重庆市2025-2026学年高二下学期期末自编模拟数学卷（六）

**基本信息** 覆盖高考全部内容，以AI质检、康复时间统计等真实情境为载体，通过函数、立体几何、圆锥曲线等综合题设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|函数性质、数列、概率、解析几何|第4题AI质检概率计算，体现数学眼光观察现实世界| |多项选择|3/18|等比数列、立体几何动点、函数零点|第10题正方体动点轨迹，考查空间观念与推理能力| |填空|3/15|双曲线渐近线、三角恒等变换、函数值域|第12题双曲线与圆相交，融合几何直观与运算能力| |解答题|5/77|统计概率、解三角形、立体几何、导数、圆锥曲线|19题圆锥曲线三问梯度设计（轨迹、定点、面积范围），15题康复时间统计分析数据意识|

2025-2026学年重庆市高二期末模拟考试卷（六） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．已知 ， ，则 （    ） A．0 B．1 C． D． 3．在等差数列中，，（，），则（    ） A． B． C． D． 4．某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 6．已知 为函数 的最小正周期，则 （    ） A． B． C． D．0 7．已知椭圆的左焦点为为椭圆的上顶点，过的直线与椭圆交于两点（不同于），为的角平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 10．如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（     ）    A．存在点，使 B．若，则动点的轨迹长度为 C．当点在线段上时，直线与平面平行 D．当点在线段上时，直线与平面所成角的正弦值可以为 11．已知函数，其中 ，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有（   ） A．当 时，的最小值为0 B．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 C．若 对任意恒成立，则实数的取值范围是 D．当时，有且仅有3个零点 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 13．若 ，，则 ____. 14．已知函数的值域为，则的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．， 两组各 7 位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14，15，16； 组：12，13，15，16，17，14，． (1)假设所有病人的康复时间相互独立，从 ， 两组随机各选 1 人， 组选出的人记为甲， 组选出的人记为乙，如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (2)求 组病人康复时间的方差，并直接写出 ， 两组病人康复时间的方差相等时 的一个值． 16．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求和的值； 17．如图三棱锥中，是边长为2的等边三角形，中且． (1)若是的中点，且，求证：平面平面； (2)在（1）的条件下求三棱锥外接球的表面积； (3)设二面角的大小为，求的最小值． 18．已知函数，． (1)判断函数的单调性． (2)若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 19．已知经过点的动圆与直线相切，设圆心的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，，是上的点，点是上异于，，的任意一点，直线与相交于点，直线与相交于点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； (3)若是外的一点，满足，过作的两条切线，切点分别为，，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆市高二期末模拟考试卷（六） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算及模的计算公式即可求解． 【详解】， 则． 2．已知 ， ，则 （    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、已知模求数量积 【分析】利用向量数量积的平方差公式，将所求转化为已知两个和差向量的数量积进行计算. 【详解】已知 ， ， 则. 3．在等差数列中，，（，），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列通项公式列出已知项的表达式，求解公差与首项，再代入计算即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，其通项公式为，. 由，，可得， 两式作差得. 因为，可得，进而. 故. 4．某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【详解】记“芯片为瑕疵芯片”为事件，“芯片被标记为合格”为事件，“芯片被标记为瑕疵”为事件. 则，，，. 所以. 即在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为. 5．已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 6．已知 为函数 的最小正周期，则 （    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题 【详解】 . ，. 7．已知椭圆的左焦点为为椭圆的上顶点，过的直线与椭圆交于两点（不同于），为的角平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】根据椭圆的几何性质求出所在直线方程，利用角平分线性质，利用到角公式得出，设，得出，设过的直线，联立椭圆方程，结合韦达定理求出，进而求出直线的方程． 【详解】 椭圆中， 左焦点，上顶点, 直线斜率，方程为， 已知为的角平分线，由到角公式： ，则，故， 设，则， ，即， 设过的直线， 联立椭圆方程，代入整理得， 由韦达定理得， ， 则， 整理得，解得或， 当时，直线与重合，与椭圆交点包含点，不符合题意，舍去； 故， ，整理得． 8．已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】面积、体积最大问题、锥体体积的有关计算 【分析】通过几何关系建立圆锥体积关于高的函数表达式，再利用导数求解函数最大值，需明确变量的实际取值范围. 【详解】设圆锥的高为，底面半径为，已知球的半径. ∵ 圆锥内接于球，球心到圆锥底面的距离为， ∴ 由勾股定理可得 ，整理得 ，其中的取值范围为. 根据圆锥体积公式 ，将代入得：. 对关于求导，得 . 令，解得 或 （不符合实际意义，舍去）. ∵ 当 时，，单调递增；当 时，，单调递减， ∴ 当时，取得最大值，代入得： . 故正确选项为B. 【点睛】方法归纳：求解几何体内接几何体的最值问题，通常先结合几何关系建立目标函数，再利用导数或基本不等式求解最值，需注意变量的实际取值范围，避免无意义解. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，求解可得的值，判断A；利用特值法可判断B；根据等比数列的前n项和公式，求得，，化简可判断C；求出，由的取值情况，结合不等式的性质，判断D. 【详解】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 10．如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（     ）    A．存在点，使 B．若，则动点的轨迹长度为 C．当点在线段上时，直线与平面平行 D．当点在线段上时，直线与平面所成角的正弦值可以为 【答案】ACD 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算分析线面平行、线面垂直、轨迹方程、线面角，逐项分析计算即可. 【详解】以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，，. 设（在侧面上，则坐标恒为2，，）. 选项A：，. 若，则，即，解得. 取，则满足条件，故A正确； 选项B：由得，，化简得. 该方程表示在平面上，以点为圆心，半径为1的圆弧（，，实际是四分之一圆）， 所以轨迹长度为，故B错误； 选项C：，. 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，，所以. 因为在线段上，设（），则， 所以，，所以，（）. 因为，所以，又平面， 所以直线与平面平行，故C正确； 选项D：，. 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，又，所以. 设直线与平面所成角为，由选项C知，（）. 则 ，， 所以，当时，取最大值，为，故D正确. 11．已知函数，其中 ，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有（   ） A．当 时，的最小值为0 B．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 C．若 对任意恒成立，则实数的取值范围是 D．当时，有且仅有3个零点 【答案】ABD 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】A根据得到函数的导函数，求，得到，再根据函数的单调性得到最小值，B令，讨论的取值范围，根据函数的单调性以及零点求解即可，C讨论的取值范围寻找特殊点的函数值，利用函数的单调性求解，D首先分析函数的单调性，得到的极值点，再分析的符号，进而得到的零点. 【详解】因为，所以. 对于A，当时，，，令，解得. 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，A正确； 对于B，因为，所以. 令，则问题等价于函数有两个不同的零点. 因为，若，，所以单调递增， 则函数最多有一个零点，不符合题意； 若，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以在处取得极小值， 且极小值为， 要使函数有两个不同的零点，则. 因为，则，即，解得. 又当时，，，所以； 当时，函数的增长远快于一次函数，所以. 综上，当时，函数有两个不同的零点，B正确； 对于C，要使对任意恒成立，分情况讨论： ①当时，由A知，恒成立，符合要求； ②当时，在上单调递增，，， 故存在，使得.在上单调递减，在上单调递增， 因此，不符合要求； ③当时，取，； 取，，均不满足恒成立； ④当时，，不符合要求. 综上，当且仅当时满足条件，C错误. 对于D，当时，，. 令，则. 令，得， 当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以. 结合时，可知有两个不同的实数根， 分别对应的极大值点，极小值点. 又，所以，在上单调递减，且， 所以在上有1个零点，且； 在上单调递增，又当时，，， 所以在上有1个零点；在上单调递增， 又当时，，，所以在上有1个零点. 综上，有且仅有3个零点，D正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 【答案】 【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、已知方程求双曲线的渐近线 【详解】已知双曲线，则双曲线的两条渐近线方程分别为和， 双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点， 由圆关于轴对称，而双曲线的两条渐近线均关于轴对称， 因此，无论选择哪一条渐近线，其与圆相交所得弦长都相等. 由圆可知，圆心坐标为，半径， 将其中一条渐近线化为一般式：， 则圆心到渐近线的距离， 则弦长. 13．若 ，，则 ____. 【答案】/ 【知识点】给值求值型问题 【详解】，. . 14．已知函数的值域为，则的取值范围是______. 【答案】 【知识点】分段函数的值域或最值、根据分段函数的单调性求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先求得时的值域为，结合函数值域为的条件，将问题转化为时的值域需包含. 对对应的函数求导，根据导数与单调性的关系对的取值分类讨论，结合值域包含关系列不等式求解，最终取并集得到的取值范围. 【详解】当时，函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为，得函数在上的值域包含， 当时，函数，求导得，而， 当时，，函数在上单调递增，函数值集合为， 而恒成立，则； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 函数值集合为，于是，解得，则， 所以a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：处理分段函数值域为的问题时，先求解单调性明确的分段对应的值域，将问题转化为另一分段的值域需覆盖剩余区间，再结合导数分析函数单调性与最值，分类讨论求解参数范围，最终汇总各分类的结果得到答案. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．， 两组各 7 位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14，15，16； 组：12，13，15，16，17，14，． (1)假设所有病人的康复时间相互独立，从 ， 两组随机各选 1 人， 组选出的人记为甲， 组选出的人记为乙，如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (2)求 组病人康复时间的方差，并直接写出 ， 两组病人康复时间的方差相等时 的一个值． 【答案】(1) (2) 组方差为，的一个值为（或） 【知识点】计算几个数的平均数、计算古典概型问题的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）利用古典概型求解，先计算总选法数，再统计甲康复时间更长的选法数，比值即为所求概率； （2）根据方差计算公式求出A组方差，结合方差反映数据离散程度的性质，通过数据对称性得到符合条件的值. 【详解】（1）从、两组各随机选1人，共有种等可能的基本事件. 当时，组康复时间为12，13，14，15，16，17，25， 满足甲康复时间更长的情况如下： ①乙康复时间为12时，甲可选13、14、15、16，共4种； ②乙康复时间为13时，甲可选14、15、16，共3种； ③乙康复时间为14时，甲可选15、16，共2种； ④乙康复时间为15时，甲可选16，共1种； 乙康复时间为16、17、25时，不存在甲康复时间更长的情况. 符合条件的基本事件共种，由古典概型概率公式得所求概率. （2）先计算组康复时间的均值： ， 由方差公式得A组方差： . 方差反映数据的离散程度，当时，组数据为11、12、13、14、15、16、17，与组数据相比每个数值均大1，离散程度完全相同，因此方差相等， 故为符合条件的一个值（也满足要求）. 16．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求和的值； 【答案】(1) (2)； 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理可得，再利用平方关系得，结合三角形面积公式求解. （2）结合正弦定理和，可得，从而求得的值.利用余弦定理，可得的值，最后检验是否符合题意. 【详解】（1）已知，，，由余弦定理得： 因为所以由同角三角函数关系得： 的面积 （2）由正弦定理，且，， 代入得，约去（），解得． 则． 由余弦定理，代入，， 得：， 整理得，解得或． 当时，，则，，即， 此时，矛盾，舍去； 当时，，符合题意； 故． 17．如图三棱锥中，是边长为2的等边三角形，中且． (1)若是的中点，且，求证：平面平面； (2)在（1）的条件下求三棱锥外接球的表面积； (3)设二面角的大小为，求的最小值． 【答案】(1)在等边中，是的中点， ，又且平面， 平面，又平面， ，又且平面， 平面，又平面， 平面平面. (2) (3) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、面面角的向量求法、球的表面积的有关计算、证明面面垂直 【分析】（1）先证明平面，从而得到，结合可得平面，故平面平面； （2）根据（1）中的条件，将三棱锥补全为正三棱柱，得到外接球球心即为两个底面的中心连线的中点，使用勾股定理计算即可得到半径，进而得到表面积； （3）以的中点为原点，平行于为轴方向，为轴方向，垂直于平面向上为轴方向，建立坐标系，设从轴逆时针转到的角度为（从左侧看），利用空间向量法得到平面和平面的法向量，得到夹角表达式，最后利用变量代换求得最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，且为等边三角形， 故可将三棱锥补全为正三棱柱，三棱柱的高， 则三棱锥的外接球就是三棱柱的外接球， 外接球的球心为等边三角形和的中心连线的中点， 半径， 所以三棱锥外接球的表面积为； （3）取的中点为原点，平行于为轴方向，为轴方向， 垂直于平面向上为轴方向，建立如图所示的坐标系， 设从轴逆时针转到的角度为（从左侧看）， 则，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则有， 取，则  ，指向三棱锥外， 设是平面的一个法向量， 则有， 取，则，  指向三棱锥内， 得， 令， 则，   当，即时取等号， 所以的最小值为． 18．已知函数，． (1)判断函数的单调性． (2)若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)①②证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负判断函数的单调区间即可； （2）①将方程分离参数得，构造函数，由导数判断函数的单调性，从而得到最小值，即可求得的取值范围； ②先构造函数证明，再构造证得，结合的单调性推出，即，联立两步结论，代回原式即可完成不等式证明. 【详解】（1）因为，，所以． 由，得；由，得 所以函数在上单调递减，在上单调递增． （2）①方程，即，，则． 设，，则方程有两个根， 即函数的图象与直线有两个不同的交点． 因为，， 当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围是． ②证明：由①可知，， 则证不等式，即证， 转化为证． 令，，则． 令，则． 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以． 由①知，． 令，，则． 令，则． 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以单调递增，所以． 所以当时，． 由①及题意可知，，所以． 因为且在上单调递减，所以， 所以，所以． 所以， 所以． 19．已知经过点的动圆与直线相切，设圆心的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，，是上的点，点是上异于，，的任意一点，直线与相交于点，直线与相交于点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； (3)若是外的一点，满足，过作的两条切线，切点分别为，，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)由题设，，设 （）， 所以，即， ，即， 由于直线与相交于点，直线与相交于点，则， 联立，解得，即得， 联立，解得，即得， 所以直线的斜率， 则其方程为，即恒过定点，得证； (3) 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求抛物线的轨迹方程 【分析】（1）根据已知有，化简整理即可得； （2）设 （），写出直线、直线，并求出它们与、的交点坐标，进而写出直线，即可证； （3）设，结合已知得，设切点，，从而得到，，即为方程的两根，韦达定理得，，进而有、，化简得，令，转化为研究的范围，构造且注意，从而得到范围. 【详解】（1）设圆心，由动圆过点且与直线相切， 所以，平方整理得的方程为． （2）略 （3） 设， 由得，且， 由在抛物线外部，所以​， 所以，则， 综上， 设切点，，而，则， 所以，，故且， 则为方程的两根，其中，则，， 在中，，，则， 所以，则到直线的距离， 所以，同理得， 所以，又，， 所以， 由，则 令，，则 ， 且 ， 由，故，即， 由 ， ， 设且，则 ，且，则，而， 此时 ， 所以，则​， 结合对勾函数的性质有，又时，， 所以，因此取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $