第23讲 不等式恒成立·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦“不等式恒成立”，整合函数、导数、集合等知识，通过多题型分层考查，体现数学思维的逻辑性与数学语言的精确性。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11（8单3多）|侧重恒成立条件转化与参数范围，结合函数奇偶性、极值点|以函数性质为基础，构建“条件转化-参数分离-最值分析”推理链条| |填空题|3|聚焦含参不等式最值求解，涉及自然对数背景|通过导数工具实现恒成立问题与函数最值的转化| |解答题|5|综合函数单调性讨论、切线方程及证明，覆盖多问递进|从基础概念到综合应用，形成“概念生成-原理推导-拓展应用”逻辑|

第23讲 不等式恒成立 · 综合测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·东莞·二模）已知 ，若 恒成立，则 （ 　　） A. 0 B. 1 C. e D. 3 2.（2026·稳派联考·3月检测）已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 3.（2026·承德强基联盟·一模）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·沧州运东七县·一模）已知函数 ，若 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 5.（2025·厦门·三模）已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 6.（2025·新余·一模）若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 7.（2025·福建百校联考·5月押题）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时，.若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 8.已知 ，，若 在 上恒成立，则实数 的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·荆州·3月调研）已知函数 ，其中 ，则（ 　　） A. 若函数 有且仅有 个零点，则 B. 若函数 有且仅有 个极值点，则 的取值范围是 C. 不存在 ，使函数 存在唯一的极值点 D. 若对 恒成立，则 10.已知 ，，对于 ， 恒成立，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11.已知 是自然对数的底数．若 ， 成立，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. 对 恒成立 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·长沙长郡中学·二模）已知 为自然对数的底数，不等式 对 恒成立，则实数 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 13.若对于任意正实数 ，都有 为自然对数的底数 成立，则 的最小值是＿＿＿＿＿＿. 14.设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最小值是＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2026·合肥·一模）已知函数 . （1） 当 时，讨论 的单调性； （2） 当 时，，求 的取值范围； （3） 设 ，证明：. 16.（15分）（2026·深圳·二模）已知函数 . （1） 若 在 时取极值，求 的值和 的极小值； （2） 若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围. 17.（15分）（2026·镇江·零模）已知函数 ，. （1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围； （2） 设 在 处的切线方程为 . ①求 的解析式； ②当 时， 恒成立，求 的取值集合. 18.（17分）（2025·江西三新教研·3月联考）已知函数 . （1） 已知 的导函数为 ，证明： 有唯一实数解. （2） 若函数 ，，，，求 的取值范围. 19.（17分）（2026·吉安·一模）已知函数 . （1） 若 ，求函数 在 处的切线方程； （2） 若 ，讨论 的单调性； （3） 若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 不等式恒成立 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 D C B D 5 6 7 8 B A D B 9 10 11 ABD ABC ABC 12 13 14 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·东莞·二模）已知 ，若 恒成立，则 A. 0 B. 1 C. e D. 3 【答案】D 【解析】根据不等式 恒成立可得 必为函数 的最小值点，由 可得 ，经检验符合题意.因为 ，可得 ，所以当 时， 等号成立；若 恒成立，则 必为函数 的最小值点，可得 ；又 ，即可得 ，所以 ；经检验，当 时 ，令 ，则 在 上恒成立，因此 在 上单调递增，即 在 上单调递增，又因为 ，所以当 时，，当 时，，可知 在 上单调递减，在 上单调递增，此时函数 在 处取得极小值，也是最小值，即 恒成立，所以 符合题意.故选：D. 【点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，将问题转化为极值点问题是解题关键. 2.（2026·稳派联考·3月检测）已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设 ，则 时 单调递增， 时 单调递减，所以 ，问题转化为 时 恒成立.设 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，因为 时 ，结合 在区间 上单调递增，所以 ，此时存在 ，使得 ，且 时 时 .又 时 ，所以 ，即 ，所以 .故选 C. 【点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，通过构造函数并分析其单调性与极值是解题的关键. 3.（2026·承德强基联盟·一模）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】不等式 ，令函数 ，显然函数 在 上单调递增，依题意，不等式 恒成立，即 ，令函数 ，求导得 ，当 时，；当 时，，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，因此当 时，，，所以实数 的取值范围是 .故选：B. 【点拨】本题考查不等式恒成立问题，利用同构思想构造函数并利用导数求最值是解题的关键. 4.（2026·沧州运东七县·一模）已知函数 ，若 在 上恒成立，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数 的定义域为 ，①当 时，，当 时，，不符合题意；②当 时，取 ，则 ，不符合题意；③当 时，设 ，，则 ，当且仅当 时取等号.（i）若 ，即 ，取 ，，，不满足题意；（ii）若 ，即 ，若 在 上恒成立，则需 在 上恒成立，又 ，当 时，；当 时，，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以 ，故 ，解得 ，所以 .综上可知，.故选：D. 【点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，通过分类讨论并构造函数求最值是解题的关键. 5.（2025·厦门·三模）已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由 ，得 ，解得 ，所以 ，因为 ，，所以当 时， 恒成立，即 恒成立，令 ，，则 ，当 时，，当 时，，所以 在 上递减，在 上递增，所以 ，所以 ，即 的取值范围是 .故选：B. 【点拨】本题考查集合的运算与不等式恒成立问题，分离参数后利用导数求函数最值是解题的关键. 6.（2025·新余·一模）若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 ，对任意 恒成立，即 ，令 ，，则 ，令 ，得 ，令 ，得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，，，即 ，，又由切线放缩可知，，，即 ，所以 的最大值为 .故选：A. 【点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，分离参数并构造函数求最值是解题的关键. 7.（2025·福建百校联考·5月押题）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时，.若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当 时， 对任意的 恒成立，因为当 时，直线 与 相切，此时 对任意的 恒成立，结合图象以及 是偶函数，可知 的图象往右平移即可满足 对任意的 恒成立，所以 ，故选：D. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与不等式恒成立问题，利用数形结合思想是解题的关键. 8.已知 ，，若 在 上恒成立，则实数 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，即 在 上恒成立.易知当 时，.令函数 ，则 ，函数 在 上单调递增，故有 ，则 在 上恒成立.令 ，则 ，令 ，即 ，解得 ，令 ，即 ，解得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以 ，即实数 的最小值为 .故选：B. 【点拨】本题考查不等式恒成立问题，通过同构构造函数并利用导数求最值是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2026·荆州·3月调研）已知函数 ，其中 ，则 A. 若函数 有且仅有 个零点，则 B. 若函数 有且仅有 个极值点，则 的取值范围是 C. 不存在 ，使函数 存在唯一的极值点 D. 若对 恒成立，则 【答案】ABD 【解析】将 变形为 ，分析 的单调性易知其在 递增，在 递减，，作 的简图（左图），直线 与其仅有一个公共点，则 ；对于 B，设 的导函数为 ，其有两个变号零点， 显然不是其零点，将 变形为 ， 在 递减，在 递增，，作 的简图（右图），直线 与其交于两点，则 ；对于 C，结合 B 的分析，显然当 时， 有且仅有一个变号零点；对于 D， 变形为 ，结合 A 的分析，当 时，，故 . 【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点与极值点，分离参数并构造函数是解题的关键. 10.已知 ，，对于 ， 恒成立，则下列结论正确的是 A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】由 恒成立，得 在 上恒成立，即 .设 ，则 .若 ，则 ， 在 上单调递增，无最大值，不合题意，故 A 正确.若 ，令 得 .当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减.所以 .所以 ，故 B 正确.对于 C，.设 ，则 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.所以 .所以 的最小值为 ，故 C 正确.对于 D，.设 ，则 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.所以 .所以 的最小值为 ，故 D 错误.综上，选 ABC. 【点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，分离参数并构造函数求最值是解题的关键. 11.已知 是自然对数的底数．若 ， 成立，则下列结论正确的是 A. B. 对 恒成立 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】由 得 ，即 ，令 ，求导得 ，则 在 上单调递增，显然 ，当 时，恒有 ，即 恒成立，于是当 时，，有 ，从而 对 恒成立，即 对 恒成立，令 ，求导得 ，则当 时，；当 时，，因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，，则 ，所以实数 的最小值是 . 【点拨】本题考查不等式恒成立问题，利用同构思想构造函数并利用导数求最值是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·长沙长郡中学·二模）已知 为自然对数的底数，不等式 对 恒成立，则实数 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意知 ，不等式 两边同除以 ，得 .令 ，则 .令 ，得 ，即 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.所以 .要使 恒成立，只需 ，即 ，解得 .所以实数 的最大值为 . 【点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，通过分离变量并构造函数求最值是解题的关键. 13.若对于任意正实数 ，都有 为自然对数的底数 成立，则 的最小值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】0 【解析】因为对于任意正实数 都有 成立，不妨将 代入不等式中，得 .下面证明 时满足题意，令 ，，则 .由 ，得 ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，即 对任意正数 都成立，即 ， 时满足题意，所以 的最小值为 . 【点拨】本题考查不等式恒成立问题，利用必要条件探路并验证充分性是解题的有效策略. 14.设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最小值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意知，不等式 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，令 ，所以 ，若 ，则 在 递增，当 时，，不等式不恒成立，故 ，当 时，，当 时，，所以当 时， 取得最大值 ，所以 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ，所以 ，当 时 ，当 时，，所以当 时， 取得最小值 ， 的最小值是 .又 ，所求最小值是 . 【点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，通过换元法和分离参数求最值是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·合肥·一模）已知函数 . （1） 当 时，讨论 的单调性； （2） 当 时，，求 的取值范围； （3） 设 ，证明：. 【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增 （2） （3） 证明见解析 【解析】（1） 当 时，，，所以当 时，；当 时，.所以函数 在区间 单调递减，在区间 单调递增. 4 分 （2） 因为 ，所以当 时，，由 （1） 知 ，当 时，.又当 时，，，所以 ，即 .所以 在区间 单调递减，所以 ，不符合题意.综上， 的取值范围是 . 10 分 （3） 由 （1） 知，当 时，函数 在区间 单调递增，所以当 时，，即 ，所以当 时，.当 时，，则 .易证 ，所以 .所以 .所以 .记 ，所以 .所以 .综上，原不等式成立. 17 分 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及利用函数不等式证明数列不等式，综合性较强. 16.（2026·深圳·二模）已知函数 . （1） 若 在 时取极值，求 的值和 的极小值； （2） 若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） ，极小值为 （2） 【解析】（1）由题意可知：，，因为 ，解得 ，则 ，，令 ，则 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；可知 在 上单调递减，在 上单调递增，则 的最小值为 ，且 ，当 趋近于 或 时， 趋近于 ，可知 在定义域 内有 2 个零点 和 1，当 时，，当 时，，可知 在 ， 内单调递增，在 内单调递减，所以 在 处取极小值，极小值为 . 7 分 （2）解法 1：由于不等式 对任意 恒成立，则 ，解得 ，下证：当 时，，若 ，则 ，令 ，由（1）可知， 在 上单调递增，则 ，则 ，所以 的取值范围为 . 15 分 解法 2：令 ，则 ，设 ，则 ，设 ，则 ，可知 在 上单调递增，则 ，即 ，可知 在 上单调递增，则 ，可得 ，所以 的取值范围为 . 15 分 解法 3：因为 ，则 ，设 ，则 ，可知 在 上单调递增，即 在 上单调递增，则 ，且当 趋近于 时， 趋近于 ，当 ，即 时，则 在 内存在零点 ，若 ，则 ，可知 在 内单调递减，可得 ，不合题意；当 ，即 时，则 ，可知 在 上单调递增，则 ，符合题意；综上所述： 的取值范围为 . 15 分 解法 4：因为 ，则 ，设 ，则 ，当 ，即 时，则 ，可知 在 单调递减，则 ，解得 ；当 ，即 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；可知 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，令 ，下证：，设 ，则 ，可知 在 上单调递增，则 ，即 ，可得 ，可知 不等式恒成立；综上所述： 的取值范围为 . 15 分 【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值与不等式恒成立问题，分离参数法和分类讨论法是常用的解题策略. 17.（2026·镇江·零模）已知函数 ，. （1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围； （2） 设 在 处的切线方程为 . ①求 的解析式； ②当 时， 恒成立，求 的取值集合. 【答案】（1） （2） ① ② 【解析】（1） .①当 时，， 在 上单调递增，，此时不存在这样的 ，舍去.②当 时，令 且 在 上单调递减； 上单调递增， 只需 ，显然成立，综上：实数 的取值范围是 . 7 分 （2） ①切点 ，，. 10 分 ② 时， 恒成立， 时，； 时，.令 ，.令 ，首先由 对 恒成立，（必要条件）.但（i）当 时，， 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减， 对 恒成立，与条件矛盾，舍去.（ii）当 时，令 且当 时，，， 在 上单调递增，此时 ，这与 对 恒成立矛盾，舍去.（iii）当 时，， 在 上单调递减，注意到 ， 当 时，；当 时， 符合题意.综上：. 17 分 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及不等式恒成立问题，通过构造函数并分类讨论是解题的关键. 18.（2025·江西三新教研·3月联考）已知函数 . （1） 已知 的导函数为 ，证明： 有唯一实数解. （2） 若函数 ，，，，求 的取值范围. 【答案】（1） 证明见解析 （2） 【解析】（1） 因为 ，所以 . 2 分 由 可知 ， 等价于 . 3 分 设函数 .因为 在 内单调递增，所以 在 内单调递增. 5 分 因为 ，所以 在 内存在唯一零点 ，所以 有唯一实数解. 7 分 （2） 解：由 （1） 知，当 时，，即 单调递减，当 时，，即 单调递增，所以 . 9 分 因为 ，所以 ，即 . 11 分 ，令 ，得 ，得 ，，得 ，所以 . 14 分 因为 ，，所以 ， 16 分 所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 . 17 分 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及含参不等式恒成立与存在性问题，转化为最值问题是解题的关键. 19.（2026·吉安·一模）已知函数 . （1） 若 ，求函数 在 处的切线方程； （2） 若 ，讨论 的单调性； （3） 若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减 （3） 【解析】（1） 由题意知 定义域为 ，， 2 分 当 时，，而 ，所以切线方程为 . 4 分 （2） 当 时，， 6 分 因为 ，所以 ， 若 ，即 时，，此时 在 上单调递增， 7 分 若 ，即 时，令 ，得 或 ，令 ，得 ， 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 9 分 综上，当 时， 在 上单调递增；当 时，增区间为 和 ，减区间为 . 10 分 （3） 因为 ，对 ， 恒成立，且 ， 故 ，即 ， 11 分 所以 ，对 ， 恒成立，当 时满足条件； 当 时，，即 ； 当 时，，即 ，所以 ， 12 分 ，令 得 ，所以 ①当 时，，则 在 上单调递增，当 时，，不满足题意； 13 分 ②当 时，，令 ，则 ，所以 在 上单调递增，当 时，，不满足题意； ③当 时，，令 得 ，所以 在 上单调递减，当 时，，不满足题意； 14 分 ④当 时，，令 得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，因为 ， ，令 ，则 ， 因此 ，不满足题意； 16 分 ⑤当 时，，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ，满足题意. 综上可知， 的取值范围为 . 17 分 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及不等式恒成立问题，通过必要条件探路并分类讨论是解题的关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $