精品解析：河南省开封市祥符区曲兴镇第一初级中学2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

河南省开封市祥符区曲兴镇第一初级中学2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题 北师大版 范围：全册 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. “的5倍与2的和是非正数”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】拆解题目描述，结合非正数的定义转化为不等式即可； 【详解】解：∵的5倍为，的5倍与2的和为， 又∵非正数的定义为小于或等于的数， ∴可列不等式为． 2. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 3. 下列多项式中，各项的公因式为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】公因式是多项式各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积，按规则求出各选项的公因式，即可得到答案． 【详解】解：根据公因式的确定规则，对各选项逐一判断： ∵ 选项A：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为 ，∴ 公因式为 ，故不符合题意； ∵ 选项B：多项式，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，∴ 公因式为，故不符合题意； ∵ 选项C：多项式，系数和的最大公约数为，相同字母的最低次幂为，的最低次幂为，∴ 公因式为，故符合题意； ∵ 选项D：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，公因式为 ，故不符合题意． 4. 如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等腰梯形的性质，根据等腰梯形的腰相等求解即可 【详解】解：四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，， ∴， ∴， 故选∶C． 5. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E是中点，且，则平行四边形的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得为中点，结合为中点，利用三角形中位线定理可得，由及已知条件求出的值，进而求得周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 是中点， ，是的中位线， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 6. 在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将已知等式移项后分组因式分解，结合三角形三边的性质即可判断的形状． 【详解】解： ， 移项得 ， 分组得 ， 分解得 ， 提取公因式得 ， ∵ ，，是的三边长， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ 是等腰三角形． 7. 如果关于的分式方程 无解，那么实数的值是（ ） A. 且 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程无解分两种：变形后的整式方程无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况讨论即可求出的值． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同乘（ ），得， 整理得， ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当整式方程无解时， ， 解得 ， 此时方程不成立，整式方程无解，符合要求； ②当整式方程的解为增根时，原分式方程的增根为 ， 将 代入 ，得 ， 解得，符合要求； 综上，或． 8. 【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标，找到规律，即可解答． 【详解】解：点对应的坐标为， 点在第一象限的角平分线上． 叶片每秒绕原点顺时针旋转， 第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标分别为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环． ， 第7秒时叶片尖点的坐标与第秒时的位置相同， 即第7秒时叶片尖点的坐标为． 9. 如图，在中， 平分，交边上的高于点．已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证，再证，推出，在中，利用含30度的直角三角形的性质，得，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ． 10. 若实数使关于的不等式组有解且至多有个整数解，且使关于的分式方程 有整数解，则满足条件的整数的个数为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组，根据不等式组有解且至多个整数解得到的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解筛选出符合条件的整数，统计个数即可． 【详解】解：， 解不等式①，两边同乘得， 移项整理得， ∴； 解不等式②得， 不等式组的解集为； ∵不等式组有解且至多有个整数解， ∴， 解得； 解分式方程， 两边同乘得， 整理得， 当时，方程为，即方程无解，舍去； 当时，， ∵分式方程分母不为， ∴，即，解得， ∵方程有整数解，为整数， ∴是的整数因数，即， 解得， ， 符合条件的整数为，共个． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个多边形的内角和等于，则这个多边形是___________边形． 【答案】九 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；设这个多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】设这个多边形的边数是n，则有， 化简得， 解得， 这个多边形是九边形． 故答案为：九． 12. 在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可求解． 【详解】解：，， ， 要使该四边形为平行四边形，只需满足即可， ， ． 13. 若运算的结果为整式，则“”中的式子可以是____________． 【答案】 （答案不唯一，只要是含有因子的整式均可） 【解析】 【分析】先将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分，根据结果为整式的要求，可确定“ ”中式子需要满足的条件，根据条件写出一个式子即可． 【详解】解：    ， ∵运算结果为整式， ∴ 需要被整除， ∴“”中需要含有因子， ∴“”中的式子可以是（答案不唯一，只要是含有因子的整式均可）． 14. 如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】根据，可得要使以点，，为顶点的三角形与全等，利用，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点，，为顶点的三角形与全等， ∴当，时，此时，点与点重合，， 当，时，， 综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与全等． 15. 如图，在平行四边形纸片中，，E是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：先作交的延长线于点G，连接，根据平行四边形的性质，再根据三角形三边之间的关系可知当点共线时最小，然后根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图：先作交的延长线于点G，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，E是线段的中点， ∴， 根据折叠的性质得． 根据三角形三边之间的关系，可得， 当点共线时最小， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得，解得：， ∴． 根据勾股定理，得， ∴最小值是． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 原分式方程无解 【解析】 【分析】将两个分式方程分别去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验分母是否不为零，即可得到原方程的解． 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：整理得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 17. 已知在平面直角坐标系中，点，点，点．将平移，使得点与点重合，得到，点B，C的对应点分别是点E，F． （1）画出平移后的，并写出点和点的坐标； （2）连接，，这两条线段的关系是____________； （3）若中任意一点经同样的平移得到对应点为，则____________． 【答案】（1）如图所示： ， （2）， （3）3 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案； （2）根据题意连接，，即可得到和的关系； （3）先根据平移的性质表示出的坐标，即可得出，的值，从而得到答案． 【小问1详解】 解：图略， 由图可知，，； 【小问2详解】 解：连接，，如图所示： 由图可知，且； 【小问3详解】 解：由题意知，是向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到的， 则点的坐标为， ， ，， ． 18. 求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”，得 ①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集． 【答案】 【解析】 【分析】根据“异号两数相乘，积为负”，将原不等式拆分为两个不等式组，分别求解即可． 【详解】解：根据“异号两数相乘，积为负”，得 ①或②， 解不等式组①，无解， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为． 19. 如图，在中，为边的中点，过点作交的延长线于点F，平分交于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵， ． ∵， ， ． ∵平分交于点， ， ． ∵D为边的中点， ． 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先证明可得，再结合利用对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】略 20. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解： ____________； （2）证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【答案】（1） （2）证明：将“”看成整体，令，则： 原式． 再将“”还原，得原式． ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料中的方法类比求解即可； （2）根据阅读材料中的方法类比求解，将因式分解为，最后由平方非负性即可得证． 【小问1详解】 解：将“”看成整体，令，则： 原式． 再将“”还原，得原式． 【小问2详解】 略． 21. 【新课标•应用意识】在学习“分式方程的应用”时，对于同一道题，小明和小红两名同学都列出了对应的方程． 例：某商店购进A，B两种型号的纪念品，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多30元，用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍．求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元． 小明： 小红： 根据以上信息，解答下列问题： （1）①小明同学所列方程中的表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； ②小红同学所列方程中的表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； （2）请你在两个方程中任选一个，解答该题． 【答案】（1）①A型号纪念品的单价；用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍 ②用880元购买A型号纪念品的数量；A型号纪念品的单价比B型号纪念品的单价多30元 （2）A，B两种型号纪念品的单价分别是88元，58元 【解析】 【分析】（1）观察两个方程等号的意义，即可找出等量关系式，观察方程左边的式子，根据总价数量=单价；总价单价=数量即可知道和表示的意义． （2）通过去分母的方法解分式方程即可，需要注意的是要检验所求值是否是原方程的解以及满足分式方程条件． 【小问1详解】 解：①表示A型号纪念品的单价， 等量关系式为：用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍．　 ②表示用880元购买A型号纪念品的数量， 等量关系式为：A型号纪念品的单价比B型号纪念品的单价多30元 【小问2详解】 解：用小明同学的方法： 设A型号纪念品的单价为，B型号纪念品的单价为，列方程得， 去分母得， 整理得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ， A，B两种型号纪念品的单价分别是88元，58元． 用小红同学的方法： 设购买A型号纪念品的数量为，则购买B型号纪念品的数量为，列方程得， 去分母得， 解得， ， 经检验，是原分式方程的解， ，， A，B两种型号纪念品的单价分别是88元，58元． 22. 如图，在中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，点，在对角线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 又， ， ，， ，． 又， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，易证，得到，，进而推出，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明是的中位线，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，． ，， ，． ， ， ． 又是的中点， 是的中位线， ． 23. 中，，，，动点在直线上运动．以为边作等边三角形，使点在的右侧． （1）的长为______； （2）如图1，当时，点在线段上，求的度数； （3）如图2，点在的延长线上，若，点恰好在线段的垂直平分线上，求的面积； （4）点在射线上，若是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） （4）的长为或或 【解析】 【分析】（1）在中，已知，，，利用角所对的直角边是斜边的一半先求出，再用勾股定理求。 （2）由是等边三角形得，结合推出；再结合中，判定为等边三角形，从而得到的度数。 （3）先由是等边三角形得，；结合算出和的度数；再根据点在的垂直平分线上得，进而推出，得到，判定为等腰直角三角形；最后结合的长度求出，从而计算面积。 （4）分三种情况讨论为等腰三角形：、、，结合直角三角形性质和线段和差分别计算的长度。 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：是等边三角形， ． ， ． ，， ， 是等边三角形， ； 【小问3详解】 解：是等边三角形， ，， ， ． 点恰好在线段的垂直平分线上， ， ， ， 是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理可得， ， ； 【小问4详解】 解：情况一：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴−−； 情况二：， ∵， ∴， 情况三：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练掌握特殊三角形的边角关系并运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省开封市祥符区曲兴镇第一初级中学2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题 北师大版 范围：全册 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. “的5倍与2的和是非正数”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 2. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 3. 下列多项式中，各项的公因式为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E是中点，且，则平行四边形的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6. 在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如果关于的分式方程 无解，那么实数的值是（ ） A. 且 B. C. 或 D. 8. 【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中， 平分，交边上的高于点．已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 若实数使关于的不等式组有解且至多有个整数解，且使关于的分式方程 有整数解，则满足条件的整数的个数为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个多边形的内角和等于，则这个多边形是___________边形． 12. 在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为____________． 13. 若运算的结果为整式，则“”中的式子可以是____________． 14. 如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 15. 如图，在平行四边形纸片中，，E是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解分式方程： （1）； （2）． 17. 已知在平面直角坐标系中，点，点，点．将平移，使得点与点重合，得到，点B，C的对应点分别是点E，F． （1）画出平移后的，并写出点和点的坐标； （2）连接，，这两条线段的关系是____________； （3）若中任意一点经同样的平移得到对应点为，则____________． 18. 求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”，得 ①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集． 19. 如图，在中，为边的中点，过点作交的延长线于点F，平分交于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 20. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解： ____________； （2）证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 21. 【新课标•应用意识】在学习“分式方程的应用”时，对于同一道题，小明和小红两名同学都列出了对应的方程． 例：某商店购进A，B两种型号的纪念品，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多30元，用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍．求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元． 小明： 小红： 根据以上信息，解答下列问题： （1）①小明同学所列方程中的表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； ②小红同学所列方程中的表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； （2）请你在两个方程中任选一个，解答该题． 22. 如图，在中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，点，在对角线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的长． 23. 中，，，，动点在直线上运动．以为边作等边三角形，使点在的右侧． （1）的长为______； （2）如图1，当时，点在线段上，求的度数； （3）如图2，点在的延长线上，若，点恰好在线段的垂直平分线上，求的面积； （4）点在射线上，若是等腰三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $