精品解析：四川省达州市达川区片区联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

达州中学八年级数学4月大练习 一．选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如果等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（ ） A. 12或16 B. 16 C. 20 D. 20或16 6. 在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）． A. 60° B. 75° C. 85° D. 90° 8. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为E，连接CE．下列结论，不正确的是（　　） A. AC＝AE B. ∠BAD＝∠CAE C. ∠B＝∠ACE D. BC⊥CE 9. 如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，中，，，的平分线交于点F，平分，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 12. 对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义可知的解集为___________． 13. 已知关于x的不等式组只有两个整数解，则a的取值范围____________. 14. 在等腰直角三角形中，，，是边上一点，且，是边上一点，将沿翻折，使点落在线段的点上，则_________． 15. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 _____． 三、解答题（共10小题，共90分，写出必要的步骤和文字说明） 16. 分解因式： （1）． （2）； 17. 不等式组：并用数轴表示不等式组的解集． 18. 如图，在中，． （1）用尺规在边上求作一点P，使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若平分，求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 20. 列方程组和不等式（组）解应用题： 某中学准备购进、两种教学用具共40件，种每件价格比种每件贵6元，同时购进3件种教学用具和2件种教学用具恰好用去113元． （1）求购买5件和8件两种教学用具共用了多少元？ （2）学校准备用不少于830元且不多于850元的金额购买、两种教学用具，问至少能购买多少件种教学用具？ 21. 如图，在中，，，是的角平分线，于点E． （1）求的度数； （2）若，求 22. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线的表达式和a的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 23. 【阅读材料】 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 【解决问题】 （1）分解因式利用公式法：； （2）求多项式的最大值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 24. 在平面直角坐标系中，，，已知，点C为x轴上方的一点． （1）如图1，已知点，上有一点． 则①与x轴的位置关系为 ；②求的长度； （2）如图2，、分别平分、，过H点作的平行线，分别交、于点F、G．若，，求四边形的周长； （3）当点C为x轴上方的一动点（不在y轴上）时，连接、．若邻补角的角平分线和的角平分线交于点P，过点P作的平行线，分别交直线、直线于点M、N．随着点C移动，图形状及点P、M、N的位置也跟着变化，但线段、和之间却总是存在着确定的数量关系，请直接写出这三条线段之间的数量关系 ． 25. 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． （1）请直接写出线段，，之间的关系． （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． （3）如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州中学八年级数学4月大练习 一．选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，轴对称图形是关于某条直线折叠后，两边重合的图形；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可得到答案．熟记轴对称图形、中心对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，逐一分析选项： A、选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； C、选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：若，则，故选项A正确； 若，则，故选项B正确； 若，则，故选项C 不正确； 若，则，故选项D正确． 故选C． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分解因式的定义．正确把握分解因式的定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：A．，是整式式的乘法运算，故此选项不符合题意； B．，符合因式分解的定义，故此选项符合题意； C．，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意； D．，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，由新定义的二阶行列式运算公式，代值求解即可得到答案，读懂题意，掌握不等式解法是解决问题的关键． 【详解】解：根据二阶行列式的运算法则， 计算行列式：， ， ， 解得， 故选：A． 5. 如果等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（ ） A. 12或16 B. 16 C. 20 D. 20或16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，涉及三角形三边关系等知识，根据题意，分两种情况，结合构成三角形的条件求解即可得到答案，熟记等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 当等腰三角形的边长分别为， ， 由构成三角形的三边关系可知，无法构成三角形， 即此情况不符合题意； 当等腰三角形的边长分别为， 改等腰三角形的周长为， 故选：C． 6. 在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可． 【详解】解：点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点， ，即， 点的横坐标和纵坐标相等， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 7. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）． A. 60° B. 75° C. 85° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°， 根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°． ∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°， ∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°， 即∠BAC的度数为85°． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 8. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为E，连接CE．下列结论，不正确的是（　　） A. AC＝AE B. ∠BAD＝∠CAE C. ∠B＝∠ACE D. BC⊥CE 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠B=∠ADB，∠ACE=∠AEC，由三角形内角和定理可求∠B=∠ACE，从而即可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE， ∴AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB，∠ACE＝∠AEC， ∵∠BAD+∠B+∠ADB＝∠BAD+2∠B＝180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC＝∠CAE+2∠ACE＝180°， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠ACE+∠BCA+∠BAC＝180°， ∵∠BAC不一定为90°， ∴∠BCA+∠ACE不一定为90°， ∴BC不一定垂直CE， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，题目不难，注意旋转的性质是关键． 9. 如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． 故选：B． 10. 如图，中，，，的平分线交于点F，平分，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角的余角相等即可证明①正确；由角平分线定义可得，然后利用三角形外角的性质求出，进而可得，②正确；求出时，，而不一定等于，故③错误；求出，，先证明，得到，再证明，得到，根据平行线的判定可得，④正确；由，，而不一定等于，可知不一定等于，⑤错误． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，①正确； ∵是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，②正确； 若，则， ∵， ∴，而不一定等于，则③错误； ∵是的平分线，， ∴，， 在与中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，④正确； ∵，，而不一定等于， ∴不一定等于，⑤错误； 综上，正确的结论有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，灵活运用相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 12. 对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义可知的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，先理解，再得出，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知关于x的不等式组只有两个整数解，则a的取值范围____________. 【答案】4<a≤7 【解析】 【详解】； 由①得x>-, 由②得x≤, ∴-<x≤， ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴， ∴ 14. 在等腰直角三角形中，，，是边上一点，且，是边上一点，将沿翻折，使点落在线段的点上，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】过F点作于M点，易得，根据折叠的性质有：，，，即有，，再证明，即在中，可得，，即有，，在中，，可得，在中，，可得，问题随之得解． 【详解】过F点作于M点，如图， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质有：，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质性质，含角的直角三角形的性质等知识，掌握折叠的性质，并求出，是解答本题的关键． 15. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N．证明△是等边三角形，得，所以，推出当A，P，G，H′共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值=AG的长，再运用勾股定理求出AG的长即可． 【详解】解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N，如图， ∵∠， 由勾股定理得： ∵将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG， ∴△ ∴，，∠ ∴△是等边三角形， ∴ ∴ ∴当点A，点P，点G，点H共线时，有最小值，最小值为， ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∵ ∴， 由勾股定理得， ∴ ∴ ∴最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用旋转变换添加辅助线，用转化的思想思考问题． 三、解答题（共10小题，共90分，写出必要的步骤和文字说明） 16. 分解因式： （1）． （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 不等式组：并用数轴表示不等式组的解集． 【答案】－2≤x＜3， 把不等式组的解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到 x<3 和 x≥−2 ，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后利用数轴表示其解集． 【详解】：解不等式2x－1＜x＋2，得x＜3． 解不等式，得x≥－2． ∴不等式组的解集是：－2≤x＜3． 略 【点睛】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到． 18. 如图，在中，． （1）用尺规在边上求作一点P，使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若平分，求的度数． 【答案】（1） 如图：直线是的垂直平分线， 则点P即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，等腰三角形的性质求角度，直角三角形的特征量，熟练掌握基本作图是解题的关键． (1)根据线段的垂直平分线作图画图即可； (2)根据等腰三角形的性质求角度，直角三角形的特征量，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 【答案】（1） 如图，即为所求作三角形； ， （2） 如图，即为所求作三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可；（3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为． 【点睛】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 20. 列方程组和不等式（组）解应用题： 某中学准备购进、两种教学用具共40件，种每件价格比种每件贵6元，同时购进3件种教学用具和2件种教学用具恰好用去113元． （1）求购买5件和8件两种教学用具共用了多少元？ （2）学校准备用不少于830元且不多于850元的金额购买、两种教学用具，问至少能购买多少件种教学用具？ 【答案】（1）277元 （2）12件 【解析】 【分析】（1）设A种教学用具的单价为x元，B种教学用具的单价为y元，根据“A种每件价格比B种每件贵6元，购进3件A种教学用具和2件B种教学用具恰好用去113元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（5x+8y）中即可求出结论； （2）设购买a件A种教学用具，则购买（40-a）件B种教学用具，利用总价=单价×数量，结合总价不少于830元且不多于850元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【小问1详解】 设种教学用具每件元，种教学用具每件元，得 ，解这个方程组得：． ∴（元） 答：购买5件和8件两种教学用具共用了277元． 【小问2详解】 设购买种教学用具件，则购买种教学用具件，得 ， 解这个不等式组得：， ∵是正整数， ∴可以取12，13，14，15，即最小值是12. 答：至少能购买12件种教学用具． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 21. 如图，在中，，，是的角平分线，于点E． （1）求的度数； （2）若，求 【答案】（1） （2）27 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； （1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用直角三角形的性质即可求解； （2）作于点F，如图，根据角平分线的性质可得，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：作于点F，如图， ∵是的角平分线，于点E， ∴， ∴． 22. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线的表达式和a的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时， x的取值范围为； 【小问2详解】 将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． 【小问3详解】 设， 把代入得，， ∴， ∴， ， 解得或． ∴或 23. 【阅读材料】 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 【解决问题】 （1）分解因式利用公式法：； （2）求多项式的最大值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）配方后原式，因为，则，即可得出多项式的最值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∵ ∴ ∴ 多项式的最大值是； 【小问3详解】 解：， 即， ， ， ，，， ∴的周长为． 24. 在平面直角坐标系中，，，已知，点C为x轴上方的一点． （1）如图1，已知点，上有一点． 则①与x轴的位置关系为 ；②求的长度； （2）如图2，、分别平分、，过H点作的平行线，分别交、于点F、G．若，，求四边形的周长； （3）当点C为x轴上方的一动点（不在y轴上）时，连接、．若邻补角的角平分线和的角平分线交于点P，过点P作的平行线，分别交直线、直线于点M、N．随着点C移动，图形状及点P、M、N的位置也跟着变化，但线段、和之间却总是存在着确定的数量关系，请直接写出这三条线段之间的数量关系 ． 【答案】（1）①平行；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①由两点的纵坐标相同，可得； ②由平行线的性质和角平分线的定义可得，即可求； （2）利用非负性可求，，可求得，由平行线的性质和角平分线的定义可得，，可证，，可求解； （3）分点C在第二象限和点C在第一象限，由平行线的性质和角平分线的定义可得，，可证，，由线段的和差关系可得结论． 【小问1详解】 解：①∵点，点， ∴，， 故答案为：平行； ②∵， ∴，， ∴点，， ∵， ； 【小问2详解】 ∵点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形的周长； 【小问3详解】 ①点C在第二象限时，， 理由如下，如图， 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， ； ②当点C在第一象限，同理可得； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，平行线的性质，掌握等角对等边是解题的关键． 25. 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． （1）请直接写出线段，，之间的关系． （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． （3）如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 【答案】（1） （2） 猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）40 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出即可求出答案． 【小问1详解】 解： 证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4， ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点D作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $