精品解析：四川省达川区万家初级中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

四川省达川区万家初级中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．以下剪纸中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是( ) A. B. C. D. 3. 2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，灌云伊芦山霞波滑雪场有一坡角为30°的滑雪道，滑雪道长240米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A. 100米 B. 120米 C. 240米 D. 480米 4. 下列说法错误的是（ ） A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线 B. 两组边对应相等的两个直角三角形全等 C. 如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半 D. 有一个角等于 的三角形是等边三角形 5. 对于有理数a、b，定义一种新运算“◎”：当时，；当时，． 例如：．参照上面的材料，则，则x的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，若，的垂直平分线与 交于点D，连接 ，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某地政府计划用一块面积为的土地建造公租房小区，小区内每幢楼5层．要求只建的两室两厅和的一室两厅两种户型，共300套，且建楼的土地面积不超过．要想求出的户型最多可以建多少套，则设的户型可以建套，可列不等式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（　　） A. B. C. 3 D. 9. 如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作 交 于，交于，过点作 于，下列四个结论其中正确的是（ ） ①； ②； ③当时，分别是 的中点； ④若 ，，则． A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 若不等式的解集是，则的取值范围是________． 13. 如图，在等边三角形中，D为的中点，于点E，，则线段的长为______． 14. 如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点 的坐标为，则平移后点 的坐标为__________． 15. 如图，在中，平分交于点，过点 作 ，交的延长线于点，且 ， ．若 ， ，则的长为_________． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. （1）解不等式，并把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）解一元一次不等式组：，并求该不等式组的整数解． 17. 已知：如图，在中，，， 是的角平分线，于点，，求 的长度． 18. 已知关于x，y的方程组． （1）若方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围，并写出a的最小整数解； （2）若，求y的取值范围． 19. 已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M （1）若，，求的面积； （2）求证：． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移 个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为 ． 21. 一个城市的卫生状况反映了这个城市的文明程度．某城市每日清理垃圾的车辆有两种型号，已知2辆大型垃圾车与3辆小型垃圾车一次可以运输26吨垃圾；5辆大型垃圾车与4辆小型垃圾车一次可以运输58吨垃圾． （1）求1辆大型垃圾车和1辆小型垃圾车一次各运输多少吨垃圾？ （2）已知该城市每日规定派出两种垃圾车共12辆，每辆大型垃圾车一次需费用300元，每辆小型垃圾车一次需费用150元．经调查该城市每日需运输的垃圾不少于60吨，请确定费用最少的派车方案，并求出最少费用是多少？ 22. 如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长； （3）求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图像相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求一次函数的解析式． （2）请直接写出不等式的解集． （3）若在x轴上存在一点D，且是以 为腰的等腰三角形时，求此时点D的坐标． 24. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为 ，而不等式组的解集为，不难发现 在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． （1）请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 25. 综合与实践 【问题情境】 在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．和均为等腰直角三角形，，将和的直角顶点A与F重合，再将绕点A旋转． 【解决问题】 （1）“勤奋小组”将和按图①所示的方式摆放，连接，发现，请给予证明； （2）“智慧小组”先连接，然后将旋转至点B，D，E在同一直线上，如图②，则的度数为______； （3）“创新小组”同样先连接，在旋转过程中发现，当点D落在线段上时，如图③，可以得到，请你证明他们的发现； 【拓展探究】 （4）“攀登小组”将旋转至图④所示的位置，连接相交于点P，连接．求证： 平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达川区万家初级中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．以下剪纸中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、可以找到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故是中心对称图形，符合题意； D、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； 2. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变的性质，逐步化简原不等式即可得到结果． 【详解】解：∵ 不等式两边同时减去 ，得 不等式两边同时除以 ，根据不等式性质，除以负数时不等号方向改变，得 ∴ “□”中应填． 3. 2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，灌云伊芦山霞波滑雪场有一坡角为30°的滑雪道，滑雪道长240米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A. 100米 B. 120米 C. 240米 D. 480米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是角的直角三角形的性质，根据含角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中，米， 则米， 故选：B． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线 B. 两组边对应相等的两个直角三角形全等 C. 如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半 D. 有一个角等于 的三角形是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、直角三角形全等判定、含30°角的直角三角形性质和等边三角形的判定，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】解：选项A：∵等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边， ∴等腰三角形底边上的高所在直线是底边的垂直平分线，A说法正确． 选项B：∵两组边对应相等的两个直角三角形，若为两条直角边可利用 判定全等，若为斜边和一条直角边可利用 判定全等， ∴B说法正确． 选项C：∵等腰三角形底角为 ， ∴顶角为，腰上的高在三角形外部，可得高与另一腰的延长线围成的直角三角形中，锐角为， ∵直角三角形中， 角对的直角边是斜边的一半， ∴腰上的高是腰长的一半，C说法正确． 选项D：只有一个角等于 的等腰三角形才是等边三角形，任意一个有一个角为 的三角形不一定是等边三角形，因此D说法错误． 5. 对于有理数a、b，定义一种新运算“◎”：当时，；当时，． 例如：．参照上面的材料，则，则x的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式;分当，即时，当，即时，两种情况根据新定义建立不等式求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， 解得， ∴； 当，即时， ∵， ∴， 解得，此时无解； 综上所述，． 故选：C． 6. 如图，在中，若，的垂直平分线与 交于点D，连接 ，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，利用等腰三角形性质和垂直平分线性质，得到，再利用三角形内角和定理得到求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 的垂直平分线与 交于点D， ， ， ， ， ． 故选：B． 7. 某地政府计划用一块面积为的土地建造公租房小区，小区内每幢楼5层．要求只建的两室两厅和的一室两厅两种户型，共300套，且建楼的土地面积不超过．要想求出的户型最多可以建多少套，则设的户型可以建 套，可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，根据建楼土地面积的限制条件，结合两种户型的套数与每幢楼的层数，推导建楼占地面积的不等式，关键是明确每套户型对应的建楼占地面积计算方式． 【详解】解：∵设的户型建 套， ∴的户型建套， ∵每幢楼5层， ∴ 套户型对应的建楼占地面积为，套户型对应的建楼占地面积为， 又∵建楼的土地面积不超过总土地面积的，总土地面积为， ∴， 故选：D． 8. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2， ∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=， ∵CA=CA1， ∴△ACA1是等边三角形， ∴AA1=AC=BA1=2， ∴∠BCB1=∠ACA1=60°， ∵CB=CB1， ∴△BCB1是等边三角形， ∴BB1= ，BA1=2，∠A1BB1=90°， ∴BD=DB1=， ∴A1D==． 故选D． 考点：旋转的性质；含30度角的直角三角形． 9. 如图，直线与直线相交于点，与 轴交于点，则关于 的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先把代入求出k的值，再求出点B的坐标，然后结合图象求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴由图象可知，关于 的不等式组的解集是． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作 交 于，交于，过点作 于，下列四个结论其中正确的是（ ） ①； ②； ③当时，分别是 的中点； ④若 ，，则． A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④． 【详解】解：和的平分线相交于点， ， ，①正确； ， ， 又， ， ， 同理，， ，②正确； 当时，， 不是 的中点，③错误； 连接 ，作于 ，如图所示： 和的平分线相交于点， 平分 ， ， ， ，④正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 若不等式的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质可以得到的正负情况，从而可以得到的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， ∴，解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的解集，解题的关键是明确不等式的性质． 13. 如图，在等边三角形中，D为的中点，于点E，，则线段的长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，再求出，得到，进而得到，则． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：18． 14. 如图，将无人机沿着 轴向右平移3个单位，若无人机上一点 的坐标为，则平移后点 的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 根据点的平移规律即可求解． 【详解】解：由题意得：将点沿着 轴向右平移3个单位， ∴平移后点 的坐标为，即， 故答案为：． 15. 如图，在中，平分交于点，过点 作 ，交的延长线于点，且 ， ．若 ， ，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等腰三角形内角求出角度，再结合平行线、角平分线以及三角形内角和推出 是等腰三角形，代入边长计算 即可． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. （1）解不等式，并把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）解一元一次不等式组：，并求该不等式组的整数解． 【答案】（1），数轴见解析；（2）不等式组的解集为，整数解有：． 【解析】 【分析】题目主要考查求不等式及不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法步骤是解题关键． （1）去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解，再把不等式的解集在数轴上表示出即可； （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 在数轴上表示如下： （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴整数解有：． 17. 已知：如图，在中，，，是的角平分线，于点，，求 的长度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据角平分线的性质可得 ，根据，可知，在中，根据勾股定理，可得的长，进一步可得的长，在中，根据勾股定理，可得 得长． 【详解】解：，， ， 是的角平分线，，， ， ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ， 在中，根据勾股定理，得：． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 18. 已知关于x，y的方程组． （1）若方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围，并写出a的最小整数解； （2）若，求y的取值范围． 【答案】（1），a的最小整数解为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的解法，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键； （1）解方程组得，然后由题意易得，进而求解即可； （2）由（1）可得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴，解得：， ∴a的最小整数解为； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即． 19. 已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M （1）若，，求的面积； （2）求证：． 【答案】（1）6； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的全等等知识． （1）作于N，先证明，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先证明，得到 ，再证明，得到 ，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，作于N． ∵平分，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴ ． 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移 个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用平移、旋转作图，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）根据平移的性质即可将向右平移6个单位长度得到； （2）根据中心对称的定义即可画出关于点O的中心对称图形； （3）根据旋转的性质即可将绕某一点旋转可得到，进而写出旋转中心的坐标． 【小问1详解】 如图，即为所作， 【小问2详解】 如图，即为所作， 【小问3详解】 根据图形可知，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 21. 一个城市的卫生状况反映了这个城市的文明程度．某城市每日清理垃圾的车辆有两种型号，已知2辆大型垃圾车与3辆小型垃圾车一次可以运输26吨垃圾；5辆大型垃圾车与4辆小型垃圾车一次可以运输58吨垃圾． （1）求1辆大型垃圾车和1辆小型垃圾车一次各运输多少吨垃圾？ （2）已知该城市每日规定派出两种垃圾车共12辆，每辆大型垃圾车一次需费用300元，每辆小型垃圾车一次需费用150元．经调查该城市每日需运输的垃圾不少于60吨，请确定费用最少的派车方案，并求出最少费用是多少？ 【答案】（1）1辆大型垃圾车和1辆小型垃圾车一次各运输10吨，2吨垃圾 （2）应派出5辆大型垃圾车，则派出7辆小型垃圾车时总费用最少，最少为2250元 【解析】 【分析】（1）根据题意找出等量关系式，列出二元一次方程组求解可得． （2）根据题意列式表示出总费用，每日需运输的垃圾不少于60吨且a为正整数，解得a的值，结合函数性质解得． 【小问1详解】 设：1辆大型垃圾车和1辆小型垃圾车一次各运输 ，吨垃圾． 得 解得： 答：1辆大型垃圾车和1辆小型垃圾车一次各运输10吨，2吨垃圾． 【小问2详解】 设：派出 辆大型垃圾车，则派出（12－ ）辆小型垃圾车，总费用为元． ＝ ∵ 解得： ∵ 为整数 ∴ ∵ ∴随 的增大而增大 当时 ＝2550元 答：应派出5辆大型垃圾车，则派出7辆小型垃圾车时总费用最少，最少为2250元． 【点睛】此题考查了二元一次方程组解决实际问题和一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式求解即可． 22. 如图，在中，，，，垂足为，且 ，，其两边分别交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长； （3）求证：． 【答案】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， 是等边三角形． （2）4 （3）证明： 是等边三角形， ，， ， ， 即 ， 在和 中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出 ，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得， ，可得 ，即可求解； （3）由 是等边三角形，得出， ，证出 ，由证明 ，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 是等边三角形， ， ， ， ， 即 ． 【小问3详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图像相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求一次函数的解析式． （2）请直接写出不等式的解集． （3）若在x轴上存在一点D，且是以 为腰的等腰三角形时，求此时点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， ， 【解析】 【分析】（1）将点C的横坐标为1代入得到点C的坐标，再将点与点C的坐标代入即可得到答案； （2）根据图像找到一次函数图像在上方的部分即可得到答案； （3）根据勾股定理求出 ，分 ，两类讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵函数与函数的图像交于点C，且点C的横坐标为1， ∴， ∴， 将点与点代入得， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由图像可得， 当时，函数的图像在函数的图像的上方， ∴的解集是； 【小问3详解】 解：由勾股定理可得， ， 当 时， ∵点D在x轴上， ∴点D的坐标为：，； 当时，直线是 的垂直平分线， ∴, ∴点D的坐标为：； 综上所述点D的坐标为：， ，． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与正比例函数图像交点问题，利用函数图像解不等式，动点组成等腰三角形问题，解题的关键是求出点C的坐标及分类讨论． 24. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为 ，而不等式组的解集为，不难发现 在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． （1）请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得 ，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出； （3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下： ， ， 解得， ， 由①得：， 解得，， 由②得：， ， ， ， ， ∴， ∵不在的范围内， ∴不是不等式组的“相依方程”； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解不等式组：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得 ， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：， 解得， ， 由①得， 由②得， ①当时，， ∴， ∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得或； ∴此情况下k的取值为， ②当时，， 此时，即或， 不等式组的解集为， ∴， 解得或， ∴此情况下k的取值为， ③当时，无解，不合题意， 综上所述：或． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，弄懂定义，分类讨论是解题的关键． 25. 综合与实践 【问题情境】 在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．和均为等腰直角三角形，，将和的直角顶点A与F重合，再将绕点A旋转． 【解决问题】 （1）“勤奋小组”将和按图①所示的方式摆放，连接，发现，请给予证明； （2）“智慧小组”先连接，然后将旋转至点B，D，E在同一直线上，如图②，则的度数为______； （3）“创新小组”同样先连接，在旋转过程中发现，当点D落在线段上时，如图③，可以得到，请你证明他们的发现； 【拓展探究】 （4）“攀登小组”将旋转至图④所示的位置，连接相交于点P，连接．求证： 平分． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，然后根据 即可证明； （2）同理可证得，求出 ，即可得； （3）同理可证得，由勾股定理得，然后根据即可证明结论成立； （4）作于点M，作于点N，同理可证得，根据全等三角形对应边上的高相等得，进而可证 平分． 【详解】（1）∵和均为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴即； （2）同理可证， ∴． ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：； （3）同理可证， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴； （4）作于点M，作于点N， 同理可证， ∴， ∴， ∴ 平分． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $