重庆市2025-2026学年高二下学期期末自编模拟数学卷（九）

**基本信息** 覆盖高考全部内容，通过台灯近视调查等现实情境与分拆数列等创新题型，梯度化考查数学眼光、思维与语言，适配高二期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、等比数列等基础知识点|注重概念辨析与基础运算| |多项选择|3/18|立体几何位置关系、函数性质|考查综合判断与逻辑推理| |填空|3/15|双曲线离心率、排列组合概率、向量范围|强调知识迁移与空间想象| |解答题|5/77|统计概率（独立性检验）、抛物线（最值）、立体几何（二面角）、导数（极值证明）、创新数列|现实情境与创新探究结合，梯度设计（如抛物线三问），突出数学建模与逻辑论证|

2025-2026学年重庆市高二期末模拟考试卷（九） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，而， 则. 2．设，则z的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则，所以的虚部为 3．若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若数列1，b，9是等比数列， 则， 所以. 4．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 5．球面上有，，三点，，，球心到平面的距离是，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到外接圆的半径，由球到平面的距离结合勾股定理得到球的半径，最后由球的体积公式计算即可. 【详解】如图，设是外接圆的圆心，则平面， 因为，，所以等边的外接圆的半径， 所以球的半径， 所以球的体积． 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式、正余弦定理求边长，代入目标式化简即可得. 【详解】由题意知，所以， 由余弦定理知，所以， 由正弦定理得，则，，， 所以. 7．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 8．关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过同构构造，利用单调性脱去外层，转化为简单的参数分离与最值分析. 【详解】由题，将不等式变形得，令，则原不等式等价于， 当时，，此时不等式恒成立； 当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因为，所以，，不等式转化为，即（＊）； 令，则，在单调递增，则，且当时，所以为使（＊）对于对恒成立，必须且只需. 综上所述，. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下面说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】对于A，如图，若，， 则不一定平行，可能相交，故A错误； 对于B，由，，则，故B正确； 对于C，由，则存在直线，使得， 而，则，所以，故C正确； 对于D，由，，则或，故D错误. 10．已知函数，则（     ） A．的定义域为 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最大值 【答案】ACD 【分析】根据对数函数的定义域判断A，应用对数及二次函数复合的单调性及最值判断B,D，根据二次函数的对称性判断复合函数的对称性判断C. 【详解】，解得， 即的定义域为，A选项正确． ，令，则． 二次函数的图象的对称轴为直线， 又的定义域为的图象关于直线对称．C选项正确． 由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误． 当时，有最大值，，D选项正确． 11．一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则（     ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．点到M中任意一条直线的距离为定值 C．点到M中所有直线距离的最大值为6 D．不在直线系M中的点都落在面积为的区域内 【答案】BCD 【分析】利用直线系的性质，把直线系方程转化为的圆的全部切线，再根据圆的切线的性质判断选项，利用动圆切线无公共点判断选项A；利用点到直线距离公式计算判断选项B；利用定点到切线最大距离为圆心距与半径的和，判断选项C；不在直线系M中的点落在圆内部，即，求面积判断选项D． 【详解】直线系方程表示圆心为，半径的圆的全部切线， 若直线过定点，则对任意恒成立， 不存在这样的定点，故A错误； 由点到直线的距离公式，点到直线距离， 距离恒为定值1，故B正确； 设，圆心，两点间距， 点到圆切线距离的最大值为，故C正确； 不在直线系M中的点到的距离小于1，在圆内部， 圆面积，故D正确． 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．双曲线的离心率为__________． 【答案】 【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定、，再利用双曲线中的关系求出，最后根据离心率定义计算结果. 【详解】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 13．高三拍毕业照时，、、、、五位同学站成一排照相，在、两位同学不相邻的条件下，、相邻的概率为_______. 【答案】 【分析】通过计算“不相邻且相邻的排列数”与“不相邻的总排列数”，再结合古典概型，条件概率公式求解即可. 【详解】记、两位同学不相邻为事件，、相邻为事件， 由题意知，、、、、五位同学站成一排照相，共有种排法， 首先计算条件对应的样本空间大小，即不相邻的所有排列数： 采用插空法，先排列三位同学，共种排法； 3位同学排完后形成4个空隙，从中选取2个插入，共种排法，故不相邻的排列总数为； 所以 再计算事件“相邻且不相邻”的排列数： 先将绑定为一个整体，内部排序共种排法； 将该整体与共同排列，共种排法；二者排完后形成3个空隙，从中选取2个插入，共种排法， 故满足条件的排列数为， 所以 所以，由条件概率公式得：. 14．在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量加法的坐标运算及模的坐标表示列式，再利用换元，结合辅助角公式及正弦函数性质求出范围. 【详解】设，由，得， 由，得， 设， 因此 ， 所以的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； (2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关 (2) 【分析】（1）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可. （2）利用二项分布的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关. （2）使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为， 记近视人数为，显然该类学生近视情况服从二项分布， 可得. 16．已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出角度坐标和准线方程，再求解距离即可. （2）对直线斜率是否存在进行讨论，再结合焦半径公式求解最值即可. （3）利用中点坐标公式并结合题意表示出距离，再利用平面向量数量积的坐标表示得到或，最后分类讨论得到最值即可. 【详解】（1）由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. （2）当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. （3）如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 17．如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取线段的中点，求证平面即可； （2）作，垂足为，求证或其补交为平面与平面所成角，再设，并证明计算各边长度，最后利用余弦定理可得. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）作，垂足为，连接， 因为，所以全等， 所以，， 则或其补角为平面与平面所成角， 设，则， 因为平面平面平面，平面平面， ，所以平面， 因为平面，所以，则， 所以等腰底边上的高为， 则，得， 在中， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18．已知函数 . (1)设 ，求 的单调区间； (2)设 是 的极小值点，求证：. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)因为 是 的极小值点， 则， 即，即， 所以 由于，，由于在上单调递增， 所以， 令，所以在上单调递减， 则， 即 【分析】（1）求出，利用导数研究函数单调性的即可； （2）由题可得，由（1）结合零点存在定理可得，令，结合二次函数的单调性即可证明结论. 【详解】（1）由题可得， 所以， 令，解得：， 令，解得：， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）略 19．给定正整数．对于各项均为正整数的数列，若，且，则称为的一个分拆数列．对于分拆数列，定义其共轭数列如下：数列的第项定义为数列中大于或等于的项的个数，数列的各项从开始，至前终止，即的项数为满足的最大正整数．如果分拆数列与相同（即项数相同，且对应项分别相等），则称为自共轭数列． (1)求时的自共轭数列； (2)若是分拆数列，是否一定是分拆数列？若与都是分拆数列，是否一定与相同？说明理由； (3)设正整数的自共轭数列的个数为，各项均为奇数且互不相同的的分拆数列的个数为，求． 【答案】(1)2，1 (2)一定是分拆数列，且一定与相同．理由如下：设， 且．按定义，是中大于或等于的项的个数， 所以，且各项均为正整数．又等于把中每一项都计数次， 所以因此一定是分拆数列．再设为， 则是中大于或等于的项的个数．由等价于中至少有项大于或等于， 又由于的各项按从大到小排列，这等价于．所以满足的的个数恰为， 即．故一定与相同． (3) 【分析】（1）自共轭即分拆与其共轭数列全等，列举全部分拆后对照共轭定义筛选即可； （2）共轭变换保分拆，且二次共轭还原原数列；核心是双重求和换序证和为，利用格点计数等价证； （3）借助共轭映射建立自共轭分拆无重复奇数分拆的一一对应，故对全体正整数成立，解集为. 【详解】（1）当时，所有的分拆数列共有3组：3；2，1；1，1，1． 一、若，则大于等于1，2，3的项各1个，大于等于4的项0个，故，与不同； 二、若，则大于等于1的项2个，大于等于2的项1个，大于等于3的项0个，故，与相同； 三、若，则大于等于1的项3个，大于等于2的项0个，故，与不同． 综上，由定义，时的自共轭数列为2，1． （2）略 （3）满足条件的正整数为全体正整数． 证明如下： 对任意正整数，在的自共轭数列和的各项均为奇数且互不相同的分拆数列之间建立一一对应． 设是自共轭数列，把看成由方格组成的图形：第行有个方格． 因为与相同，所以这个方格图关于从左上到右下的对角线对称． 设对角线上的方格共有个，即，且若存在，则． 对第个对角线方格，记它右边的方格数为，由于图形关于对角线对称，它下边的方格数也为， 所以由这个对角线方格及其右边、下边方格组成的一组共有个方格． 这些数都是奇数，并且当时，它们互不相同，且所有组恰好合起来就是全部个方格． 于是得到一个各项为奇数且互不相同的的分拆数列． 反过来，给定一个各项均为奇数且互不相同的的分拆数列，把它写成其中． 依次放置个对角线方格，并在第个对角线方格右边放个方格，下边也放个方格． 由于，所得方格图的每一行长度从上到下不增加；又因为左右两侧对称，所以得到一个自共轭数列． 这个过程与前面的过程互为逆过程，因此两类数列一一对应． 所以对任意正整数，都有． 因此，满足条件的为全体正整数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆市高二期末模拟考试卷（九） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．设，则z的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 5．球面上有，，三点，，，球心到平面的距离是，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下面说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知函数，则（     ） A．的定义域为 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最大值 11．一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则（     ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．点到M中任意一条直线的距离为定值 C．点到M中所有直线距离的最大值为6 D．不在直线系M中的点都落在面积为的区域内 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．双曲线的离心率为__________． 13．高三拍毕业照时，、、、、五位同学站成一排照相，在、两位同学不相邻的条件下，、相邻的概率为_______. 14．在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； (2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 17．如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．已知函数 . (1)设 ，求 的单调区间； (2)设 是 的极小值点，求证：. 19．给定正整数．对于各项均为正整数的数列，若，且，则称为的一个分拆数列．对于分拆数列，定义其共轭数列如下：数列的第项定义为数列中大于或等于的项的个数，数列的各项从开始，至前终止，即的项数为满足的最大正整数．如果分拆数列与相同（即项数相同，且对应项分别相等），则称为自共轭数列． (1)求时的自共轭数列； (2)若是分拆数列，是否一定是分拆数列？若与都是分拆数列，是否一定与相同？说明理由； (3)设正整数的自共轭数列的个数为，各项均为奇数且互不相同的的分拆数列的个数为，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $