第4讲 基本不等式及其应用 综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦基本不等式的概念辨析、条件最值及实际应用，通过多省份模拟题构建从基础到综合的知识逻辑链，强化运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1（选择1）|判断基本不等式使用条件的正误|从“一正二定三相等”条件出发，夯实概念理解| |基础应用|8（选择2-8、填空12-14）|正数约束下的和积最值求解|围绕“和定积最大”“积定和最小”，训练配凑、常数代换法| |综合应用|3（选择9-11）|多结论判断与多变量最值|结合不等式性质，深化推理意识与综合运算能力| |实际建模|2（解答17、19）|成本利润、建筑造价问题|以实际情境构建数学模型，体现应用意识与数据观念|

第4讲 基本不等式及其应用·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ 　　） ①已知 ，求 的最小值；解答过程：； ②求函数 的最小值；解答过程：可化得 ； ③设 ，求 的最小值；解答过程：，当且仅当 即 时等号成立，把 代入 得最小值为4． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.（2025·广东·3月联考）已知正数 满足 ，则 的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 3.（2026·江西萍乡·二模）已知 ，，则 的最小值为（ 　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4.（2026·湖北十堰·一模）已知正数 满足 ，则 的最小值为（ 　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5.（2026·湖北黄冈·一模）已知 为正实数，且 ，则 的最小值为（ 　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 6.（2025·上进联考·5月测评）已知正实数 满足 ，则 的最大值为（ 　　） A. 1 B. C. D. 2 7.（2026·厦门双十·适应练习）设 且 ， 且 ，若 ，则 的最小值为（ 　　） A. 3 B. C. 9 D. 18 8.（2026·精诚联盟·二模）已知 ，则 的最小值为（ 　　） A. B. C. 5 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.已知 ，，且 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. D. 10.已知 ，且 ，则（ 　　） A. 的最小值为 4 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11.（2026·安徽铜陵·一模）下列说法正确的是（ 　　） A. 若 ，则函数 的最小值为 3 B. 若 ，则 的最小值为 C. 函数 的最小值为 D. 若 ，且 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若 ，，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿. 13.已知 ，，满足 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿. 14.若 ，，，，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）利用基本不等式证明：已知 都是正数，求证： 16.（15分）（2024·河南·阶段练习）已知 ，， 为正数，证明： （1） 若 ，则 ； （2） 若 ，则 ． 17.（15分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 (元) 与月处理量 (吨) 之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. （1） 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2） 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 18.（17分）已知 ，求 的最大值. 19.（17分）（2024·湖北孝感·开学考试）截至 2022 年 12 月 12 日，全国新型冠状病毒的感染人数突破 44200000 人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题. （1） 我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量 (单位：mg/L) 随着时间 (单位：h).的变化用指数模型 描述，假定某药物的消除速率常数 (单位：)，刚注射这种新药后的初始血药含量 ，且这种新药在病人体内的血药含量不低于 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？ (精确到 0.01，参考数据：，) （2） 为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为 平方米 ()，侧面长为 米，且 不超过 8，房高为 4 米.房屋正面造价 400 元 / 平方米，侧面造价 150 元 / 平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？ 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 综合测试 解析卷 答案速查表 1 2 3 4 5 A D A D B 6 7 8 9 10 A B B BC ACD 11 12 13 14 15 BCD 见解析 16 17 18 19 见解析 （1）吨 （2）不获利，最大利润为元，至少补贴元 （1）小时 （2）当时，；当时， 1.下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ 　　） ①已知 ，求 的最小值；解答过程：； ②求函数 的最小值；解答过程：可化得 ； ③设 ，求 的最小值；解答过程：，当且仅当 即 时等号成立，把 代入 得最小值为4． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当 ， 与 均为负值，此时 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故①的用法有误，故①错误； 对②：，当且仅当 ，即 时取等号，但 ，则等号取不到，故②的用法有误； 对③：，，，当且仅当 ，即 时取等号，故③的用法有误； 故使用正确的个数是0个，对应选项A. 【点拨】应用基本不等式求最值时，必须严格检验“一正、二定、三相等”三个条件是否同时满足，切忌盲目套用公式. 2.（2025·广东·3月联考）已知正数 满足 ，则 的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设 ，则 ， 故 ，当且仅当 时取等号. 【点拨】本题原卷选项D存在排版笔误，实际计算结果为 .解题核心在于通过换元法将多元问题转化为一元或双变量问题，再利用“乘1法”构造基本不等式. 3.（2026·江西萍乡·二模）已知 ，，则 的最小值为（ 　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】因为 ，， 则 . 当且仅当 ，即 ，结合 得 时等号成立. 所以最小值为5. 【点拨】处理条件等式求最值时，常将常数项替换为已知表达式，展开后利用基本不等式求解. 4.（2026·湖北十堰·一模）已知正数 满足 ，则 的最小值为（ 　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】因为正数 满足 ，两边同除以 则 ， 可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值为9. 【点拨】遇到“和等于积”的条件，优先考虑两边同除以积，转化为倒数和为定值的形式，再利用“乘1法”求解. 5.（2026·湖北黄冈·一模）已知 为正实数，且 ，则 的最小值为（ 　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】由题可得 ， 因为 ， 所以 . 当且仅当 ，即 时取等号. 故选：B. 【点拨】分离分子是处理分式求最值的常见手段，分离后结合已知条件构造基本不等式的形式. 6.（2025·上进·5月测评）已知正实数 满足 ，则 的最大值为（ 　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】. 因为 ，且 ， 由基本不等式 ，即 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立. 因为 在 上单调递增， 所以 . 故最大值为1. 【点拨】对数运算与基本不等式的结合，关键在于利用对数运算法则将和转化为积，再利用基本不等式求真数的最值. 7.（2026·厦门双十·适应练习）设 且 ， 且 ，若 ，则 的最小值为（ 　　） A. 3 B. C. 9 D. 18 【答案】B 【解析】由换底公式可得 . 因为 ， 所以 . 当且仅当 ，即 时等号成立. 所以最小值为 . 【点拨】利用对数的换底公式将条件转化为乘积为定值，进而直接利用基本不等式求和的最小值. 8.（2026·精诚·二模）已知 ，则 的最小值为（ 　　） A. B. C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，且 ， 所以 . 当且仅当 ，即 时等号成立. 【点拨】通过观察分母特征，提取常数构造出和为定值的两项，再利用“乘1法”是解决此类题目的标准流程. 9.已知 ，，且 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】对于A：由 ，得 ，当且仅当 时等号成立， 即 ，解得 ，即 ，故A不正确； 对于B：由 ，得 ，当且仅当 时等号成立， 即 ，解得 ，或 （舍去），故B正确； 对于C：， 令 ，则 ，即 ，故C正确； 对于D：， 令 ，则 ，即 ，故D不正确. 【点拨】处理含有 和 的等式时，常利用 或 将双变量转化为单变量的不等式求解. 10.已知 ，且 ，则（ 　　） A. 的最小值为 4 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，，当且仅当 ，即 时取等号，则A正确； 对于B，，即 ，当且仅当 ，即 时取等号，则B错误； 对于C，，当且仅当 ，即 时，，则C正确； 对于D，，当且仅当 且 ，即 时取等号，则D正确. 【点拨】灵活运用基本不等式的各种变形形式（如 和 ）是快速判断选项的关键. 11.（2026·安徽铜陵·一模）下列说法正确的是（ 　　） A. 若 ，则函数 的最小值为 3 B. 若 ，则 的最小值为 C. 函数 的最小值为 D. 若 ，且 ，则 【答案】BCD 【解析】对于A，，， ， 当且仅当 ，即 时，取得最大值 ，故A错误； 对于B，， 当且仅当 即 ，结合 得 时， 取到最小值为 ，故B正确； 对于C，， 当且仅当 即 时取等号，故C正确； 对于D，当 ，且 时，，，即 ， 当且仅当 时， 取最大值 ，故D正确. 【点拨】应用基本不等式时，必须保证各项均为正数，若为负数则需提取负号转化为正数再使用.三角函数求最值常利用 进行代换. 12.若 ，，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为 且 ，则两边同除以 ，得 ， 又因为 ， 当且仅当 ，即 ，结合 可解得 时等号成立， 所以 . 【点拨】通过代数变形找出目标式与已知条件之间的联系，利用完全平方公式的展开式进行转化是解题的突破口. 13.已知 ，，满足 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由 ，得 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 当且仅当 即 时等号成立， 所以 的最小值是 . 【点拨】消元法是求最值的基本方法之一，将双变量问题转化为单变量问题后，再利用基本不等式求解. 14.若 ，，，，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意，，，，， 设 ，，则 ，且 . 故 . 当且仅当 ，即 ，结合 解得 时取得等号. 【点拨】通过整体换元简化表达式，再利用“乘1法”将分式展开，是处理此类连加分式求最值的有效策略. 15.（13分）利用基本不等式证明：已知 都是正数，求证： 【答案】见解析 【解析】 都是正数， （当且仅当 时取等号）； 3 分 （当且仅当 时取等号）； 6 分 （当且仅当 时取等号）； 9 分 将上述三个不等式同向相乘可得： ， 11 分 当且仅当 时取等号， 即 成立. 13 分 【点拨】本题考查基本不等式的连用.在连续使用基本不等式并相乘时，必须确保不等式两边均为正数，且各不等式取等号的条件能够同时满足. 16.（15分）（2024·河南·阶段练习）已知 ，， 为正数，证明： （1） 若 ，则 ； （2） 若 ，则 ． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（1） 因为 ，所以 ，同理可得 ，， 3 分 将以上三式相加可得： ， 5 分 两边同除以2，故 ， 当且仅当 时等号成立． 7 分 （2） 由柯西不等式可得： ， 11 分 即 ， 因为 ， 所以 ， 13 分 所以 ， 当且仅当 ，结合 即 时等号成立． 15 分 【点拨】第一问巧妙利用乘积条件将倒数转化为两数之积，再利用基本不等式放缩；第二问是典型的利用柯西不等式求平方和最小值的模型，注意构造系数. 17.（15分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 (元) 与月处理量 (吨) 之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. （1） 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2） 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 【答案】（1）400吨 （2）不获利，最大利润为元，至少补贴40000元 【解析】（1） 由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为： 3 分 ； 5 分 当且仅当 ，即 时等号成立， 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元. 7 分 （2） 设该单位每个月获利为 元，则 10 分 ， 12 分 因为 ，二次函数 在 上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，， 即 ， 14 分 故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损. 15 分 【点拨】实际应用题中，建立正确的函数模型是关键.求平均成本最低时利用基本不等式，求总利润最大时利用二次函数的性质，注意自变量的实际取值范围对最值的影响. 18.（17分）已知 ，求 的最大值. 【答案】 【解析】因为 ，将原式分子分母同除以 得： ， 4 分 设 ，所以原式化为： ， 分子分母同除以 得： ， 8 分 令 ，由基本不等式得 . 11 分 此时 ， 所以原式 ， 14 分 因为函数 在 上单调递增， 所以当 时， 取得最小值 ， 此时原式取得最大值 . 当且仅当 ，即 ，也就是 时等号成立. 故最大值为 . 17 分 【点拨】齐次分式求最值，常通过分子分母同除以某一项转化为单变量函数.本题两次使用换元法，第二次换元后利用对勾函数的单调性求最值是核心技巧. 19.（17分）（2024·湖北孝感·开学考试）截至 2022 年 12 月 12 日，全国新型冠状病毒的感染人数突破 44200000 人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题. （1） 我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量 (单位：mg/L) 随着时间 (单位：h).的变化用指数模型 描述，假定某药物的消除速率常数 (单位：)，刚注射这种新药后的初始血药含量 ，且这种新药在病人体内的血药含量不低于 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？ (精确到 0.01，参考数据：，) （2） 为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为 平方米 ()，侧面长为 米，且 不超过 8，房高为 4 米.房屋正面造价 400 元 / 平方米，侧面造价 150 元 / 平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？ 【答案】（1）6.93小时 （2）当时，；当时， 【解析】（1） 由题意得，， 设该药在病人体内的血药含量变为 时需要是时间为 ， 由 ， 2 分 得 ， 4 分 两边取自然对数得 ， . 该新药对病人有疗效的时长大约为 . 7 分 （2） 由题意，底面积为 ，侧面长为 ，则正面长为 米， 9 分 故总造价 ， 即 . 11 分 由基本不等式有 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号. 13 分 故当 ，即 时， 在定义域内，此时 时总价最低； 15 分 当 ，即 时，函数 在 上单调递减， 因为 ，所以函数在 上单调递减， 可得当 时总价最低； 综上，当 时，侧面长 时总价最低；当 时，侧面长 时总价最低. 17 分 【点拨】本题是含参的最值问题.在利用基本不等式求最值时，求出的等号成立条件必须与自变量的实际取值范围进行比对，若等号条件不在范围内，则需利用函数的单调性求解边界最值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $