精品解析：上海市静安区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

高一数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、填空题（本大题共10小题，满分52分）第1小题至第8小题每个空格填对得5分，第9、第10小题每个空格填对得6分，应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分． 1. 若角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点， 得. 2. 在复数集上，方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程配方得出，由此得出该方程的虚根. 【详解】将方程配方变形得，即，解得. 因此，方程的根是. 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的求解，属于基础题，当根的判别式小于时，方程有一对共轭的虚数根. 3. 化简：______． 【答案】1 【解析】 【详解】 4. 某团体操队形由若干排组成，从第2排起，每一排都比前一排多相等数目的人数．若第3排有7个人，第8排有17个人，则第10排有______个人． 【答案】21 【解析】 【详解】由题意，每排人数构成公差为的等差数列， 根据等差数列性质： ， 已知 ， ，则 ，解得， 因为 ，所以 5. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】使用同角三角函数关系计算正切值，再使用二倍角公式求解. 【详解】因为，所以， 则，可得. 6. 设数列为等比数列，已知，，则的值为______． 【答案】32 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列首项及公比，再利用所有项和公式求解. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得， ，所以. 7. 已知，则的值为______． 【答案】 或 ， 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将合并为，化简得到，再根据正弦函数的通解写出的两种取值，移项计算得到的值． 【详解】由，得，即， 所以 或 ，， 解得 或 ，． 8. 已知向量，，设．则函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【详解】， 所以当时， 取得最小值，；当时， 取得最大值， ； 所以函数的值域为. 9. 已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 【答案】 【解析】 【详解】当 时，，因此， 则，则， 同时，当 时，， 因此， 所以， 而因为，所以， 即， 所以是首项，公差的等差数列， 因此， 当 时，满足条件， 因此数列的通项公式为. 10. 如图，在平行四边形中， ，，， 是对角线的交点，点 、满足．则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先选取合适的基底向量和，将题目中未知的向量和用基底向量表示出来，再运用向量数量积计算公式进行计算即可. 【详解】设，，由题意得 ， ，， 由平面向量数量积公式，则 . ∵四边形是平行四边形， 是对角线的交点， ∴，，. 由，则. 由，则， ∴， ∴. 二、选择题（本大题共4小题，满分24分）每小题6分．每题有且仅有一个正确答案，应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 11. 已知， ， ，则 的值为（ ）． A. 25 B. 7 C. 5 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以 . 所以 . 12. 在复平面上， 为坐标原点，设复数、所对应的点分别为 、 ，则的面积为 （ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数与复平面点的对应关系得到的坐标，写出向量，利用数量积公式求出夹角余弦，再由同角平方关系算出夹角正弦，最后代入三角形面积公式求出面积． 【详解】由题可得，，，则 ，， ，，， 所以， 因为，所以， 所以． 13. 对于以下四个命题： ① 如果是第一象限的角，那么也是第一象限的角； ② 如果，且，那么； ③ 设，如果，且，那么； ④ 设，已知数列 的前项和为，则数列 为等比数列的充要条件是 ． 其中真命题的个数是 （ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】①是第一象限的角，则 ，则 ， 当 为奇数时，是第三象限角，因此不一定是第一象限角, ①是假命题； ②由可得 ，这仅说明与垂直，不能推出， 例如： ， ， ， 满足 ，但，②是假命题； ③复数域满足非零元消去律，若 ，对等式两边同时乘以的逆元， 可直接得到，③是真命题； ④当 时， ； 当 时，，等比数列要求所有项满足通项， 故 时也需满足 ，即 ，解得； 反之，若，则 ，当 时，则， 当 时， 满足上式，所以， 所以数列为首项 3、公比 4 的等比数列，因此充要条件成立，④是真命题； 综上，真命题为③和④，共2个. 14. 某实验室一天的温度 (单位：)随时间(单位： )的变化近似满足函数关系，，其中时表示凌晨点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将原函数解析式化简，然后利用余弦函数性质求出函数的值域. 【详解】. 从上午10点到晚上8点期间，， . 余弦函数在 上的取值范围是 ， 因此 的取值范围. 因此温度变化范围为 . 三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 15. 已知数列的递推公式为 （1）求证：数列为等比数列； （2）求满足不等式的整数的最小值． 【答案】（1）证明：由 得 ． 由 ，显然 ， 故 ． 所以数列是以 为首项，以2为公比的等比数列． （2）12 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可. （2）根据（1）求出等比数列的通项公式，再根据对数的运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 ． 由题意有 ， ,因 ， 又,则 , 故满足不等式的整数的最小值为12． 16. 设复数，，其中． （1）若，且为纯虚数，求 的值； （2）若， ，且的实部与虚部相等，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的除法运算和纯虚数的概念即可求解； （2）由复数的乘法运算及同角三角函数商的关系即可求解. 【小问1详解】 由已知得为纯虚数， 因为， 所以， 故 【小问2详解】 由题意：， 由已知，得， 显然，得． 17. 如图所示，在某寄宿高中，标准篮球场的宽m，为学生宿舍楼的边沿，在篮球场与宿舍楼之间有一低矮建筑，使得人在篮球场上无法看到宿舍楼的底部 处． 某班数学老师给本班同学布置了以下课外作业：在篮球场上测量学生宿舍楼的高，要求只能在以下两件测量工具中选择一件完成作业． ① 测距仪：能够测量观测点与目标点间的直线距离； ② 测角仪：能够测量观测点到目标点的仰角． （1）甲利用测距仪测得 m， m，并据此计算出宿舍楼的高．请你写出甲的计算过程 (结果精确到0.1m)； （2）乙利用测角仪也完成了作业，请你写出乙的测量方案，并用假设的测量数据(字母表示)表示宿舍楼的高． 【答案】（1）25.5 m （2）在点测得楼顶 的仰角为，在点测得楼顶 的仰角为，则（m）． 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理求得 ，再转换得到 ，从而在 中可求得 . （2）在点测得楼顶 的仰角为，在点测得楼顶 的仰角为，中利用正弦定理求 ， 再利用 是直角三角形可求 . 【小问1详解】 在中，由余弦定理得 . 所以. 在 中， ， 所以 (m). 【小问2详解】 在点测得楼顶 的仰角为，在点测得楼顶 的仰角为． 在中，由正弦定理得， 即． 所以. 在 中，(m). 18. 设． （1）请写出函数，的奇偶性、单调性、最大（小）值、周期性；（不必证明） （2）请画出该函数在一个周期内的大致图像，写出函数图像的所有垂直于 轴对称轴方程，并说明理由． 【答案】（1）偶函数；在区间 上单调递减；在区间 上单调递增；最大值为3，最小值为1；最小正周期为 ， 证明：因为，且 ， 故为偶函数； 因为 ， ， 又在 单调递增，且 ， 所以 在 单调递增，且 ， 故在 上单调递减， 因为 ， ， 又在 单调递减，且 ， 所以 在 单调递减，且 ， 故在 上单调递增； 由单调性可知，当 时，取得最小值1， 当 时，取得最大值3； 由的最小正周期 ， 则， 故的最小正周期为 周期函数； （2）在一个周期内的大致图像如下： 对称轴为 ． 证明 方法1： ． 方法2： ． 所以，直线， 为其对称轴． 【解析】 【分析】（1）由奇偶性的定义，即可判断奇偶性，结合余弦函数的单调性和周期性可判断的单调性和周期性，进而确定最值； （2）法一：由确定对称性，法二：由确定对称性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. （1）在平面直角坐标系中，已知向量，． ① 若，求实数 的值； ② 若，求实数 的值． （2）现将平面直角坐标系中轴保持不动， 轴以坐标原点 为中心旋转一个角，使得 且 ，这样，由平面向量基本定理，该平面内的任意向量都可以由轴与 轴正方向上的单位向量与唯一地线性表示为，则我们称实数、 所组成的有序实数对为向量在该斜坐标系下的斜坐标，并表示为 ．在以上平面斜坐标系中，已知向量 ， ，． ① 若，求实数 的值； ② 若，求实数 的值． （3）请以（2）中的两个问题的条件为特例，写出两个更具一般性的结论．（不必证明） 【答案】（1）① ；② ； （2）① ；② ； （3）已知斜坐标系下 ， ，轴的正向夹角为. 则有① ；② . 【解析】 【分析】（1）利用平面直角坐标系下向量平行、垂直的坐标充要条件直接列方程求 ； （2）在斜坐标系下，根据向量的夹角为算出向量数量积，再根据①共线向量的充要条件、②垂直向量数量积为0分别列式求 ； （3）根据斜坐标系下两向量共线、垂直的坐标运算，写出满足题意的结论即可. 【详解】（1）① 当且仅当 ，解得 ． ② 当且仅当 ，解得 ． （2）① 由向量 ， 得，． 由 存在实数，使得，即 ， 因是不共线向量，则 解得 ． ② 由 ，即 ， （*）， 因 ，且， 由（*）得 ，解得 ． （3）已知斜坐标系下 ， ，轴的正向夹角为. 则有① ；② 证明过程如下： ①充分性：若，不妨设，令，则，， ，故； 必要性：若，存在实数使， 由平面向量基本定理，则，消去得. ②根据向量数量积的坐标运算，则， 由 ， ，代入得 ， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、填空题（本大题共10小题，满分52分）第1小题至第8小题每个空格填对得5分，第9、第10小题每个空格填对得6分，应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分． 1. 若角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______． 2. 在复数集上，方程的根是______． 3. 化简：______． 4. 某团体操队形由若干排组成，从第2排起，每一排都比前一排多相等数目的人数．若第3排有7个人，第8排有17个人，则第10排有______个人． 5. 已知，则的值为________． 6. 设数列为等比数列，已知，，则的值为______． 7. 已知，则的值为______． 8. 已知向量，，设．则函数的值域为________． 9. 已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 10. 如图，在平行四边形中， ，，， 是对角线的交点，点 、满足．则的值为________． 二、选择题（本大题共4小题，满分24分）每小题6分．每题有且仅有一个正确答案，应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 11. 已知， ， ，则 的值为（ ）． A. 25 B. 7 C. 5 D. 1 12. 在复平面上， 为坐标原点，设复数、所对应的点分别为 、，则的面积为 （ ）． A. B. C. D. 13. 对于以下四个命题： ① 如果是第一象限的角，那么也是第一象限的角； ② 如果，且，那么； ③ 设，如果，且，那么； ④ 设，已知数列 的前项和为，则数列 为等比数列的充要条件是 ． 其中真命题的个数是 （ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位： )的变化近似满足函数关系，，其中时表示凌晨点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 15. 已知数列的递推公式为 （1）求证：数列为等比数列； （2）求满足不等式的整数的最小值． 16. 设复数，，其中． （1）若，且为纯虚数，求 的值； （2）若， ，且的实部与虚部相等，求的值． 17. 如图所示，在某寄宿高中，标准篮球场的宽m，为学生宿舍楼的边沿，在篮球场与宿舍楼之间有一低矮建筑，使得人在篮球场上无法看到宿舍楼的底部处． 某班数学老师给本班同学布置了以下课外作业：在篮球场上测量学生宿舍楼的高，要求只能在以下两件测量工具中选择一件完成作业． ① 测距仪：能够测量观测点与目标点间的直线距离； ② 测角仪：能够测量观测点到目标点的仰角． （1）甲利用测距仪测得 m， m，并据此计算出宿舍楼的高．请你写出甲的计算过程 (结果精确到0.1m)； （2）乙利用测角仪也完成了作业，请你写出乙的测量方案，并用假设的测量数据(字母表示)表示宿舍楼的高． 18. 设． （1）请写出函数，的奇偶性、单调性、最大（小）值、周期性；（不必证明） （2）请画出该函数在一个周期内的大致图像，写出函数图像的所有垂直于 轴对称轴方程，并说明理由． 19. （1）在平面直角坐标系中，已知向量，． ① 若，求实数 的值； ② 若，求实数 的值． （2）现将平面直角坐标系中轴保持不动，轴以坐标原点 为中心旋转一个角，使得 且 ，这样，由平面向量基本定理，该平面内的任意向量都可以由轴与轴正方向上的单位向量与唯一地线性表示为，则我们称实数、所组成的有序实数对为向量在该斜坐标系下的斜坐标，并表示为 ．在以上平面斜坐标系中，已知向量 ， ，． ① 若，求实数 的值； ② 若，求实数 的值． （3）请以（2）中的两个问题的条件为特例，写出两个更具一般性的结论．（不必证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $