精品解析：河南省开封市祥符区曲兴镇第一初级中学2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

河南省开封市祥符区曲兴镇第一初级中学2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题 北师大版 范围：全册 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. “ 的5倍与2的和是非正数”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】拆解题目描述，结合非正数的定义转化为不等式即可； 【详解】解：∵ 的5倍为， 的5倍与2的和为， 又∵非正数的定义为小于或等于 的数， ∴可列不等式为． 2. 三条公路将、 、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 3. 下列多项式中，各项的公因式为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】公因式是多项式各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积，按规则求出各选项的公因式，即可得到答案． 【详解】解：根据公因式的确定规则，对各选项逐一判断： ∵ 选项A：多项式 ，系数最大公约数为 ，相同字母最低次幂为 ，∴ 公因式为 ，故不符合题意； ∵ 选项B：多项式，系数最大公约数为 ，相同字母最低次幂为，∴ 公因式为，故不符合题意； ∵ 选项C：多项式，系数 和的最大公约数为 ，相同字母 的最低次幂为 ，的最低次幂为，∴ 公因式为，故符合题意； ∵ 选项D：多项式 ，系数最大公约数为 ，相同字母最低次幂为，公因式为 ，故不符合题意． 4. 如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等腰梯形的性质，根据等腰梯形的腰相等求解即可 【详解】解：四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，， ∴， ∴， 故选∶C． 5. 如图，平行四边形的对角线 ，相交于点O，E是中点，且，则平行四边形的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得为 中点，结合为中点，利用三角形中位线定理可得，由 及已知条件求出的值，进而求得周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 是中点， ， 是 的中位线， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 6. 在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是 的三边长，且满足 ，则 的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将已知等式移项后分组因式分解，结合三角形三边的性质即可判断 的形状． 【详解】解： ， 移项得 ， 分组得 ， 分解得 ， 提取公因式得 ， ∵ ， ，是 的三边长， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ 是等腰三角形． 7. 如果关于 的分式方程 无解，那么实数的值是（ ） A. 且 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程无解分两种：变形后的整式方程无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况讨论即可求出的值． 【详解】解：原方程变形为 ， 方程两边同乘（ ），得， 整理得 ， ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当整式方程无解时， ， 解得 ， 此时方程 不成立，整式方程无解，符合要求； ②当整式方程的解为增根时，原分式方程的增根为 ， 将 代入 ，得 ， 解得，符合要求； 综上，或 ． 8. 【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为 轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为 ．若叶片每秒绕点顺时针旋转 ，则第7秒时叶片尖点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、 秒时，点的对应点的坐标，找到规律，即可解答． 【详解】解：点对应的坐标为 ， 点在第一象限的角平分线上． 叶片每秒绕原点顺时针旋转 ， 第1、2、3、 秒时，点的对应点的坐标分别为：， ， ， ， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环． ， 第7秒时叶片尖点的坐标与第 秒时的位置相同， 即第7秒时叶片尖点的坐标为 ． 9. 如图，在中， 平分，交 边上的高 于点．已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证 ，再证 ，推出 ，在中，利用含30度的直角三角形的性质，得 ，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ． 10. 若实数使关于 的不等式组有解且至多有 个整数解，且使关于 的分式方程 有整数解，则满足条件的整数的个数为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组，根据不等式组有解且至多 个整数解得到的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解筛选出符合条件的整数，统计个数即可． 【详解】解：， 解不等式①，两边同乘 得 ， 移项整理得 ， ∴； 解不等式②得， 不等式组的解集为； ∵不等式组有解且至多有 个整数解， ∴ ， 解得 ； 解分式方程 ， 两边同乘得， 整理得 ， 当时，方程为，即方程无解，舍去； 当时，， ∵分式方程分母不为 ， ∴，即 ，解得 ， ∵方程有整数解，为整数， ∴是 的整数因数，即 ， 解得 ， ， 符合条件的整数为，共 个． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了边形的内角和，熟练掌握该知识点是解题的关键．设这个多边形为边形，根据公式可知，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形为边形， 故答案为：9 12. 在四边形中，若， ， ，要使该四边形为平行四边形，则的长为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可求解． 【详解】解：， ， ， 要使该四边形为平行四边形，只需满足即可， ， ． 13. 若运算的结果为整式，则“”中的式子可以是____________． 【答案】 （答案不唯一，只要是含有因子的整式均可） 【解析】 【分析】先将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分，根据结果为整式的要求，可确定“ ”中式子需要满足的条件，根据条件写出一个式子即可． 【详解】解：    ， ∵运算结果为整式， ∴ 需要被整除， ∴“”中需要含有因子， ∴“”中的式子可以是（答案不唯一，只要是含有因子的整式均可）． 14. 如图， ，射线于，点和分别在线段 和射线上运动，且．当____________时，以点， ，为顶点的三角形与全等． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据 ，可得要使以点， ，为顶点的三角形与全等，利用，分和 两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵以点， ，为顶点的三角形与全等， ∴当， 时，此时，点与点重合， ， 当，时， ， 综上所述：或时，以点， ，为顶点的三角形与全等． 15. 如图，在平行四边形纸片中， ，E是线段 的中点，点在边所在的直线上，将 沿所在的直线翻折得到 ，连接，则长度的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：先作 交的延长线于点G，连接，根据平行四边形的性质，再根据三角形三边之间的关系可知当点 共线时最小，然后根据勾股定理求出 ，再根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图：先作 交的延长线于点G，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵ ，E是线段 的中点， ∴， 根据折叠的性质得． 根据三角形三边之间的关系，可得 ， 当点 共线时最小， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 根据勾股定理，得，解得： ， ∴． 根据勾股定理，得， ∴最小值是． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解分式方程： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 原分式方程无解 【解析】 【分析】将两个分式方程分别去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验分母是否不为零，即可得到原方程的解． 【小问1详解】 解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为 ，得， 检验：当时， ， 是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：整理得， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为 ，得， 检验：当时， ， ∴原分式方程无解． 17. 已知在平面直角坐标系中，点，点，点．将 平移，使得点与点重合，得到，点B，C的对应点分别是点E，F． （1）画出平移后的，并写出点和点的坐标； （2）连接， ，这两条线段的关系是____________； （3）若 中任意一点 经同样的平移得到对应点为，则____________． 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案；（2）根据题意连接， ，即可得到和 的关系；（3）先根据平移的性质表示出的坐标，即可得出ｍ，ｎ的值，从而得到答案． 【小问1详解】 如图所示： 由图可知，，． 【小问2详解】 连接， ，如图所示： 由图可知， ． 【小问3详解】 由题意知， 是向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到的， 则点的坐标为， ， ，， ． 18. 求不等式 的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”，得 ①或②， 解不等式组①，得 ， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为 或． 请你仿照上述方法求不等式 的解集． 【答案】 【解析】 【分析】根据“异号两数相乘，积为负”，将原不等式拆分为两个不等式组，分别求解即可． 【详解】解：根据“异号两数相乘，积为负”，得 ①或②， 解不等式组①，无解， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为． 19. 如图，在 中， 为 边的中点，过点 作 交的延长线于点F， 平分 交于点，连接 ．求证：四边形 是平行四边形． 【答案】证明：∵， ． ∵ ， ， ． ∵ 平分 交于点， ， ． ∵D为 边的中点， ． 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴四边形 是平行四边形． 【解析】 【分析】先证明可得，再结合 利用对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】略 20. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解： ____________； （2）证明：无论取何值时， 的值一定是非负数． 【答案】（1） （2）证明：将“ ”看成整体，令 ，则： 原式． 再将“”还原，得原式． ， 无论取何值时， 的值一定是非负数． 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料中的方法类比求解即可； （2）根据阅读材料中的方法类比求解，将 因式分解为，最后由平方非负性即可得证． 【小问1详解】 解：将“”看成整体，令 ，则： 原式． 再将“”还原，得原式． 【小问2详解】 略． 21. 【新课标•应用意识】在学习“分式方程的应用”时，对于同一道题，小明和小红两名同学都列出了对应的方程． 例：某商店购进A，B两种型号的纪念品，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多30元，用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍．求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元． 小明： 小红： 根据以上信息，解答下列问题： （1）①小明同学所列方程中的 表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； ②小红同学所列方程中的表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； （2）请你在两个方程中任选一个，解答该题． 【答案】（1）①A型号纪念品的单价；用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍 ②用880元购买A型号纪念品的数量；A型号纪念品的单价比B型号纪念品的单价多30元 （2）A，B两种型号纪念品的单价分别是88元，58元 【解析】 【分析】（1）观察两个方程等号的意义，即可找出等量关系式，观察方程左边的式子，根据总价 数量=单价；总价 单价=数量即可知道 和表示的意义． （2）通过去分母的方法解分式方程即可，需要注意的是要检验所求 值是否是原方程的解以及满足分式方程条件． 【小问1详解】 解：① 表示A型号纪念品的单价， 等量关系式为：用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍．　 ②表示用880元购买A型号纪念品的数量， 等量关系式为：A型号纪念品的单价比B型号纪念品的单价多30元 【小问2详解】 解：用小明同学的方法： 设A型号纪念品的单价为 ，B型号纪念品的单价为 ，列方程得， 去分母得 ， 整理得 ， 解得． 经检验 ，是原分式方程的解， ， A，B两种型号纪念品的单价分别是88元，58元． 用小红同学的方法： 设购买A型号纪念品的数量为，则购买B型号纪念品的数量为，列方程得 ， 去分母得 ， 解得， ， 经检验 ，是原分式方程的解， ， ， A，B两种型号纪念品的单价分别是88元，58元． 22. 如图，在 中，对角线 ，相交于点，，分别是，的中点，点，在对角线 上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，易证，得到，，进而推出，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明是 的中位线，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ． ，分别是，的中点， ，， ． 又， ， ，， ，． 又， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ． ， ， ． 又 是的中点， 是 的中位线， ． 23. 中， ， ， ，动点在直线 上运动．以为边作等边三角形，使点在的右侧． （1）的长为______； （2）如图1，当 时，点在线段 上，求的度数； （3）如图2，点在 的延长线上，若，点恰好在线段的垂直平分线上，求的面积； （4）点在射线 上，若是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） （4）的长为 或或 【解析】 【分析】（1）在中，已知，，，利用角所对的直角边是斜边的一半先求出 ，再用勾股定理求。 （2）由 是等边三角形得，结合 推出 ；再结合 中，判定为等边三角形，从而得到的度数。 （3）先由 是等边三角形得，；结合算出和的度数；再根据点在的垂直平分线上得，进而推出 ，得到，判定 为等腰直角三角形；最后结合的长度求出 ，从而计算面积。 （4）分三种情况讨论为等腰三角形： 、 、 ，结合直角三角形性质和线段和差分别计算的长度。 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解： 是等边三角形， ． ， ． ， ， ， 是等边三角形， ； 【小问3详解】 解： 是等边三角形， ，， ， ． 点恰好在线段的垂直平分线上， ， ， ， 是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理可得， ， ； 【小问4详解】 解：情况一： ， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴−− ； 情况二： ， ∵， ∴， 情况三： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为 或或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练掌握特殊三角形的边角关系并运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省开封市祥符区曲兴镇第一初级中学2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题 北师大版 范围：全册 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. “的5倍与2的和是非正数”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 2. 三条公路将、 、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 3. 下列多项式中，各项的公因式为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E是中点，且，则平行四边形的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6. 在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如果关于的分式方程 无解，那么实数的值是（ ） A. 且 B. C. 或 D. 8. 【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴 为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为 ．若叶片每秒绕点 顺时针旋转 ，则第7秒时叶片尖点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中， 平分，交边上的高于点．已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 若实数使关于的不等式组有解且至多有 个整数解，且使关于的分式方程 有整数解，则满足条件的整数的个数为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是______． 12. 在四边形中，若， ， ，要使该四边形为平行四边形，则的长为____________． 13. 若运算的结果为整式，则“”中的式子可以是____________． 14. 如图， ，射线于，点和 分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点， ，为顶点的三角形与全等． 15. 如图，在平行四边形纸片中， ，E是线段 的中点，点在边所在的直线上，将 沿 所在的直线翻折得到 ，连接，则长度的最小值是____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解分式方程： （1） ； （2）． 17. 已知在平面直角坐标系中，点，点，点．将平移，使得点与点重合，得到，点B，C的对应点分别是点E，F． （1）画出平移后的，并写出点 和点的坐标； （2）连接，，这两条线段的关系是____________； （3）若中任意一点 经同样的平移得到对应点为，则____________． 18. 求不等式 的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”，得 ①或②， 解不等式组①，得 ， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为 或． 请你仿照上述方法求不等式 的解集． 19. 如图，在中， 为 边的中点，过点 作 交的延长线于点F， 平分 交于点 ，连接 ．求证：四边形 是平行四边形． 20. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解： ____________； （2）证明：无论取何值时， 的值一定是非负数． 21. 【新课标•应用意识】在学习“分式方程的应用”时，对于同一道题，小明和小红两名同学都列出了对应的方程． 例：某商店购进A，B两种型号的纪念品，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多30元，用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍．求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元． 小明： 小红： 根据以上信息，解答下列问题： （1）①小明同学所列方程中的表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； ②小红同学所列方程中的表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； （2）请你在两个方程中任选一个，解答该题． 22. 如图，在 中，对角线，相交于点 ，，分别是，的中点，点 ，在对角线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的长． 23. 中，， ， ，动点在直线 上运动．以为边作等边三角形，使点 在的右侧． （1）的长为______； （2）如图1，当 时，点在线段 上，求的度数； （3）如图2，点在 的延长线上，若，点 恰好在线段的垂直平分线上，求的面积； （4）点在射线 上，若是等腰三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $