重庆市2025-2026学年高二下学期期末自编模拟数学卷（七）

**基本信息** 2025-2026学年重庆市高二期末数学模拟卷，覆盖高考全部内容，通过梯度化题型设计（单选至解答题）考查数学眼光（空间观念、创新意识）、思维（推理能力、运算能力）及语言（模型应用），适配高二期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|解三角形、集合、概率等|第3题以摸球试验考条件概率，体现推理能力| |多选|3/18|函数图像、正方体线面关系等|第10题正方体中点线面垂直平行判断，考查空间观念| |填空|3/15|复数、导数切线、双曲线离心率|第13题切线与最值结合，落实模型应用| |解答|5/77|数列证明、概率统计、抛物线轨迹等|第17题摸球试验分布列与方差探究，第18题抛物线轨迹中心分析，突出创新意识与综合应用|

2025-2026学年重庆市高二期末模拟考试卷（七） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．在中，已知，，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（    ） A．518 B． C．350 D． 5．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 7．已知椭圆：，，为的左、右焦点，为上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 8．记为等差数列的前项和，若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 10．（多选题）在正方体 中， 为棱 的中点，则（    ） A．过 有且只有一条直线与直线 和 都垂直 B．过 有且只有一个平面与直线 和 都平行 C．过 有且只有一条直线与直线 和 所成角均为 D．过 有且只有一个平面与直线 和 所成角相等 11．设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知 是虚数单位，复数 ，则 _____. 13．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若点恰为的中点，且，则双曲线的离心率为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 16．已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状． 17．一个盒子里装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，，现进行两次摸球试验： 第一次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．第一次试验完成后，将球放回盒子，再进行第二次试验； 第二次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列及期望； (2)若，且，求； (3)求的方差（，且，结果用，表示），并探究，具有怎样的关系时，最大？ 18．已知抛物线：.点在抛物线上，其中.过点作抛物线的切线，记该切线与直线的交点为. (1)求过点的抛物线切线方程； (2)设，求点的轨迹方程； (3)判断点的轨迹是否有中心，若有，求其中心，并说明将该轨迹平移到以其中心为原点后所得曲线的类型. 19．已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆市高二期末模拟考试卷（七） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．在中，已知，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据及求出，同理求出，利用即可求出答案. 【详解】， 因为，所以， 易知均不为，所以， ， 因为，所以， 即， 所以. 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由或，， 所以. 3．甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率及全概率知识点求解即可． 【详解】由题可知，， ， ， ， 则 ， 综上，选项B错误． 4．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（    ） A．518 B． C．350 D． 【答案】B 【分析】先根据正四棱台的几何特征求出高，再代入棱台体积公式计算即可． 【详解】求上下底面的对角线长度：正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长为，故上底面对角线长为；下底面边长为，故下底面对角线长为； 上底面顶点在下底面的射影落在下底面的对角线上，可得侧棱在底面的投影长度为； 已知侧棱长为，由勾股定理得棱台的高； 计算体积： 上底面面积，下底面面积， 代入棱台体积公式 ． 5．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 6．已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质求出的值，进而求解即可． 【详解】由， 则， 又函数为上的奇函数，则， 即对任意成立， 整理得 所以，即，结合，解得， 所以，即． 7．已知椭圆：，，为的左、右焦点，为上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】当为短轴端点时，最大，进而求出的范围，由正弦定理得外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到的面积，由三角形内切圆的半径公式可得的内切圆半径，化简可得，利用基本不等式求出最值即可． 【详解】由于，所以，，故，设， 当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以， 设外接圆半径为，则，即， 由余弦定理得：， 整理可得， 所以的面积， 故的内切圆半径， 因为， 所以， 当且仅当，即，时取等， 所以的最小值为． 8．记为等差数列的前项和，若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，由题知，，再令，，则，进而根据二次方程有解问题，结合判别式即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 因为， 设，则，解得， 令，，则， 令，则， 将代入得， 整理得，由题知该方程有解， 所以，即，解得， 所以，即的最大值为. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 【答案】AC 【分析】根据，确定函数的最小正周期，再判断A的真假；利用点坐标和点处函数的性质，可求出的值，判断B的真假；确定点坐标，利用平面向量数量积的坐标运算，判断C的真假；利用二倍角公式，计算，可判断D的真假. 【详解】对于A：函数的最小正周期为，为函数的一个周期，选项A正确. 对于B：函数经过点，代入得，显然点位于图象的增区间上，()，又由于，则，，选项B错误. 对于C：由选项B：，，得，，得. ，，则，选项C正确. 对于D：若，即，则，选项D错误. 10．（多选题）在正方体 中， 为棱 的中点，则（    ） A．过 有且只有一条直线与直线 和 都垂直 B．过 有且只有一个平面与直线 和 都平行 C．过 有且只有一条直线与直线 和 所成角均为 D．过 有且只有一个平面与直线 和 所成角相等 【答案】AB 【分析】根据线面垂直的判定定理及概念判断A；根据线面平行的判定与性质判断B；由异面直线所成角的概念可判断选项C；建立空间直角坐标系，利用向量法表示出线面角，根据法向量判断平面个数即可判断D. 【详解】对于A，因为，若，则，若，， 平面，则平面， 显然满足条件的直线唯一，即，A正确； 对于B，分别取，的中点，，连接，， 因为，，，分别为，的中点， 所以，，则四边形为平行四边形， 所以，又因为，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 所以过有且只有一个平面与直线和都平行，B正确； 对于C，取，的中点连，则，， 若与直线，所成角为45°，则与所成角为45°， 显然的角平分线及其外角平分线均符合，C不正确; 对于D，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则，，，， ，， 设满足题设条件的平面的法向量为，其中， 由题意可得，可得，即， 所以，以或为法向量且过点的平面均满足题意， 故过有无数个平面与直线和所成角相等，D不正确. 11．设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 【答案】AC 【分析】求导，可判断A的真假，分析函数在上的单调性，确定函数的零点，再结合函数的奇偶性，可判断C的真假；利用偶函数的定义，求函数在上的解析式，可判断B的真假；利用函数在上的单调性可判断D的真假. 【详解】当时，， 所以. 所以，故A正确； 由可得；由可得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，所以函数在上只有一个零点. 根据是定义在上的偶函数，图象关于轴对称，可作出函数草图如下： 由图可知，函数有和两个零点，故C正确； 设，则， 因为函数为偶函数，所以，故B错误； 当时，，所以， 因为函数在上单调递减，所以，故D错误. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知 是虚数单位，复数 ，则 _____. 【答案】/0.2 【分析】由复数的乘法、除法运算和共轭复数的概念即可求解. 【详解】由题意 ，可得， 则 ， 则z的共轭复数为 ， 因此： . 13．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若点恰为的中点，且，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【详解】如图： 因为为中点，为中点，所以， 则，， 设，则，， 在直角三角形中，由，解得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 【答案】(1) (2)证明：因为， 所以， 所以． 因为，所以， 因为数列单调递增，所以， 所以． 【分析】（1）利用与已知建立等式，得出是等差数列，进而求出，再根据与的关系求通项； （2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再结合数列单调性证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以． 当时，， 也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）略 16．已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状． 【答案】(1) (2)，等腰直角三角形 【分析】（1）由正弦定理可得，从而求得； （2）根据余弦定理及基本不等式分析可得，从而求得角的最大值，并判断的形状． 【详解】（1）中，由正弦定理得， ，． （2）中，由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立， 的最大值为，此时上式等号成立， 即，所以为等腰直角三角形． 17．一个盒子里装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，，现进行两次摸球试验： 第一次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．第一次试验完成后，将球放回盒子，再进行第二次试验； 第二次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列及期望； (2)若，且，求； (3)求的方差（，且，结果用，表示），并探究，具有怎样的关系时，最大？ 【答案】(1) 1 2 3 (2) (3)，当为偶数时时最大；当为奇数时时最大 【分析】（1）由表示的元素个数，写出对应可能值及其对应概率，写出分布列，并求出期望值； （2）根据题设得，将代入得到方程，即可求参数； （3）由题，，结合得到含的表达式，再由二次函数性质分析最值. 【详解】（1）由题意表示的元素个数，可能取值为1，2，3，总取法为， 表示两次摸出的球恰有1个公共元素，取法为，则， 表示两次取的球有2个公共元素，取法为，则， 表示两次摸出的球有3个公共元素，取法为，则， 所以的分布列为： 1 2 3 （2）由已知，表示第二次从个球中取出2个球，其中恰有个球的编号属于， ，代入，则， 化简得，解得或，又，，所以； （3）由题，， 则随机变量服从超几何分布， ， 固定时，的大小由决定， 是开口向下的二次函数，对称轴为且： 当为偶数时，时最大； 当为奇数时，时最大. 18．已知抛物线：.点在抛物线上，其中.过点作抛物线的切线，记该切线与直线的交点为. (1)求过点的抛物线切线方程； (2)设，求点的轨迹方程； (3)判断点的轨迹是否有中心，若有，求其中心，并说明将该轨迹平移到以其中心为原点后所得曲线的类型. 【答案】(1) (2) (3)轨迹有中心，中心为，平移后为双曲线 【分析】（1）根据点设出直线方程，再与抛物线方程联立，根据即可求得切线方程. （2）根据切线方程与直线方程，分别用表示出，进而得到关系，即点的轨迹方程. （3）首先平移消去一次项得到轨迹存在中心，再双曲型非退化得到轨迹方程为双曲线. 【详解】（1）已知抛物线，点在抛物线上，且. 设切线方程过点直线设为，即. 代入抛物线方程，， 化简得. 因为直线与抛物线相切，所以，即. 令，. 方程化简为，即. 若，则. 化简得，矛盾 若有，则. 化简得，即，因此切线方程，即. （2）点是切线与直线的交点. 设，则且. 消去,可得. 由于，所以，因. 代入可得，整理得. 因此点的轨迹方程为，. （3）令，.则，. 于是. 则变为，即. 可见平移后方程不含一次项，故原轨迹有中心，其中心为. 又二次部分对应非退化双曲型二次曲线， 因此平移到以中心为原点后所得的曲线为双曲线. 19．已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围； （2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，.在与中， ，解得，∴， ∵， ∴，解得或或， ∴不等式的解集为. （2）由题意知，由，得， ∴. ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，. 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $