精品解析：陕西西安市爱知中学2025--2026学年下学期中考考前学情调研数学试题

初三第五次学情调研数学学科试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ﹣的绝对值是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的定义“数a的绝对值是指数轴上表示数a的点到原点的距离”进行求解即可． 【详解】数轴上表示数﹣的点到原点的距离是， 所以﹣的绝对值是， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 错因分析 容易题．失分原因是绝对值和相反数的概念混淆． 2. 下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形． 3. 如图，AB∥CD，BG⊥EF，∠1＝40°，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出∠2的度数，再根据三角形的内角和即可求出∠B． 【详解】如图：∵AB∥CD， ∴∠2=∠1=40° ∵BG⊥EF， ∴∠BGE=90° ∴∠B=180°-∠2-∠BGE =50° 故选C． 【点睛】此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知平行线的性质、垂直的性质及三角形的内角和定理． 4. 下列计算正确的是（　　） A. 5a＋2a＝7a2 B. （﹣3b）2•2b3＝﹣6b6 C. 6a8÷2a3＝3a7 D. （b＋2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2 【答案】D 【解析】 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式＝7a，不符合题意； B、原式＝9b2•2b3＝18b5，不符合题意； C、原式＝3a5，不符合题意； D、原式＝4a2﹣b2，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查整式的加减、乘除，要特别注意乘法公式的应用． 5. 如图，在中，，于点，是的中点，连接，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三线合一得出点D为的中点，根据三角形中位线的判定和性质得出，根据勾股定理得出，进而可求出． 【详解】解：∵，， ∴点D为的中点， ， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴， 在中，， ∴． 6. 若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出一次函数的图象经过点，代入计算即可． 【详解】解：∵将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点， ∴一次函数的图象经过点， ∴， 解得． 7. 如图，正方形的顶点G、E分别在正方形的边、上，，，连接并延长交边于点H，连接，则的长为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，准确利用性质是正确解答此题的关键．首先利用正方形性质得到相关线段的长度和角度关系，再通过相似三角形的性质求出的长度，进而得到的长度，最后在中，根据勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵正方形的顶点G、E分别在正方形的边、上，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 10. 把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解． 【详解】解：因为任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， 且， 则第三列第三行的数字是“6”即； 则第二行：， 解得， 故答案为1. 11. 如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5米，进口AB∥OD，且AB=2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为________米． 【答案】8 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到BE=OA=5，AB=2，求得B（2，5），设双曲线BC的解析式为y=，代入B点坐标，得到k=10，然后求出D点横坐标，最后用OD-OE即可求解． 【详解】∵四边形AOEB是矩形 ∴BE=OA=5，AB=2 ∴B(2，5) 设双曲线的解析式为y=，将点B的坐标代入，5= ∴k=10 ∴y= ∵CD为1 ∴当y=1时，x=10 ∴OD=10 ∴DE=OD-OE=10−2=8 ∴B、C之间的水平距离DE的长度为8米． 故答案为8． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，矩形的性质，解题突破口是设双曲线BC的解析式为y=． 12. 如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． 13. 如图，在菱形中，，，点为对角线上一点（不与、重合），过点作直线，直线，垂足分别为点、点．连结，在点的运动过程中，的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点，连接，交于点，先求出的长，再得出，则可得，然后根据垂线段最短求出的最小值，据此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点，连接，交于点， ∵在菱形中，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴要使得的值最小，则需的值最小， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题的难点在于利用角平分线的性质定理得出的一个定值． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简绝对值、计算负整数指数幂、正弦，再化简二次根式、计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简后求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】先计算完全平方公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 将，代入得：原式． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查分式的运算，掌握因式分解，以及分式的运算法则是解题关键． 17. 如图，已知，点在边上，请利用尺规作图法在内部求作一点，使得，且是等腰三角形．（作出一个即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，即为所求； 【解析】 【分析】先作出的平分线，则点在的平分线上，然后根据等腰三角形的定义和垂直平分线的判定画垂直平分线即可作图． 【详解】略 18. 智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 【答案】机器人单独工作的时长为分钟 【解析】 【分析】设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟，根据题意建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟， 由题意得：， 解得， 答：机器人单独工作的时长为分钟． 19. 如图，在中，E是的中点，点F在边上，过点C作，交的延长线于点D. 求证：. 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵E是的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，阳光中学举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．听航天科普讲座；B．参观航天科技展；C．制作航天火箭模型；D．参加航天梦想营，每位同学从中随机选择一项参加． （1）该校乐乐同学选择“参加航天梦想营”的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求该校小阳和小辉两人选择不同项目的概率． 【答案】（1） （2）该校小阳和小辉两人选择不同项目的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，内容有四项，乐乐同学选择“参加航天梦想营”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下，内容有四项：A．听航天科普讲座；B．参观航天科技展；C．制作航天火箭模型；D．参加航天梦想营． A B C C A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 共有16种等可能结果，其中该校小阳和小辉两人选择不同项目的情况有12种， ∴该校小阳和小辉两人选择不同项目的概率为． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 21. 渭华起义纪念馆是融合红色旅游、思政教育与红色文化的研学阵地，获评国保单位、全国爱国主义教育及中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，小王和小李两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，小王在点E处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点C处时，眼睛位于点D处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶A的像，小王拿来一根标杆立于点C处，小李发现地面上的点G、标杆顶端F和塔的顶端A恰好在一条直线上，已知点B、E、C、G在一条水平直线上，点C、D、F在一条直线上，，，经测量，米，米，小王的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助小王和小李计算渭华起义纪念塔的高度． 【答案】渭华起义纪念塔的高度为19.2米 【解析】 【分析】设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米．先证，从而得到，即；再证，从而得到，即，将代入消元，即可解得x的值，从而求得渭华起义纪念塔的高度． 【详解】解：设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米． ∵，， ∴， 由光的反射定律可得：， ∴， ∴， 即， 化简得：． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 得：， 解得：， 答：渭华起义纪念塔的高度为19.2米． 22. 水是生命之源，每一滴水都来之不易，节约用水已成为全民共识．某校举行了水资源保护知识竞赛．为了解九年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 组别 分数/分 频数 组内学生的平均成绩/分 A 65 B 10 75 C 14 85 D 18 95 请根据图表信息，解答下列问题： （1）一共抽取了______人，表中______，所抽取参赛学生成绩的中位数落在“组别”______； （2）求所抽取的这些学生的平均成绩； （3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生大约有多少人？ 【答案】（1）； （2）所抽取的这些学生的平均成绩是分； （3）该校九年级竞赛成绩达到分及以上的学生约有人． 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表和扇形统计图的综合运用，样本估计总体等知识点， 由题意，“组”的有人，占调查人数的,可求出调查人数；用总数乘以百分比可求出“组”人数，根据中位数的意义，找出处在第位两个数的平均数即可； 利用加权平均数求这些同学平均成绩即可； 利用样本估计总体，求出样本中竞赛成绩达到分及以上的学生所占的百分比，再乘以即可. 熟练掌握以上知识并能读懂统计图表，从中得到必要的信息是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取学生：（人）, 组的人数(人), 本次调查一共随机抽取名学生， 第位两个数都在组，中位数落在组， 故答案为：； 【小问2详解】 解：抽取的这些学生的平均成绩为(分), 答：所抽取的这些学生的平均成绩是分； 【小问3详解】 解：该校九年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数约为：(人), 答：该校九年级竞赛成绩达到分及以上的学生约有人． 23. 二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强清洁能源高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某百货公司计划购买型和型两种环保节能灯，共购买盏，且当天全部售出，其成本及售价如表所示，设该百货公司每天购买型节能灯盏，每天销售两种型号的节能灯共获利润为元． 节能灯 成本（元/盏） 售价（元/盏） 型 型 （1）求出与之间的函数关系式； （2）若百货公司每天购进型节能灯的数量不超过型的倍，求每天应购进多少盏型和型环保节能灯，才能使得总利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）（，且为整数） （2）每天应购进40盏型和10盏型环保节能灯，才能使得总利润最大，最大利润为480元 【解析】 【分析】（1）该百货公司每天购买型节能灯盏，根据总利润型节能灯的利润型节能灯的利润可得与之间的函数关系式，再求出的取值范围即可； （2）先求出的取值范围，再根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：该百货公司每天购买型节能灯盏， 则， 答：与之间的函数关系式为（，且为整数）． 【小问2详解】 解：∵百货公司每天购进型节能灯的数量不超过型的倍， ∴， 解得， ∵对于函数，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最大值，最大值为， 此时， 答：每天应购进40盏型和10盏型环保节能灯，才能使得总利润最大，最大利润为480元． 24. 如图，点C在以 为直径的 上，平分交 于点D，交 于点E，过点D作 的切线交的延长线于点F． （1）求证： ； （2）若，，求 的长． 【答案】（1）证明：如图，连接 ． ∵ 为 直径， ∴ ， 又∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵点D为 切点，为切线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ．由 为 直径，平分，证得 ， 根据“同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，可得 ，再由为切线可知， ，最后根据“内错角相等，两直线平行”证得结论； （2）过点C作 于点M，连接 ．先求出直径，再运用等面积法求出，证 ，运用相似三角形的性质，求得，最后根据勾股定理，求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点C作 于点M，连接 ． ∵ 为 直径， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 解得： ． ∵点D为 切点，为切线， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 由（1）可知， ， ∴ ， ∴ ， ∴， 即， 解得：， 在 中， ∵ ，， ， ∴． 25. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． （1）求钢缆所在抛物线的函数表达式． （2）为提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（在的右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出最低点和的坐标，代入解析式即可； （2）将的纵坐标代入即可求出与主塔的水平距离． 【详解】（1）解：钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． ∴点的坐标为，即​的顶点为， 又∵，在轴上， ∴，在上， 设的抛物线解析式为顶点式：， 将代入得：， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解： ∵与关于轴对称， ∴的顶点，的解析式为：，即为； ∵垂直桥面（轴），长度为， ∴点纵坐标，代入解析式得： ； 解得， 在右侧，即， ∴加劲梁与主塔的水平距离为​． 26. 根据题目条件，解答下列问题 （1）如图，在中，C是上任意一点，若的半径为2，点O到的距离为5，则C到直线距离的最小值为________． （2）如图，在矩形 中， ，，P为 上一点，，求长； （3）如图，某城市有一块四边形空地 ，经测量， ， 米， 米， 米．城市规划部门准备把它建造成一个城市花园，为开放型入口，为了保证安全，设计师想在边上安装一个摄像头P，摄像头的观测角度为（即 ），同时，计划在花园内划定景观用地 ，其中，E是步道 上一点，F是步道上一点，连接，且 米，Q是线段的中点，连接、 ，为了控制建设成本，请帮助规划部门求出景观用地 面积的最小值． 【答案】（1）3 （2）或 （3） 的面积最小值为（平方米） 【解析】 【分析】（1）过点O作 于点D．由题意知， ，当与的交点为点C，即O，C，D三点共线时，C到直线距离的最小，结合已知条件“的半径为2”，求得C到直线距离的最小值； （2）由可知，点P为以为直径的圆与线段 的交点．作出该圆，则符合题意的点P有两个，分别为，，连接 ， ，过点作 于点F，过点作 于点G．先在 中，运用勾股定理求出的长度，从而求得的长；再证 ，求得，再求出的长； （3）过点B作 于点G．运用勾股定理，求出．以为斜边，作 ，以I为圆心，为半径作圆，该圆与交于点P，则 ．取的中点H，连接 ， ，过点I作 交于点L，交于点K， 交于点R．运用相似三角形的判定与性质，结合勾股定理，求出，点Q在以D为圆心，100为半径的圆上运动．过点D作 于点M．当D，Q，M三点共线时， Q到的距离的最小，最小值为 的长度，即此时 的面积最小．运用等面积法求出，从而求得 ，最后求出 的面积最小值． 【小问1详解】 解：如图1，过点O作 于点D． ∵点O到的距离为5， ， ∴ ． 由垂线段最短可知： C到直线的距离， 当与的交点为点C，即O，C，D三点共线时， C到直线的距离最小，最小值为 ， 即C到直线距离的最小值为3． 【小问2详解】 解：∵，P为 上一点， ∴点P为以为直径的圆与线段 的交点． 如图2，取的中点E，以点E为圆心， 为半径作圆，该圆交线段 于两点，分别记这两点为，，则 ，即符合题意的点P有两个，分别为，，连接 ， ，过点作 于点F，过点作 于点G． ∵矩形 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ∵ ，E为的中点， ∴ ， ∵以点E为圆心， 为半径作圆，该圆交线段 于点， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴； ∵矩形 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵矩形 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 由题意可知： ， 又∵ ， ， ∴ ， 在 与 中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵矩形 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 综上所述，或． 【小问3详解】 解：如图3，过点B作 于点G． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ （米）， ∵ （米）， ∴ （米）， ∵ （米）， ， ∴ （米）， ∵四边形 是矩形， ∴ （米）． ∵ ，点P在上， （米）， ∴点P在圆上． 如图4，以为斜边，作 ，以I为圆心，为半径作圆，该圆与交于点P，则 ．取的中点H，连接 ， ，过点I作 交于点L，交于点K， 交于点R． ∵ （米），点H为的中点， ∴ （米）， ∵ 为等腰直角三角形，点H为斜边的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∴ （米）． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 解得：（米），（米）， ∵ （米）， ∴（米）． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， 即（米）， （米）， ∴ （米）． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ （米）， ∴ （米）． ∵ 为等腰直角三角形，为斜边， （米）， ∴（米）， ∵ ，（米）， ∴ （米）． ∵ （米）， ∵矩形 ， ∴ （米）， ∴ （米）， 在 中， ∵ ， （米）， （米）， ∴（米）． ∵ ， （米），Q是线段的中点， ∴ （米）， ∴点Q在以D为圆心，100为半径的圆上运动． 如图5，过点D作 于点M． 当D，Q，M三点共线时， Q到的距离的最小，最小值为 的长度，即此时 的面积最小． ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴（米）， ∴（米）， ∴（平方米）， 即 的面积最小值为（平方米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三第五次学情调研数学学科试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ﹣的绝对值是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣5 D. 5 2. 下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，AB∥CD，BG⊥EF，∠1＝40°，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 4. 下列计算正确的是（　　） A. 5a＋2a＝7a2 B. （﹣3b）2•2b3＝﹣6b6 C. 6a8÷2a3＝3a7 D. （b＋2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2 5. 如图，在中，，于点，是的中点，连接，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的顶点G、E分别在正方形的边、 上，，，连接并延长交边于点H，连接，则的长为（　　） A. 6 B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 16的算术平方根是___________． 10. 把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为___________． 11. 如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5米，进口AB∥OD，且AB=2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为________米． 12. 如图， 为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 13. 如图，在菱形中，，，点为对角线上一点（不与、重合），过点作直线 ，直线，垂足分别为点、点．连结，在点的运动过程中，的最小值为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 15. 先化简后求值：，其中， 16. 化简：． 17. 如图，已知，点在边上，请利用尺规作图法在内部求作一点，使得，且是等腰三角形．（作出一个即可，保留作图痕迹，不写作法） 18. 智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 19. 如图，在中，E是的中点，点F在边 上，过点C作，交的延长线于点D. 求证：. 20. 为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，阳光中学举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．听航天科普讲座；B．参观航天科技展；C．制作航天火箭模型；D．参加航天梦想营，每位同学从中随机选择一项参加． （1）该校乐乐同学选择“参加航天梦想营”的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求该校小阳和小辉两人选择不同项目的概率． 21. 渭华起义纪念馆是融合红色旅游、思政教育与红色文化的研学阵地，获评国保单位、全国爱国主义教育及中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，小王和小李两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，小王在点E处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点C处时，眼睛位于点D处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶A的像，小王拿来一根标杆立于点C处，小李发现地面上的点G、标杆顶端F和塔的顶端A恰好在一条直线上，已知点B、E、C、G在一条水平直线上，点C、D、F在一条直线上，，，经测量，米，米，小王的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助小王和小李计算渭华起义纪念塔的高度 ． 22. 水是生命之源，每一滴水都来之不易，节约用水已成为全民共识．某校举行了水资源保护知识竞赛．为了解九年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 组别 分数/分 频数 组内学生的平均成绩/分 A 65 B 10 75 C 14 85 D 18 95 请根据图表信息，解答下列问题： （1）一共抽取了______人，表中______，所抽取参赛学生成绩的中位数落在“组别”______； （2）求所抽取的这些学生的平均成绩； （3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生大约有多少人？ 23. 二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强清洁能源高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某百货公司计划购买型和型两种环保节能灯，共购买盏，且当天全部售出，其成本及售价如表所示，设该百货公司每天购买型节能灯盏，每天销售两种型号的节能灯共获利润为元． 节能灯 成本（元/盏） 售价（元/盏） 型 型 （1）求出与之间的函数关系式； （2）若百货公司每天购进型节能灯的数量不超过型的倍，求每天应购进多少盏型和型环保节能灯，才能使得总利润最大，并求出最大利润． 24. 如图，点C在以 为直径的 上，平分交 于点D，交 于点E，过点D作 的切线交的延长线于点F． （1）求证： ； （2）若，，求 的长． 25. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． （1）求钢缆所在抛物线的函数表达式． （2）为提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（在的右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离． 26. 根据题目条件，解答下列问题 （1）如图，在中，C是上任意一点，若的半径为2，点O到 的距离为5，则C到直线 距离的最小值为________． （2）如图，在矩形 中， ，，P为 上一点，，求长； （3）如图，某城市有一块四边形空地 ，经测量， ， 米， 米， 米．城市规划部门准备把它建造成一个城市花园， 为开放型入口，为了保证安全，设计师想在边上安装一个摄像头P，摄像头的观测角度为 （即 ），同时，计划在花园内划定景观用地 ，其中，E是步道 上一点，F是步道上一点，连接，且 米，Q是线段的中点，连接、 ，为了控制建设成本，请帮助规划部门求出景观用地 面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $