. 2.求不等式组的解集口诀 同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找 3. 解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集. 4. 不等式组的整数解 在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解. 真题汇编 13、（24-25番禺区期末）．解不等式组：，并将解集表示在数轴上． 14、（24-25越秀区期末）．利用数轴求不等式组的解集． 15、 （24-25荔湾区期末）．解不等式组，把其解集表示在数轴上，并写出这个不等式组的整数解． 知识点04 一元一次不等式（组）的应用 应用一元一次不等式（组）解决问题的步骤： ①分析题意，寻找表示（不等）数量关系； ②思考探索，列出一元一次不等式（组）； ③求出解集，解不等式组； ④确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题. 真题汇编 一、单选题 16、（24-25越秀区期末）．某校计划购买A、B两种型号的机器人，已知购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元，购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元． (1)每台A型机器人和B型机器人的售价分别为多少万元？ (2)若该校计划购买A、B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校最多可购买A型机器人多少台？ 17、（24-25海珠区期末）．某社区计划组织居民外出参加一场大型公益活动，需要租车接送参与者．社区工作人员收集了以下租车信息： 信息1 豪华大巴载客量为50人，普通中巴载客量为30人，若租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元． 信息2 本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元，且租用的汽车总数为10辆． 请完成以下任务： 【任务1】请计算一辆豪华大巴和一辆普通中巴的租金分别为多少元？ 【任务2】要控制租车费用在预算范围内，在确保所有参加活动的居民能够一次性送达且不超载的前提下，请列出所有可行的租车方案并找出最省钱的方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章不等式与不等式组（期末真题汇编）答案 1、（24-25天河区期末）．若，则下列各式中正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质进行判断． 【详解】解：A、在不等式m＞n的两边同时加上2，不等号方向不变，即m+2＞n+2，故本选项不符合题意． B、在不等式m＞n的两边同时减去3，不等号方向不变，即m-3＞n-3，故本选项不符合题意． C、在不等式m＞n的两边同时乘-5，不等号方向改变，即-5m＜-5n，故本选项符合题意． D、在不等式m＞n的两边同时除以6，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 2、（24-25白云区期末）．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据题意得到，，由此根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由题意得，，， A.∵， ∴， 故选项A正确，符合题意； B. ∵， ∴， 故选项B错误，不符合题意； C. ∵， ∴， 故选项C错误，不符合题意； D.∵，， ∴， 故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 3、（24-25白云区期末）．如图，将不等式的解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是（   ） A． B． C．> D．< 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的解集，由数轴得该不等式的解集为，根据不等式的性质可得，即可求解． 【详解】解：由数轴得该不等式的解集为， 利用不等式的性质可得， 所以， 所以■盖住的符号是 故选：C． 4、（24-25天河区期末）．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， 所以，不等式组的解集在数轴上表示为： ， 故选：D． 5、（24-25番禺区.期末）．一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50km，要在12：00之前驶过A地，设车速为km/h， 根据题意可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，汽车40分钟行驶的路程大于50km，依此列出不等式即可． 【详解】解：设车速为xkm/h，由题意得： 40分钟=小时， x＞50． 故选：C． 6、（24-25天河区期末）．已知关于x，y的二元一次方程，当x分别取值时对于y的值如下表所示，则关于x的不等式的解集为（   ） x … -1 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 -1 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据表格求出a、b的值，代入不等式，再进一步求解可得． 【详解】解：由题意得出，解得：； ∴关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴x＞2， 故选：D 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和解二元一次方程组，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 7、（24-25荔湾区.期末）．关于x的不等式组整数解共有3个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先解出一元一次不等式组的解集，然后根据解集来取不等式的个整数解，再根据这个整数解求的取值范围． 【详解】解：， 不等式①的解集是：， 不等式②的解集是：， 原不等式组的解集是：； 当关于的不等式组的整数解共有个时， 的值可以取、、， 的取值范围是； 故选：C． 8、（24-25天河区期末）．用适当的符号表示不等关系“m与3的和小于5”，则可以得到数学表达式为_________． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，根据题意直接列出不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 9、（24-25越秀区.期末）．某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是_____． 答案】 【分析】按照运算程序列出不等式组求解即可． 【详解】第一次运行：，解得； 第二次运行：，解得； ∴． 故答案为：． 10、（24-25白云区期末）．已知不等式组的解为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组解集求参数，代数式求值，熟练掌握根据不等式组解集求出、值是解题的关键．先解不等式组得到，，然后根据该不等式组解集为求出、值，再代入计算即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解为， ，解得：，， ． 故答案为：． 11、（24-25天河区.期末）解不等式：． （2）∵， ∴， ， 则． 12、（24-25白云区期末）．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式；根据解一元一次不等式基本步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化为1可得：， 将解集表示在数轴上如下： 13、（24-25番禺区.期末）．解不等式组：，并将解集表示在数轴上． 【答案】不等式组的解集为，见解析 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解． 本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示： 14、（24-25越秀区.期末）．利用数轴求不等式组的解集． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来，然后根据数轴写出不等式组的解集即可，掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式①和②的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为． 15、（24-25荔湾区.期末）．解不等式组，把其解集表示在数轴上，并写出这个不等式组的整数解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上，如图所示： 不等式组的整数解为：，，0． 16、（24-25越秀区.期末）．某校计划购买A、B两种型号的机器人，已知购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元，购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元． (1)每台A型机器人和B型机器人的售价分别为多少万元？ (2)若该校计划购买A、B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校最多可购买A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台型机器人的售价为5万元，每台型机器人的售价为3万元 (2)该校最多可购买型机器人9台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每台型机器人的售价为万元，每台型机器人的售价为万元，根据购买1台型机器人和2台型机器人共需11万元，购买2台型机器人和3台型机器人共需19万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该校可购买型机器人台，则购买型机器人台，根据购买型机器人的总费用不超过购买型机器人的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每台型机器人的售价为万元，每台型机器人的售价为万元， 由题意得：， 解得：， 答：每台型机器人的售价为5万元，每台型机器人的售价为3万元； （2）解：该校可购买型机器人台，则购买型机器人台， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为9， 答：该校最多可购买型机器人9台． 17、（24-25海珠区.期末）．某社区计划组织居民外出参加一场大型公益活动，需要租车接送参与者．社区工作人员收集了以下租车信息： 信息1 豪华大巴载客量为50人，普通中巴载客量为30人，若租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元． 信息2 本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元，且租用的汽车总数为10辆． 请完成以下任务： 【任务1】请计算一辆豪华大巴和一辆普通中巴的租金分别为多少元？ 【任务2】要控制租车费用在预算范围内，在确保所有参加活动的居民能够一次性送达且不超载的前提下，请列出所有可行的租车方案并找出最省钱的方案． 【答案】[任务1] 一辆豪华大巴车的租金为500元，一辆普通中巴车的租金为350元；[任务2] 方案一：租租豪华大巴车8辆，租租普通中巴车2辆，租金为元；方案二：租租豪华大巴车9辆，租租普通中巴车1辆，租金为元，方案一最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到等量关系列出方程组是解题关键． [任务1]设一辆豪华大巴车的租金为元，一辆普通中巴车的租金为元，根据“租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元”列出方程组，解方程组即可； [任务2]设租豪华大巴车辆，则租普通中巴车辆，根据“本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元”列出不等式组，解不等式组求出的取值范围，结合为整数求出的值即可得出租车方案，再求出两种租车方案的费用比较即可． 【详解】解：[任务1]设一辆豪华大巴车的租金为元，一辆普通中巴车的租金为元， 根据题意得：， 解得， 答：一辆豪华大巴车的租金为500元，一辆普通中巴车的租金为350元； [任务2]设租豪华大巴车辆，则租普通中巴车辆， 根据题意得：， 解得， 为正整数， 或， 该社区有两种租车方案： 方案一：租租豪华大巴车8辆，租租普通中巴车2辆，租金为（元）； 方案二：租租豪华大巴车9辆，租租普通中巴车1辆，租金为（元） ， 方案一更省钱． 学科网（北京）股份有限公司 $