精品解析：福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025厦门市同安实验中学高一上学期期中考试2024.11.14 数学 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是偶函数，且在区间上为增函数的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列函数中与 是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知 是上的偶函数，当时， 是增函数，则 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 已知都是 上的奇函数，，且当时， ，则 （  ） A. 2 B. 4 C. －2 D. －4 8. 若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、多选题：（本大题3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的给6分，部分选对但不全的部分得分，有选错的得0分．） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数 ，以下结论正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 对任意的 ，，都有 C. 的值域是 D. 对任意的 都有 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 13. 函数 的最大值为_____________． 14. 若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则（1）______；（2）______． 三、解答题（本题共5小题，共77分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 化简求值（需要写出计算过程） （1）； （2）． 16. （1）已知集合，，求 、； （2）已知二次函数的最小值为1，且 ，求的解析式. 17. 已知函数是定义在上的奇函数， （1）用定义证明在上单调递增； （2）解关于的不等式 . 18. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 19. 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若 在上不是单调函数，求实数a的取值范围； （3）若，且 ，解不等式 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025厦门市同安实验中学高一上学期期中考试2024.11.14 数学 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据补集定义运算即可. 【详解】全集，， 则. 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】， ， 所以时成立，但时，不一定成立， 因此“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，解不等式得出定义域. 【详解】由题意可得，解得且，即函数的定义域为. 故选：D 4. 下列函数中，是偶函数，且在区间上为增函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对给出的四个选项分别进行分析、判断即可． 【详解】选项A中，函数y=|x|为偶函数，且在区间（0,1）上为增函数，故A正确． 选项B中，函数y=3﹣x为非奇非偶函数，且在区间（0,1）上为减函数，故B不正确． 选项C中，函数y=为奇函数，且在区间（0,1）上为增函数，故C不正确． 选项D中，函数y=﹣x2+4为偶函数，且在区间（0,1）上为减函数，故D不正确． 故选A． 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，解题的关键是熟记一些常见函数的性质，属于简单题． 5. 下列函数中与 是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出已知函数的定义域，然后根据判断两函数是同一函数的标准，即定义域相同，对应法则相同，对各个选项逐个化简判断即可求解． 【详解】函数 的定义域为 ， ，所以与已知函数的解析式不同，故A错误， 定义域为，与已知函数的定义域不同，故B错误， 定义域为，与已知函数的定义域不同，故C错误， ，且定义域为R，与已知函数是同一函数，故D正确， 故选：D． 6. 已知 是上的偶函数，当时， 是增函数，则 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用 是上的偶函数可知， ，再根据 在区间 上单调递增即可判断大小. 【详解】利用 是上的偶函数可知， ， 由于 ，又 在区间 上单调递增， 则 , 故 . 7. 已知都是 上的奇函数，，且当时， ，则 （  ） A. 2 B. 4 C. －2 D. －4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用 上奇函数满足求出参数 ，再结合的奇函数性质和时的解析式计算得到. 【详解】已知是定义在 上的奇函数，满足， 即 ，解得，经检验符合题意， 已知是 上的奇函数，因此满足，即， 当时， ，所以 ， 因此 ，即 . 8. 若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，先求的最小值，再依题意建立关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】由题意， ， 当且仅当，即时等号成立. 因对任意这样的，使不等式 恒成立. 则需使 ，解得 . 二、多选题：（本大题3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的给6分，部分选对但不全的部分得分，有选错的得0分．） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式性质及分式不等式求法逐项判断. 【详解】对于A：若，不等式两边同时乘以， 得，即，A错误； 对于B：若，则，即， 等价于，解得，B正确； 对于C：若，则，当时恒成立， 当时，得，C错误； 对于D：若，则，不等式两边同时乘以， 得，即，D正确. 10. 已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】依题意可得 、 两个数一个大于 ，一个大于 且小于 ，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可； 【详解】解：令，解得、，根据二次函数图形可知， 、 两个数一个大于 ，一个大于 且小于 ，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C； ②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A； 故选：AC 11. 已知函数 ，以下结论正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 对任意的 ，，都有 C. 的值域是 D. 对任意的 都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据奇偶性的定义进行判断即可；对于B，先判断时函数的单调性，再根据奇偶性判断 时的单调性即可；对于C，根据函数的单调性及奇偶性求值域即可判断；对于D，举出反例进行判断即可. 【详解】对于A， ，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，当时，， 由反比例函数性质可知，函数在上为增函数，且 ， 又为 上的奇函数，函数在上为增函数，在 上单调递增， 对任意的 ，，都有，故B正确； 对于C，当时，， 函数在上为增函数，在上的值域为； 当 时，， 函数在上为增函数，在上的值域为， 综上所述，的值域是，故C正确； 对于D，令，则，， ，即 ，故D不正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【详解】令，可得， 由且，则 ， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. 13. 函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案. 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 14. 若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则（1）______；（2）______． 【答案】 ①. 5 ②. 8 【解析】 【分析】（1）计算，即可得出结果； （2）计算，进而得出是以3为周期的循环数列，即可得出结果. 【详解】（1）由，得，即， 由，得，即； （2）由，得，即， 所以是以3为周期的循环数列， 又，所以. 故答案为：5；8. 三、解答题（本题共5小题，共77分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 化简求值（需要写出计算过程） （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算的性质，可得答案. （2）根据对数运算的性质，可得答案 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式． 16. （1）已知集合，，求 、； （2）已知二次函数的最小值为1，且 ，求的解析式. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集、并集、补集求解即可. （2）由题意可得的对称轴为，可设二次函数 ，代入求解即可. 【详解】（1），，所以. 因为，所以，所以. （2）因为为二次函数， ，所以的对称轴为， 设二次函数 ,， 因为 ，所以 ，解得， 所以 . 17. 已知函数是定义在上的奇函数， （1）用定义证明在上单调递增； （2）解关于的不等式 . 【答案】（1）对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. （2） 【解析】 【分析】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则 ，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 18. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 【答案】（1） （2）每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30 000元． 【解析】 【分析】（1）根据利润＝总收入－总成本分段代入求解即可. （2）结合二次函数及一次函数的最值求解即可. 【小问1详解】 因为月产量为台，则总成本为 ， 所以当 时， ， 当 时， ， 综上，. 【小问2详解】 当 时， . 所以当 时，取得最大值，最大值为30000； 当 时， 是减函数， 所以 . 综上，当时，的最大值为30000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30000元． 19. 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若 在上不是单调函数，求实数a的取值范围； （3）若，且 ，解不等式 . 【答案】（1） （2） （3）当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义可求解析式； （2）根据对称轴的位置可求参数的取值范围； （3）就 分类讨论后可求不等式的解. 【小问1详解】 由题意得，所以 或， 因为为偶函数，所以，所以. 【小问2详解】 由(1)可得 ， 在上不是单调函数，所以对称轴 ，即 ， 所以，实数a的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可得，而 即为 ，故 . 若，则即不等式解集为， 若，则即不等式解集为. 综上，当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $