精品解析：上海市静安区2024-2025学年高一下学期期末教学质量调研数学试卷

静安区2024学年第二学期期末教学质量调研 高一数学试卷 2025.06 考生注意： 1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1～5题每题3分，6～10题每题4分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1. 扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度，则该扇形的弧长等于___________. 2. 已知复数z满足(其中i为虚数单位)，则=___________. 3. 设复数与(其中i为虚数单位)在复平面上所对应的向量分别为与（O为坐标原点），则与的数量积为___________. 4. 在第三十个世界读书日到来之际，为大力推广全民阅读，某书店开展图书促销活动，第一天卖出图书100本，此后每天比前一天多卖20本.若活动持续15天，则该书店在活动期间共卖出___________本图书． 5. 已知，，则___________. 6. 已知函数，则____________． 7. 若z是虚数，且，则___________. 8. 某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是___________万元.（结果保留整数） 9. 化简：=___________. 10. 已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】 11. 当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（  ） A. 2，0，2； B. 2，0，2； C. 1+，0，1+； D. 2，2，0，2，2. 12. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 13. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分53分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 14. 已知向量，． （1）若，，，求证：、、三点共线． （2）已知，若，且，求的值； 15. 已知函数是定义在R上的奇函数． （1）求实数a的值，并判断函数的单调性； （2）求函数的值域． 16. 在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． （1）证明为等腰三角形； （2）若，求周长的最小值． 17. 2021年年初正式发布本市将加快推进“五个新城”建设，某公司积极响应，将总部迁入其中一个新城．该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年春夏秋冬4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，由于投入成本的连续不断降低，每一季度的利润比上一季度增长4%．据此预测，解答以下问题： （1）求今年（2025年）冬季，该公司第20个季度营业收入多少亿元？ （2）该公司在哪年哪个季度的利润将首次超过该季度的营业收入的18%？ 18. 已知函数 （1）求函数的周期； （2）求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； （3）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静安区2024学年第二学期期末教学质量调研 高一数学试卷 2025.06 考生注意： 1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1～5题每题3分，6～10题每题4分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1. 扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度，则该扇形的弧长等于___________. 【答案】12 【解析】 【分析】弧长公式  是弧度制下的基本公式，直接使用给定的半径和弧度值代入计算即可. 【详解】因为扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度， 由扇形的弧长公式可得： 该扇形的弧长 故答案为：12 2. 已知复数z满足(其中i为虚数单位)，则=___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将复数化简为复数的代数形式，再计算模长即可. 【详解】由，可得， 所以. 故答案为：. 3. 设复数与(其中i为虚数单位)在复平面上所对应的向量分别为与（O为坐标原点），则与的数量积为___________. 【答案】39 【解析】 【分析】根据复数的向量表示，结合向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，，， 所以. 故答案为：. 4. 在第三十个世界读书日到来之际，为大力推广全民阅读，某书店开展图书促销活动，第一天卖出图书100本，此后每天比前一天多卖20本.若活动持续15天，则该书店在活动期间共卖出___________本图书． 【答案】3600 【解析】 【分析】根据题意，这15天卖出的书成等差数列，利用等差数列的求和公式求解. 【详解】由题，这15天卖出的书成等差数列，设，， 则15天共卖出的书有. 该书店在活动期间共卖出3600本图书. 故答案为：3600. 5. 已知，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦函数公式，得到展开式，联立方程组，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，可得， 两式相减，可得，所以. 故答案为：. 6. 已知函数，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 7. 若z是虚数，且，则___________. 【答案】或 【解析】 【分析】先设出复数，再利用复数的有关计算得出结果. 【详解】设且不等于零， 则， 故或（舍），所以，解得，故或， 故答案为：或 8. 某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是___________万元.（结果保留整数） 【答案】825 【解析】 【分析】计算每一年投入的研发资金，加起来即可 【详解】第一年投入研发资金50万元， 第二年投入研发资金万元， 第三年投入研发资金万元， 第四年投入研发资金万元 第五年投入研发资金万元 第六年投入研发资金万元 第七年投入研发资金万元 第八年投入研发资金万元 所以该企业连续8年投入研发的总资金是万元 故答案为：825 9. 化简：=___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式进行计算即可. 【详解】 故答案为：. 10. 已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据三角函数对称性，周期性得性质，和函数零点的定义，以及单调区间，分别判断各命题的正误. 【详解】已知，则， 所以①错误， ，所以②正确， 当时，， 当时，， 所以，在上有无数个零点，所以③错误， 当时，，若，则，在上不严格递增，不符合题意， 于是，，，因此，即，所以的最大值为，则④正确. 故答案为：②④. 二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】 11. 当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（  ） A. 2，0，2； B. 2，0，2； C. 1+，0，1+； D. 2，2，0，2，2. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的乘方的周期性，分类讨论求解即可. 【详解】由的乘方的周期性， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，（为虚数单位）的所有可能值为， 故选：A 12. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法法则和平面向量基本定理求解. 【详解】因为在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点， 所以， 所以 . 故选：B 13. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分53分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 14. 已知向量，． （1）若，，，求证：、、三点共线． （2）已知，若，且，求的值； 【答案】（1） 因为， =2， 所以2，， 有公共点D，从而、、三点共线． （2）=1． 【解析】 【分析】（1）转化为证明向量为共线向量，即可证明三点共线； （2）利用向量共线的坐标关系，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，因为，所以， 解得=1． 15. 已知函数是定义在R上的奇函数． （1）求实数a的值，并判断函数的单调性； （2）求函数的值域． 【答案】（1），函数为增函数 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为R上的奇函数可得，即可求出，再利用定义法即可判断函数的单调性； （2）先由得，从而可求得的范围，进而可得函数的值域. 【小问1详解】 由题可知，函数是定义在R上的奇函数， ∴，即， 经检验时，为奇函数，则， 令， 则， ∵为增函数，， ∴， ∴，即 ∴函数为增函数； 【小问2详解】 ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴函数的值域为． 16. 在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． （1）证明为等腰三角形； （2）若，求周长的最小值． 【答案】（1） 在中，由正弦定理，可得， 又由，可得， 整理得，所以， 可得， 即， 因为，可得，所以， 即，可得，所以为等腰三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得到，求得，得到，即可证得为等腰三角形； （2）设的周长为，由（1）知，由题意得到，且，化简得到，结合正切函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的周长为，由（1）知：， 因为为等腰三角形，为的中点，可得， 则，且， 所以， 因为，所以，由正切函数的性质，可得， 所以当时，即时，的周长取得最小值，最小值为. 17. 2021年年初正式发布本市将加快推进“五个新城”建设，某公司积极响应，将总部迁入其中一个新城．该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年春夏秋冬4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，由于投入成本的连续不断降低，每一季度的利润比上一季度增长4%．据此预测，解答以下问题： （1）求今年（2025年）冬季，该公司第20个季度营业收入多少亿元？ （2）该公司在哪年哪个季度的利润将首次超过该季度的营业收入的18%？ 【答案】（1）2.05亿元 （2）第7年第2个季度（即2026年夏季） 【解析】 【分析】（1）直接计算即可； （2）设第n个季度的营业收入为，第n个季度的利润为，，，计算即可求得结论. 【小问1详解】 这是求首项为1.1，公差为0.05的等差数列第20项的通项问题，直接计算得： 1.1+190.05=2.05（亿元）． 答：该公司今年冬季，第20个季度营业收入2.05亿元． 【小问2详解】 设第n个季度的营业收入为，第n个季度的利润为， 则，， ， 设第n个季度的利润将首次超过该季度的营业收入的18%，根据题意得不等式： ， 由于每季度的利润和该季度的营业收入都是增加的，用计算器的列表功能，可得 第21季度营业收入的18%为0.378亿元，利润为0.351元仍小于0.378. 第25季度营业收入的18%为0.414亿元，利润为0.41013元仍小于0.414. 第26季度营业收入的18%为0.423亿元，利润为0.42653元首次超过0.423. 答：该公司在第7年第2个季度（即2026年夏季）的利润将首次超过该季度的营业收入的18%． 18. 已知函数 （1）求函数的周期； （2）求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； （3）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）最小值为， （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式化简后求周期即可； （2）利用正弦型函数的最值的求法得解； （3）根据图象变换得到，再由正弦型函数的值域求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以函数的周期为. 【小问2详解】 函数， 当，即时，取得最小值， 取得最小值时的所有取值为 . 【小问3详解】 函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，将得到的图象向右平移个单位长度可， 因为，所以， 所以在上严格增， 所以， 所以， 故当时等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $