精品解析：福建省南安国光中学、泉州市培元中学、泉州惠南中学、安溪铭选中学四校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025年秋季高一期中考试数学科 试题 （国光中学、培元中学、惠南中学、铭选中学） （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 第Ⅰ卷 (选择题，共计58分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.） 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的概念，找出集合和集合的公共元素即可. 【详解】当时，， 而，所以. 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在题词命题的否定写出结果即可. 【详解】命题：“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题：“，”的否定是：，. 故选：B 3. 若函数为幂函数，则函数在定义域内为（    ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 【答案】C 【解析】 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 4. 如果，那么下列式子中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 5. 已知，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 6. 若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 7. 已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再代入解不等式即可． 【详解】解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数满足时，有恒成立， 所以，即， 即，得最大值为8． 8. 已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，且判断函数的单调性；结合的定义域和的单调性求解的取值范围. 【详解】因为，所以由，可得， 即． 令，可得，则可知在上单调递减． 由得：， 因为的定义域为，所以，, 故，即. 由得，，因此，所以即， 该式对所有恒成立，因此，即， 又，得的取值范围为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分.） 9. 下列说法中正确为（ ） A. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B. 集合，集合，若，则的值为 C. 集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D. 集合，集合，则集合B中含有4个元素 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，因集合有且仅有2个子集，则集合中只有一个元素， 于是有或，即或，A不正确； 对于B，因为，则，即，所以，根据集合相等及互异性， 所以，解得或（舍），所以，B正确； 对于C，当时，；当时，或，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D， 故有6个元素 ， D不正确. 10. 已知函数满足，则（    ） A. B. 的值域为 C. 的定义域为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 11. 已知实数满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 第Ⅱ卷(填空题与解答题，共计92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 计算____________ 【答案】4 【解析】 【详解】． 13. 已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【解析】 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 14. 函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得. （2）先求得集合，根据列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 ∵时，， ， 全集，∴或, ∴． 【小问2详解】 ∵，∴， ∵，， ∵，∴， 解得或， 故实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）求关于的不等式的解集. （2）若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【小问1详解】 依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. 【小问2详解】 （1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 17. 近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． （1）求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）45万件；2600万元. 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式. （2）先求出时年利润的最大值，再求出时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利润最大. 【小问1详解】 当时，，解得. 由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为. 【小问2详解】 当时， 开口向下，所以当时，. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； （3）解不等式： . 【答案】（1） （2）在上单调递增. 证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数， ，则， 又，则. . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上是奇函数且单调递增， 由得 ， ，解得： ， 不等式的解集为. 19. 对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 （1）若函数，求A和B； （2）请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； （3）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2），证明如下： 法一：由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标， 若与有交点，则横纵坐标相等，则，所以. 法二：，则有，因此，所以， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点、稳定点定义，分别求解方程与，得到集合. （2）依据集合包含定义，任取代入复合函数推导出，证得. （3）先由得到的上限，再将因式分解，结合限制另一二次方程无额外根，分类讨论求出下限，合并区间得取值范围. 【小问1详解】 令，可得，故； 令，可得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，则： 令，即有实根， 当时，，则符合题设； 当时，，可得. 令，即有实根， 所以， 因为，则无实根，或有与相同的实根， 当无实根，有且， 可得且； 当与有公共实根时， 由可得，即， 所以，则， 代入得：，可得. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季高一期中考试数学科 试题 （国光中学、培元中学、惠南中学、铭选中学） （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 第Ⅰ卷 (选择题，共计58分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.） 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若函数为幂函数，则函数在定义域内为（    ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 4. 如果，那么下列式子中正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值是（    ） A. B. C. D. 6. 若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 7. 已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（  ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分.） 9. 下列说法中正确为（ ） A. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B. 集合，集合，若，则的值为 C. 集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D. 集合，集合，则集合B中含有4个元素 10. 已知函数满足，则（    ） A. B. 的值域为 C. 的定义域为 D. 11. 已知实数满足，则（    ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷(填空题与解答题，共计92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 计算____________ 13. 已知非空集合，且⫋，则___________ 14. 函数的值域为，则的取值范围是_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）求关于的不等式的解集. （2）若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 17. 近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． （1）求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； （3）解不等式： . 19. 对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 （1）若函数，求A和B； （2）请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； （3）若，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $