第23讲 不等式恒成立·分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以五大核心方法为框架，系统整合不等式恒成立问题的解题策略，通过分类考法构建从基础到综合的知识逻辑链条，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接法|6考法|构造函数结合导数、奇偶性、切线等求参数范围|从函数性质切入，建立“性质-最值-参数”逻辑| |分离参数法|3考法|全/半分离参数，结合导数或换元求最值|通过参数分离转化为函数最值问题，简化运算| |端点效应|3考法|利用端点成立性探路缩小参数范围|基于必要性探路思想，降低复杂问题求解难度| |同构法|2考法|构造同构函数转化不等式，简化推理|通过结构变形实现问题转化，培养数学语言表达| |洛必达法则与max/min|3考法|极限思想与最值函数性质综合应用|融合高等数学思想与函数性质，提升综合解题能力|

第23讲 不等式恒成立 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D C D （1）在上单调递增 （2）见解析 （3） 6 7 8 9 10 （1） （2）见解析 （3） B 11 12 13 14 15 （1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） （3） 见解析 A （1） （2） （3）证明见解析 D 16 17 18 19 20 D （1） （2） （3） （1）见解析 （2） （3）见解析 D 21 22 23 24 25 （1） （2） （1） （2） （3） （1）见解析 （2） （1）见解析 （2） （1）最小值，此时 （2） 26 27 28 29 30 D （1） （2） D B 31 32 33 34 35 （1） （2） （3）证明见解析 （1） （2） （1）见解析 （2）存在， 36 37 38 39 （1）见解析 （2） C （1） （2） 考点一：直接法（构造函数法） 考法1：利用导数分析单调性与极值求参数范围 1.（2026·安徽黄山·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，则，即对于恒成立.而函数和在上均为增函数，则函数和在上有共同的零点，即，则，即.设，则，令，得或，令，得，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，且，则，即的取值范围是.故选D. 【点拨】处理双变量不等式恒成立问题时，若能将其转化为两个单调性相同的函数具有相同零点，可大幅简化运算.本题通过分离变量构造新函数，利用导数求其值域即可得解. 2.（2026·广东江西稳派·3月检测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设，则时单调递增，时单调递减，所以，问题转化为时恒成立.设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为时，结合在区间上单调递增，所以，此时存在，使得，且时时.又时，所以，即，所以.故选C. 【点拨】面对复杂的乘积形式不等式恒成立，先分析分母的符号，将其转化为分子恒大于等于零.再利用两个因式符号必须同步变化的特点，确定参数的临界条件. 考法2：结合函数奇偶性与对称性求参数范围 3.（2025·福建百校·5月押题）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当时，对任意的恒成立，因为当时，直线与相切，此时对任意的恒成立，结合图象以及是偶函数，可知的图象往右平移即可满足对任意的恒成立，所以以.故选D. 【点拨】利用函数的奇偶性画出完整图象，将不等式恒成立转化为图象的上下位置关系.通过寻找相切的临界状态，结合平移变换即可快速锁定参数范围. 4.（2026·安徽A10联盟·最后一卷）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】令，则，故为上的偶函数.因为当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.等价于，即，上恒成立，因为为偶函数，且在上单调递增，所以，平方化简得到，由一次函数性质得，解得. 【点拨】根据已知等式构造辅助函数，利用其奇偶性与单调性将抽象不等式转化为绝对值不等式.随后通过平方处理，转化为一次函数在给定区间上的恒成立问题. 5.（2025·深圳高级中学高中园·一模）已知函数，其中． （1） 当时，讨论函数的单调性； （2） 当时，证明：曲线是轴对称图形； （3） 若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 在上单调递增 （2） 见解析 （3） 【解析】（1） 当时，函数，求导得：； 当时，， ，，， 当时，. 当时，函数在上单调递增. （2） 当时，函数 ， 为偶函数，关于轴对称； 所以当时，曲线是轴对称图形. （3） 在上恒成立，， 当时，有， 又， 当时，在上恒成立， 故在上为减函数，故，此时不等式恒成立， 若，， 此时当时，， 故不成立， 故当时，若不等式恒成立，则. 若，则， 又， 当时，，故 若，此时在上恒成立，故在上减函数， 故在上恒成立，与题设矛盾； 若，当时，有， 这与题设矛盾， 若，则，故在上为增函数， 故恒成立， 综上所述：的取值范围. 【点拨】含绝对值的函数问题，通常需要去绝对值分段处理.在探究恒成立条件时，结合导数分析单调性，并利用放缩法寻找反例是排除不符合条件参数的有效手段. 考法3：结合切线方程与图象上下关系求参数范围 6.（2026·湖北新八校·4月二模）已知函数，且对恒成立，则的最大值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由对恒成立，可转化为对恒成立，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，要满足不等式且取得最大值，直线必须和的图象相切，设切点为，写出切线方程，与对比，可以用将和表示出来，然后再构造函数求最大值. 【点拨】将不等式恒成立转化为两个函数图象的上下位置关系，利用相切的临界状态确定参数关系.通过设切点坐标，将目标代数式转化为关于切点横坐标的单变量函数求最值. 7.（2025·江西萍乡实验·3月一模）已知函数． （1） 当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2） 讨论函数的单调性； （3） 设，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 见解析 （3） 【解析】（1） 当时，，， 当时，， 函数在处的切线方程为. （2） 函数的定义域为，， ①当时，恒成立，令，则， 若；若， 所以在单调递减，在单调递增； ②当时，，令，则， （i） 当，即时，若或；若， 所以在上递增，在上递减，在上递增. （ii） 当，即时，恒成立，在上递增. （iii） 当，即时，若或；若， 所以在上递增，在上递减，在上递增. 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在上递增，在上递减，在上递增； 时，在上递增；当时，在上递增，在上递减，在上递增. （3） 由得恒成立 因为，即恒成立. 设，则，因为 同构可得令，因为，所以， 下面先证. 设，于是，令，则，当时，： 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立.所以， 即，所以，即. 故实数取值范围为. 【点拨】处理含有指数和对数的混合不等式时，同构法是常用的利器.通过变形将不等式转化为具有相同结构的函数形式，再利用基本不等式进行放缩，可有效求出参数范围. 考法4：结合二次函数、基本不等式或绝对值求参数范围 8.（2026·江苏苏锡常镇四市·5月二模）已知函数，（为自然对数的底数），若对任意，总存在，使得，则实数的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方法一：时，，（时取“”） 由题意知，均有，时显然成立，时，， 令， 在上单调递减，， ，选：B. 方法二：原条件等价于. .所以只需. 取，.当时，令 ， .又，所以. 故可以取到，.选B. 【点拨】处理“对任意...总存在...”型命题，首先将其转化为两个函数最值之间的不等关系.对于含绝对值的函数，通过分离参数并结合导数求最值，或利用端点值进行必要性探路，是解题的关键. 9.（2025·江西十校协作体·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】已知对任意的，不等式恒成立，且.（1）若，不等式化为，即.由于，当时，该式显然不能对于任意恒成立，故.（2）若，因为，所以.要使原不等式恒成立，必须有对于恒成立，同（1）理可知这不可能，故不成立.（3）若，令，解得.当时，，要使原不等式成立，需；当时，，要使原不等式成立，需.这说明二次函数必须在上于处发生变号，且变号规律由正转负.因此，必须是方程的一个实数根，且在的分支上.所以，即.又因为，所以必须为整数.故必须是的正约数，且为完全平方数，即.因为，所以的可能取值为、、.①当时，，，此时；代入原不等式检验：.当时，，故原式恒成立，符合题意.②当时，，，此时；代入原不等式检验：.当时，，原式恒成立，符合题意.③当时，，，此时；代入原不等式检验：.当时，，原式恒成立，符合题意.综上所述，的取值只能是或.故的取值集合为. 【点拨】本题考查不等式恒成立问题.解题的破局点在于利用“穿根法”思想：当乘积式在某区间恒大于等于零时，若其中一个因式在区间内某点变号，则另一个因式必须在同一点同步变号（即产生偶次重根，以保证整体符号不改变）.由此将不等式恒成立问题巧妙转化为方程公共根的问题，再结合整数条件即可求出参数的准确值. 10.（2026·河南新未来·5月测评）已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由题意，若对任意恒成立，即恒成立. 令，. 若在上存在变号零点，则其必然从正变负再变正（因且时），即存在两个相异的正根. 为保证恒成立，必须在上与拥有完全相同的变号零点. 由得，即；同理. 两式相减得：. 因，等式两边同除以，可得，即. 但由于且，必然有，这与等于产生绝对矛盾！ 这说明与绝不可能存在共同的相异变号零点. 既然不能同步变号，且，那么为了满足整体乘积恒非正，必须要求在上： 恒成立，且恒成立. ①先看恒成立的条件： 求导得. 当时，，在上单调递增，显然成立. 当时，令解得极小值点. 需保证极小值，即，解得. 综合可知，恒成立的条件是. ②再看恒成立的条件： 由，分离参数得在上恒成立. 令，求导得. 当时；当时. 故在处取得最大值. 因此，必须满足，即. 题目要求“存在”使得不等式成立， 这意味着只要在的范围内，找到一个使得成立即可. 这等价于要求实数大于或等于函数在上的最小值. 由于是关于的减函数，当时取得最小值. 故实数必须满足. 所以，实数的取值范围为. 【点拨】本题的核心难点在于“两因式乘积恒非正”的处理.解题的关键破局点是利用代数式的几何意义或方程根的代数推导（如的矛盾），果断排除两因式“同解变号”的可能.一旦确定两因式不能同步变号，问题就立刻降维为纯粹的“三次函数恒非负（求出）”与“对数比值函数恒非正（求出最值）”的两个独立过程，最后结合存在性量词，利用线性规划思想求出参数的下确界. 考法5：双变量不等式恒成立与极值点偏移 11.（2025·深圳中学·一阶测试）已知函数． （1） 当时，求函数的单调区间； （2） 设函数，若函数与函数的图象恰有一个公共点，求实数的值； （3） 若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） （3） 【解析】（1） 由函数解析式，可得在定义域为， 当时，，则，令，可得，即，解得. 所以当变化时，的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2） 设，则，在区间单调递减， 在区间单调递增， 所以，所以(当且仅当时等号成立). 依题意，直线与的图象只有一个交点，而，当且仅当时，等号成立.因为函数在上单调递增，，所以存在，使得成立.而当时，；且当时，. 所以. （3） 因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实数根. 设，则有两个不相等的正实数根，故，且， 所以，又恒成立，即恒成立，设， 则，在恒成立，故在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 【点拨】极值点偏移问题常转化为双变量不等式，利用韦达定理将双变量转化为单变量函数求最值.本题中通过换元将指数方程转化为一元二次方程，结合根与系数的关系是解题关键. 12.（2026·江西南昌·4月二模）已知函数，其中． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有； （Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：． 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）见解析 【解析】（Ⅰ）由，可得，其中且， 下面分两种情况讨论： （1）当为奇数时： 令，解得或， 当变化时，的变化情况如下表： 所以，在，上单调递减，在内单调递增. （2）当为偶数时， 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以，在上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则 由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有. （Ⅲ）证明：不妨设，由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得，当时，在上单调递减，又由（Ⅱ）知，可得. 类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对任意，. 设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且， 因此. 由此可得. 因为，所以，故， 所以. 【点拨】极值点偏移问题中，利用切线放缩是处理复杂超越方程的有效手段.通过在极值点或零点处构造切线，将曲线转化为直线，从而利用一次函数的性质进行放缩证明. 考法6：结合存在性问题或反证法证明不等式 13.（2026·江苏南京盐城·一模）已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， 存在，对于任意都有， 在左侧附近，函数小于0. ， ， ①当时，， 存在，对于任意都有，，函数单调递增， 当时，，满足题意. ②当时，， ， 当时，，函数单调递减， 不存在，对于任意都有， ③当时，， 存在，对于任意都有，函数单调递减， 当时，，不满足题意. 综上所述，实数的取值范围是.故选A. 【点拨】处理局部区间上的恒成立问题，可转化为端点处的导数符号问题.通过分析端点处的单调性趋势，结合零点存在性定理，可快速锁定参数的取值范围. 14.（2025·河北沧州运东五校·二模）已知关于的函数与在区间上恒有． （1） 若，求的表达式； （2） 若，求的取值范围； （3） 若，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明见解析 【解析】（1） [方法一]:判别式法 由可得在上恒成立， 即和， 从而有， 即， 所以， 因此，．所以． [方法二]【最优解】：特值+判别式法 由题设有对任意的恒成立. 令，则，所以. 因此即对任意的恒成立， 所以，因此. 故. （2） [方法一] 令，.又. 若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意. 当时，，符合题意. 当时，在上递减，在上递增，则， 即，符合题意. 综上所述，. 由 当，即时，在为增函数， 因为， 故存在，使，不符合题意. 当，即时，，符合题意. 当，即时，则需，解得. 综上所述，的取值范围是. [方法二]【最优解】：特值辅助法 由已知得在内恒成立； 由已知得， 令，得，()， 令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，当时在内恒成立； 由在内恒成立，由()知，，，解得. 的取值范围是. （3） [方法一]：判别式+导数法 因为对任意恒成立， ①对任意恒成立， 等价于对任意恒成立. 故对任意恒成立. 令， 当，， 此时， 当，， 但对任意的恒成立. 等价于对任意的恒成立. 的两根为， 则， 所以. 令，构造函数，， 所以时，，递减，. 所以，即. [方法二]：判别式法 由，从而对任意的有恒成立，等价于对任意的①，恒成立. （事实上，直线为函数的图像在处的切线） 同理对任意的恒成立，即等价于对任意的恒成立.② 当时，将①式看作一元二次方程，进而有，①式的解为或（不妨设）； 当时，，从而或，又，从而成立； 当时，由①式得或，又，所以. 当时，将②式看作一元二次方程，进而有. 由，得，此时②式的解为不妨设，从而. 综上所述，. [方法三]【最优解】：反证法 假设存在，使得满足条件的有. 因为，所以. 因为，所以. 因为对恒成立，所以有 .则有 ，③ ，④ 解得. 由③+④并化简得，. 因为在区间上递增，且， 所以，. 由对恒成立，即有⑤ 对恒成立，将⑤式看作一元二次方程，进而有. 设，则， 所以在区间上递减，所以，即. 设不等式⑤的解集为，则，这与假设矛盾.从而. 由均为偶函数.同样可证时，也成立. 综上所述，. 【点拨】处理区间长度的最值问题，常通过反证法或判别式法转化为关于参数的函数最值.本题中利用切线放缩，将高次不等式转化为二次不等式，再结合根的分布与区间长度的关系进行求解. 考点二：分离参数法 考法7：全分离或半分离参数结合导数求最值 16.（2026·广东湛江·高考测试）已知不等式（，且）对任意正实数恒成立，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】原不等式等价于. 若，则曲线必然有一部分位于直线的上方， 与原不等式恒成立相矛盾，所以（也可令进行排除）. 所以上述不等式等价于， 设函数，直线. 经过分析可知，单调递增且上凸，直线经过点， 要想恒成立， 需满足在函数上方或在上且与相切于此点， 可得，由此即可得， 显然等号成立时，在上， 即直线与相切于点， 又的斜率为，，故， 解得，此时，所以的最大值为. 故选D. 【点拨】处理含有两个参数的恒成立问题，可将其转化为直线与曲线的位置关系.通过数形结合，利用相切的临界状态确定参数的最值，是解决此类问题的捷径. 17.（2026·河北沧州运东七县·一模）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数的定义域为， ①当时，， 当时，，不符合题意； ②当时，取，则，不符合题意； ③当时，设，， 则，当且仅当时取等号. （i）若，即，取， ，，不满足题意； （ii）若，即， 若在上恒成立，则需在上恒成立， 又， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 故，解得，所以. 综上可知，. 故选D. 【点拨】面对乘积形式的函数恒成立问题，先通过特殊值或基本不等式确定其中一个因式的符号，再将问题转化为另一个因式的恒成立问题，从而分离参数求最值. 18.（2026·山东枣庄·5月模拟）若，，则实数的最大值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由题意知，不等式对任意恒成立. 由于，原不等式可变形为： 等式两边同除以，得到： 令，则原不等式转化为对于的所有可能取值恒成立. 构造函数，求导得. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又因为，所以当时，； 而当时，. 由此可知，要使（即）恒成立，必须要求变量的取值范围不能包含任何大于（且充分小）的数. 换言之，的最大值必须满足. 再来求（）的最大值. 令，求导得. 因为，令解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得最大值： 根据前面的分析，必须满足，即： 因为，不等式两边同除以得，即. 解得，从而. 故实数的最大值为. 【点拨】本题是典型的利用“同构”思想与函数最值结合的压轴题.破题的关键在于通过指数与对数的运算法则，将原不等式巧妙变形并提取出整体结构，从而将问题转化为恒成立.随后，通过研究外层函数的单调性，敏锐地发现只有当时该不等式才成立，进而将复杂的不等式恒成立问题降维转化为内层函数的最大值小于等于的问题. 考法8：分离参数结合切线方程或换元法求参数范围 19.（2026·山东泰安·二模）已知． （1） 当时，求关于的函数在处的切线方程； （2） 当时，在上的解集非空，求的取值范围； （3） 若对于任意的，都有成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1） 当时，， ， ， ， 在处的切线方程为. （2） 在上的解集非空等价于 ，使得成立， 设，则 ， 单调递减， ， . （3） 恒成立， 恒成立， 令，则， 恒成立， 设，则 ， 显然，单调递减， ， 在上，单调递增， 在上，单调递减， ， 的最小值为. 20.（2025·深圳高中园·适应性考试）已知函数． （1） 讨论函数的单调性； （2） 求函数的最小值； （3） 当时，证明：． 【答案】（1） 见解析 （2） （3） 见解析 【解析】（1） 函数的定义域为，， 当时，由得，由，得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由得，由，得或， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由得或，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2） 函数的定义域为，， 由，得，由，得，即在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值. （3） 当时，等价于， 即，即， 即，即， ，只需证明， 即，即， 令，则， 易知在上单调递增，且当时，， 在上恒成立，在上单调递增， 又，当时，，即成立， 当时，，， 此时无法判断的符号，故上述证法行不通. 重新变形：要证，即证， 即证，即证， 令， 则， 令， 则， 令， 则， 令， 则， 易知在上单调递增，且，， ，使得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， ，又，， ，使得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， ，又，， 在上的符号无法确定，故上述证法也行不通. 再次变形：要证，即证， 即证，即证， 当时，成立； 当时，，要证，只需证， 令，则 ， 令， 则， 令， 则， 在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增， ，在上恒成立， 在上单调递增，， 即在上恒成立，故当时，原不等式成立； 当时，，要证，只需证， 由上述证明可知，在上的单调性无法直接判断，故此法也行不通. 最终解法：要证，即证， 即证， 令， 则， 令， 则， 令， 则， 令， 则， 由，得，由，得， 在上单调递减，在上单调递增， ， 又，， ，使得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， ，又，， 在上恒成立，在上恒成立， 在上单调递增，又， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， ，即成立， 成立. 【点拨】处理复杂的超越不等式证明，多次求导是常规武器.通过不断构造新函数并求导，直至导函数的符号易于判断，再逐层回推原函数的单调性与最值，从而完成证明. 考法9：分离参数结合存在性问题或三角函数求参数范围 21.（2025·江苏高邮·一模）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知，，由， 可得，可得. 令，其中，则. 所以，函数在上为增函数. 由可得，则，可得. 令，其中，则. 当时，，即函数在上递减. 当时，，即函数在上递增. 所以，，即实数的取值范围是. 故选D. 【点拨】处理含有指数和对数的混合不等式存在性问题，同构法是常用的利器.通过变形将不等式转化为具有相同结构的函数形式，利用单调性脱去函数符号，再分离参数求最值. 22.（2026·广东江门·二模）已知函数． （1） 求曲线在点处的切线方程； （2） 若不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 函数的导函数. 则，又. 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2） . 由，得. 设，则. . 令，得，则在上单调递减. 令，得，则在上单调递增. 所以. 故的取值范围为. 【点拨】处理含有三角函数的恒成立问题，首先利用辅助角公式或和差角公式进行化简，然后分离参数，构造新函数并利用导数求其在闭区间上的最值. 考点三：端点效应与必要性探路 考法10：利用端点恒成立求参数范围 23.已知函数． （1） 当时，求函数在点处的切线方程； （2） 若函数在处取得极值，求实数的值； （3） 若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1） 当时，，定义域为，， ，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2） ， 设，则， 依题意得，即， 当时，，当时，，当时，， 所以在处取得极大值，符合题意. 综上所述：. （3） 当时，，， 当时，，令，， 则， ①当时，在上恒成立，故在上为增函数， 所以，故在上为增函数， 故，不合题意. ②当时，令，得， （i） 若，即时，在时，，在上为减函数， ，即，在上为减函数，，符合题意； （ii） 若，即时， 当时，，在上为增函数，， 在上为增函数，，不合题意. 综上所述：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是. 【点拨】对于区间端点处的恒成立问题，常利用端点处的导数值进行必要性探路.若端点处函数值为0，则端点处的导数符号决定了函数在端点附近的走势，从而可初步确定参数范围. 24.已知函数与分别是与的导函数． （1） 证明：当时，方程在上有且仅有一个实数根； （2） 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 见解析 （2） 【解析】（1） ，当时，，令，令，则，显然在上是单调递增函数，且，在上有唯一零点，且时，单调递减，时，单调递增，又，，在上有唯一的根，在上有唯一零点，即在上有且仅有一个实数根. （2） ，令，则，等价于：，，令，则，令，则，故在上单调递增，，故即在上单调递增，，当时，，在上单调递增，；当时，，取，则，，，，使得，时，单调递减，此时，不符合题意.综上可知：的取值范围为. 【点拨】利用端点处的导数值进行必要性探路，是解决恒成立求参数范围问题的常用技巧.通过分析端点导数的符号，可初步筛选出可能的参数范围，再进行严格的充分性证明. 考法11：利用端点不成立求参数范围 25.已知函数． （1） 讨论函数的极值； （2） 当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 见解析 （2） 【解析】（1） 由题意可得：的定义域为，且. ①当时，则，可得. 所以在上单调递减，无极值. ②当时，令，解得；令，解得. 则在上单调递增，在上单调递减. 所以有极大值，无极小值. 综上所述：当时，无极值； 当时，有极大值，无极小值. （2） 因为，则. 构建，则. ①当时，则，则，等号不能同时取到. 所以在上单调递减. ②当时，构建，则. 因为，则. 所以在上单调递增. 且. 故在内存在唯一零点. 当时，则；当时，则. 即当时，则；当时，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：在上单调递减，在上单调递增. 则，且. 的图象大致为： 对于函数，由（1）可知： ①当时，在上单调递减. 且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于. 即的值域为，则不恒成立，不合题意. ②当时，在上单调递增，在上单调递减. 则，且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于. 即的值域. 若恒成立，则恒成立. 即，解得. 综上所述：的取值范围. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值以及复合函数不等式恒成立问题.处理恒成立时，关键是先通过导数探究外层函数的单调性与最值，结合图象发现等价于.进而将问题转化为内层函数恒成立，再利用导数求出的最大值即可求解. 26.已知函数． （1） 若，求函数的最小值及取得最小值时的值； （2） 若函数对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 最小值，此时 （2） 【解析】（1） 当时，，定义域为， 所以，令得， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，函数在处取得最小值，. （2） 因为函数对恒成立 所以对恒成立， 令，，则， ①当时，，在上单调递增， 所以，由可得，即满足对恒成立； ②当时，则，，在上单调递增， 因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意； ③当时，令得 令，恒成立，故在上单调递增， 因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于0时，趋近于负无穷， 所以，使得，， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，只需即可； 所以，，，因为，所以， 所以，解得，所以，， 综上所解，实数的取值范围为. 【点拨】处理含有参数的超越不等式恒成立问题，常通过分离参数或构造新函数求导.本题中，通过求导发现导函数存在唯一零点，利用隐零点代换将最值转化为关于零点的函数，再结合单调性求出参数范围. 考法12：利用必要性探路缩小参数范围 27.（2025·河北衡水中学·综合评价）已知，，当时，，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以在为增函数，由与图象知，在有唯一的零点， 当时，，当时，， 若，则在恒成立，与矛盾，故. 显然的定义域为，且 因为，所以均在单调递增， 所以当时，，因为，所以； 当时，，因为，所以， 所以当时，， 即， 令，得， 所以当时，，单调增， 当时，，单调减， 故， 所以，当且仅当即时等号成立； 故选D. 【点拨】处理含有多个变量的最值问题，常通过恒成立条件寻找变量间的等量关系，从而消元转化为单变量函数求最值.本题中利用零点一致性得出与的关系是解题的关键. 28.已知函数． （1） 若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围； （2） 若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 由已知，令，又，得． 由题设可得，令，其中， 则直线与函数的图象在上有两个交点， 因为，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为，且， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以函数在上有且仅有2个零点， 故实数的取值范围是； （2） 当时，由已知函数的定义域为， 又恒成立，即在时恒成立， 当时，恒成立，即，又，则， 下面证明：当时，在时恒成立.由（1）得当时，， 要证明，只需证明对任意的，恒成立， 令，则， 由，得， ①当，即时在上恒成立，则在上单调递增， 于是； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 于是， 令，则，则在上单调递增． 于是，所以恒成立， 所以时，不等式恒成立，因此的取值范围是. 【点拨】利用端点处的函数值进行必要性探路，可快速缩小参数的取值范围.随后在缩小后的范围内进行充分性证明，常需结合导数分析函数的单调性与最值. 考点四：同构法与构造函数技巧 考法13：利用同构法构造函数求参数范围 29.（2026·河北NT名校·1月月考）对于任意的，不等式恒成立，则实数的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设，则， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 又，， 所以存在，使得， 当时，，当时，，当时，， 因为恒成立， 所以当时，，当时，，当时，， 所以， 即， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 即， 所以， 所以. 故选D. 【点拨】处理乘积形式的不等式恒成立问题，关键在于分析两个因式的符号变化.若一个因式存在变号零点，则另一个因式必须在相同的零点处变号，从而转化为方程求根问题. 30.（2025·河南南阳一中·三模）已知函数．若恒成立，则的最小值是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】恒成立，即， 令，则易知单调递增， ， 令，则， 令，解得，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，故，即. 则的最小值是. 【点拨】处理含有指数和对数的复杂不等式恒成立问题，同构法是常用的利器.通过代数变形，将不等式两边转化为具有相同结构的函数形式，利用该函数的单调性脱去函数符号，从而将问题转化为常规的求最值问题. 考法14：利用特定构造函数技巧求参数范围 31.（2025·郑州外国语学校·5月调研）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】设，则其定义域为，且 ，故为奇函数. 而，且仅在时，所以为增函数. 同时，不等式可化为， 即. 而是奇函数，故原不等式又等价于， 因为是增函数，所以等价于. 当时，这可化为，故条件即为对任意成立. ①一方面，在条件中取，即可得到，从而一定有； ②另一方面，当时，我们证明对任意的，都有. 首先，代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于. 设，则，故对有，对有. 从而在上递减，在上递增，所以对均有. 这就意味着，所以 . 从而由即可得到. 即当时，不等式对恒成立. 综合①②两方面，可知的最大值为. 故答案为：. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，以及利用必要条件探路法求参数的最值.首先通过构造奇函数，利用其单调递增的性质，将抽象的函数不等式转化为具体的不等式.分离参数后得到.由于直接求右侧函数的最小值较为困难，采用“必要性探路”策略：先取特殊值得到，猜测最大值为；再证明充分性，即当时，不等式恒成立.证明过程中巧妙地构造了基本不等式，通过组合完成了放缩证明，体现了极高的代数变形技巧. 32.已知关于的函数与在区间上恒有． （1） 若，，，求的表达式； （2） 若，，，求的取值范围； （3） 若，，，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明见解析 【解析】（1） [方法一]:判别式法 由可得在上恒成立， 即和， 从而有， 即， 所以， 因此，．所以． [方法二]【最优解】：特值+判别式法 由题设有对任意的恒成立. 令，则，所以. 因此即对任意的恒成立， 所以，因此. 故. （2） [方法一] 令，.又. 若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意. 当时，，符合题意. 当时，在上递减，在上递增，则， 即，符合题意. 综上所述，. 由 当，即时，在为增函数， 因为， 故存在，使，不符合题意. 当，即时，，符合题意. 当，即时，则需，解得. 综上所述，的取值范围是. [方法二]【最优解】：特值辅助法 由已知得在内恒成立； 由已知得， 令，得，()， 令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，当时在内恒成立； 由在内恒成立，由()知，，，解得. 的取值范围是. （3） [方法一]：判别式+导数法 因为对任意恒成立， ①对任意恒成立， 等价于对任意恒成立. 故对任意恒成立. 令， 当，， 此时， 当，， 但对任意的恒成立. 等价于对任意的恒成立. 的两根为， 则， 所以. 令，构造函数，， 所以时，，递减，. 所以，即. [方法二]：判别式法 由，从而对任意的有恒成立，等价于对任意的①，恒成立. （事实上，直线为函数的图像在处的切线） 同理对任意的恒成立，即等价于对任意的恒成立.② 当时，将①式看作一元二次方程，进而有，①式的解为或（不妨设）； 当时，，从而或，又，从而成立； 当时，由①式得或，又，所以. 当时，将②式看作一元二次方程，进而有. 由，得，此时②式的解为不妨设，从而. 综上所述，. [方法三]【最优解】：反证法 假设存在，使得满足条件的有. 因为，所以. 因为，所以. 因为对恒成立，所以有 .则有 ，③ ，④ 解得. 由③+④并化简得，. 因为在区间上递增，且， 所以，. 由对恒成立，即有⑤ 对恒成立，将⑤式看作一元二次方程，进而有. 设，则， 所以在区间上递减，所以，即. 设不等式⑤的解集为，则，这与假设矛盾.从而. 由均为偶函数.同样可证时，也成立. 综上所述，. 【点拨】处理区间长度的最值问题，常通过反证法或判别式法转化为关于参数的函数最值.本题中利用切线放缩，将高次不等式转化为二次不等式，再结合根的分布与区间长度的关系进行求解. 考点五：洛必达法则与max/min函数问题 考法15：利用洛必达法则求参数范围 33.已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直． （1） 求实数的值； （2） 若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） ，； 函数在处取得极值， ； 又曲线在点处的切线与直线垂直，； 解得：； （2） 不等式恒成立可化为，即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令，则； 令，则； 令，则； 得在是减函数，故，进而 (或，， 得在是减函数，进而)． 可得：，故，所以在是减函数， 而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义， 变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为． 【点拨】当分离参数后得到的函数在端点处出现“”型未定式时，可利用洛必达法则求出极限值，从而确定参数的临界条件. 34.设函数．当时，，求的取值范围． 【答案】 【解析】由题设，此时． ①当时，若，则，不成立； ②当时，当时，，即； 若，则； 若，则等价于，即． 记，则$g'（x）=\frac{\text{e}^{2x}-x^2\text{e}^x-2\text{e}^x+1}{(x\text{e}^x-x)^2}=\frac{\text{e}^x(x\text{e}^x-x)^2(\text{e}^x-x^2-2+\text{e}^{-x})}$． 记，则，． 因此，在上单调递增，且，所以， 即在上单调递增，且，所以． 因此，所以在上单调递增． 由洛必达法则有， 即当时，，即有，所以． 综上所述，的取值范围是． 【点拨】分离参数后，若函数在端点处无定义且呈现“”型，可利用洛必达法则求极限，结合函数的单调性确定参数的最值. 考法16：利用max/min函数性质求参数范围 35.已知函数，其中． （1） 证明：当时，；当时，； （2） 用表示中的最大值，记．是否存在实数，对任意的恒成立．若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 见解析 （2） 存在， 【解析】（1） 证明：，． 当时，，则；当时，，则， 当时，， 所以当时，，在上是增函数， 又， 所以当时，； 当时，． （2） 函数的定义域为， 由（1）知，当时，， 又， 所以当时，恒成立， 由于当时，恒成立， 所以等价于：当时，． ． ①若，当时，， 故，递增，此时，不合题意； ②若，当时，由知， 存在，使得，根据余弦函数的单调性可知， 在上递增，故当，，递增，此时，不合题意； ③若，当时，由知，对任意，，递减， 此时，符合题意． 综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是． 【点拨】处理问题，可转化为在不同区间上分别满足或.通过分析其中一个函数的符号，确定另一个函数必须非负的区间，进而求出参数范围. 36.已知函数． （1） 证明恒成立； （2） 用表示中的最大值．已知函数，记函数，若函数在上恰有个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） 见解析 （2） 【解析】（1） 由题得的定义域为， 则在上恒成立等价于在上恒成立，记，则， 当时，；时，， 故在上单调递减，上单调递增， 所以，即恒成立． （2） 由题得， ①当时，，此时无零点． ②当时，， a. 当，即时，是的一个零点； b. 当，即时，不是的一个零点； ③当时，恒成立，因此只需考虑在上的零点情况． 由， a. 当时，，在上单调递增，且， 当时，，则在上无零点，故在上无零点； 当时，，则在上无零点，故在上有1个零点； 当时，由，，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点； 所以． b. 当时，由得， 由时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 由，，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点； 所以． 综上所述，时，在上恰有两个零点． 【点拨】处理的零点问题，需分段讨论.先确定其中一个函数恒大于零的区间，排除零点；再在剩余区间内，结合另一个函数的单调性与极值，分类讨论参数以满足零点个数要求. 考法17：双变量最值问题求参数范围 37.已知，对于恒成立，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为对于，恒成立， 所以对于，恒成立， 设，所以． 当时，，函数单调递增， 所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知； 当时， 当时，，函数单调递增． 当时，，函数单调递减． 所以． 所以． 所以． 设， 所以， 当时，，函数单调递减． 当时，，函数单调递增． 所以． 所以的最小值为． 故选：C 【点拨】将双变量最值问题转化为单变量函数的最值问题.先通过恒成立条件分离出一个变量，求出其关于另一个变量的表达式，再代入目标函数中求最值. 38.若对于任意正实数，都有成立，则的最小值是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为对于任意正实数都有成立， 不妨将代入不等式中，得． 下面证明时满足题意， 令，，则． 由，得，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即对任意正数都成立， 即，时满足题意，所以的最小值为0． 故答案为：0 【点拨】处理双变量最值问题，可先通过代入特殊值（如极值点猜想值）得到目标代数式的一个下界，再通过构造具体函数证明该下界可以取到，从而确定最小值. 39.已知函数，其中． （1） 当时，直线与函数的图象相切，求的值； （2） 当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 当时，直线与函数的图象相切于， 因为，所以， 则且，即，解得：． （2） 若对任意，都有恒成立，得． 假设，则当时，， 而当时，． 取，则当时，， 而，矛盾；故． 当时，由，得，即． 下证：能取到． 当时，． 记，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 所以． 即对任意，恒成立， 故的最小值为． 【点拨】处理双变量比值的最值问题，可先通过特殊点代入得到比值的一个界限，再通过构造具体函数证明该界限可以取到.这种“猜证结合”的方法在处理复杂恒成立问题时非常有效. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 不等式恒成立 · 分类练习 考点一：直接法（构造函数法） 考法1：利用导数分析单调性与极值求参数范围 1.（2026·安徽黄山·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·广东江西稳派·3月检测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法2：结合函数奇偶性与对称性求参数范围 3.（2025·福建百校·5月押题）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·安徽A10联盟·最后一卷）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 5.（2025·深圳高级中学高中园·一模）已知函数，其中． （1） 当时，讨论函数的单调性； （2） 当时，证明：曲线是轴对称图形； （3） 若在上恒成立，求的取值范围． 考法3：结合切线方程与图象上下关系求参数范围 6.（2026·湖北新八校·4月二模）已知函数，且对恒成立，则的最大值为＿＿＿＿＿＿． 7.（2025·江西萍乡实验·3月一模）已知函数． （1） 当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2） 讨论函数的单调性； （3） 设，若，求实数的取值范围． 考法4：结合二次函数、基本不等式或绝对值求参数范围 8.（2026·江苏苏锡常镇四市·5月二模）已知函数，（为自然对数的底数），若对任意，总存在，使得，则实数的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 9.（2025·江西十校协作体·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为＿＿＿＿＿＿． 10.（2026·河南新未来·5月测评）已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 考法5：双变量不等式恒成立与极值点偏移 11.（2025·深圳中学·一阶测试）已知函数． （1） 当时，求函数的单调区间； （2） 设函数，若函数与函数的图象恰有一个公共点，求实数的值； （3） 若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 12.（2026·江西南昌·4月二模）已知函数，其中． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有； （Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：． 考法6：结合存在性问题或反证法证明不等式 13.（2026·江苏南京盐城·一模）已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 14.（2025·河北沧州运东五校·二模）已知关于的函数与在区间上恒有． （1） 若，求的表达式； （2） 若，求的取值范围； （3） 若，求证：． 考点二：分离参数法 考法7：全分离或半分离参数结合导数求最值 15.（2026·广东湛江·高考测试）已知不等式（，且）对任意正实数恒成立，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 16.（2026·河北沧州运东七县·一模）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 17.（2026·山东枣庄·5月模拟）若，，则实数的最大值为＿＿＿＿＿＿． 考法8：分离参数结合切线方程或换元法求参数范围 18.（2026·山东泰安·二模）已知． （1） 当时，求关于的函数在处的切线方程； （2） 当时，在上的解集非空，求的取值范围； （3） 若对于任意的，都有成立，求的最小值． 19.（2025·深圳高中园·适应性考试）已知函数． （1） 讨论函数的单调性； （2） 求函数的最小值； （3） 当时，证明：． 考法9：分离参数结合存在性问题或三角函数求参数范围 20.（2025·江苏高邮·一模）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 21.（2026·广东江门·二模）已知函数． （1） 求曲线在点处的切线方程； （2） 若不等式对恒成立，求的取值范围． 考点三：端点效应与必要性探路 考法10：利用端点恒成立求参数范围 22.已知函数． （1） 当时，求函数在点处的切线方程； （2） 若函数在处取得极值，求实数的值； （3） 若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 23.已知函数与分别是与的导函数． （1） 证明：当时，方程在上有且仅有一个实数根； （2） 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 考法11：利用端点不成立求参数范围 24.已知函数． （1） 讨论函数的极值； （2） 当时，不等式恒成立，求的取值范围． 25.已知函数． （1） 若，求函数的最小值及取得最小值时的值； （2） 若函数对恒成立，求实数的取值范围． 考法12：利用必要性探路缩小参数范围 26.（2025·河北衡水中学·综合评价）已知，，当时，，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 27.已知函数． （1） 若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围； （2） 若恒成立，求的取值范围． 考点四：同构法与构造函数技巧 考法13：利用同构法构造函数求参数范围 28.（2026·河北NT名校·1月月考）对于任意的，不等式恒成立，则实数的值为（ 　　） A. B. C. D. 29.（2026·湖北楚天协作体·二模）关于的方程有实根，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 30.（2025·河南南阳一中·三模）已知函数．若恒成立，则的最小值是＿＿＿＿＿＿． 考法14：利用特定构造函数技巧求参数范围 31.（2025·郑州外国语学校·5月调研）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为＿＿＿＿＿＿． 32.已知关于的函数与在区间上恒有． （1） 若，，，求的表达式； （2） 若，，，求的取值范围； （3） 若，，，求证：． 考点五：洛必达法则与max/min函数问题 考法15：利用洛必达法则求参数范围 33.已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直． （1） 求实数的值； （2） 若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 34.设函数．当时，，求的取值范围． 考法16：利用max/min函数性质求参数范围 35.已知函数，其中． （1） 证明：当时，；当时，； （2） 用表示中的最大值，记．是否存在实数，对任意的恒成立．若存在，求出；若不存在，请说明理由． 36.已知函数． （1） 证明恒成立； （2） 用表示中的最大值．已知函数，记函数，若函数在上恰有个零点，求实数的取值范围． 考法17：双变量最值问题求参数范围 37.已知，对于恒成立，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 38.若对于任意正实数，都有成立，则的最小值是＿＿＿＿＿＿． 39.已知函数，其中． （1） 当时，直线与函数的图象相切，求的值； （2） 当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $