10.3.1 频率的稳定性 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦频率与概率的关系，通过复习事件独立性与互斥事件导入，结合“掷两枚硬币”探究活动，学生动手完成个人、小组及全班试验，辅以计算机模拟和历史实验数据，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以实验探究为核心，通过学生操作与数据分析培养数学眼光，对比频率与概率的区别联系发展数学思维，用婴儿性别比、游戏公平性等实例强化数学语言表达。帮助学生理解概率本质，提升应用意识，为教师提供结构化教学活动和实例支持。

学习目标 1.借助典型实例，清晰阐述研究频率与概率之间关联的意义与必要性； 2.结合随机试验操作过程，用自己的语言完整解释频率的随机性与稳定两大特点； 3.根据重复试验案例，提炼随机事件的发生规律，并据此建立概率理论模型； 4.举例说明利用试验频率检验概率模型的方法，梳理并理解频率与概率的内在关系。 温故知新 事件的相互独立性 定义 性质 独立与互斥的区别 P(AB)=P(A)P(B) A，B相互独立 互斥事件 相互独立事件 定义 概率公式 不可能同时发生的两个事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响 P(A+B)=P(A)+P(B) · 《普通高中教科书数学必修第二册（人教A版2019）》 第十章 概率 10.3 频率与概率 对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率．但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断．例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法． 《普通高中教科书数学必修第二册（人教A版2019）》 第十章 概率 10.3.1 频率的稳定性 10.3 频率与概率 知新：频率的稳定性 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小．在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率．那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？ 【探究】重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A = “一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较．你发现了什么规律？ 概率的计算： 把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0，则这个试验的样本空间 Ω={(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}，A={(1,0), (0,1)}，所以P(A)=0.5． · 知新：频率的稳定性 下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系． 第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率； 第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果； 第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，将结果填入表10.3-1中． 小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率 1 100 2 100 3 100 …… 合计 每组中4名同学的结果一样吗？为什么会出现这样的情况？ · 知新：频率的稳定性 【思考1】比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率． (1) 各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？ (2) 随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？ · 利用计算机模拟掷两枚硬币的试验：在重复试验次数为20, 100, 500时各做5组试验, 得到事件A=“一个正面朝上, 一个反面朝上”发生的频数n和频率fn(A)如下： 序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 用折线图表示频率的波动情况(如下图). n=20 n=100 n=500 ①试验次数n相同, 频率fn(A)可能不同 随机事件发生的频率有随机性 ②频率在概率0.5附近波动 试验次数较少时, 波动幅度较大 试验次数较大时, 波动幅度较小 德 . 摩根 蒲 丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼 抛掷次数(n) 2048 4040 12000 24000 30000 正面朝上次数(m) 1061 2048 6019 12012 14984 频率(m/n) 0.518 0.506 0.501 0.5005 0.4996 历史上曾有人作过抛掷一枚硬币的大量重复实验，结果如下表所示: 抛掷次数n 频率m/n 0.5 1 2048 4040 12000 24000 30000 72088 新知：频率的稳定性 雅各布第一 •伯努利(Jakob I Bernoulli，1654—1705)瑞士数学家，被公认为概率理论的先驱，他给出了著名的大数定律．大数定律阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近． 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数n的增大频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)。 我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). · 区别：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，具有随机性； 概率是一个定值，是某事件的固有属性，不随试验次数的变化而变化. 联系：频率是概率的试验值，一般会随试验次数的增加逐渐稳定于概率附近； 概率是频率的稳定值，在实际中当次数足够多时，可用频率估计概率. 小概率事件(概率接近于0)很少发生，但不代表一定不发生； 大概率事件(概率接近于1)经常发生，但不代表一定发生． 新知：频率的稳定性 · 巩固：频率的稳定性 例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51． 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)； 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ 由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537， 2015年男婴出生率约为0.532． 解： · 巩固：频率的稳定性 例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51． 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)； 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ (2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度．因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论． · 巩固：频率的稳定性 例2 一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜．判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等． 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次．据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的．你更支持谁的结论？为什么？ 解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7．根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小．相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近．而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的．因此，应该支持甲对游戏公平性的判断． · 巩固：频率的稳定性 【思考2】气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%．如果您明天要出门，最好携带雨具”如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确．那么如何理解“降水概率是90%”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？ 降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的．对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨． 只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确． · 课堂小结 频率的 稳定性 频率的稳定性 对概率的正确理解 频率与概率的区别 区别：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，具有随机性； 概率是一个定值，是某事件的固有属性，不随试验次数的变化而变化. 联系：频率是概率的试验值，一般会随试验次数的增加逐渐稳定于概率附近； 概率是频率的稳定值，在实际中当次数足够多时，可用频率估计概率. · 练习 P257 1．判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上； (2)抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4； (3)当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率； (4)在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5． 练习 P257 (1)不正确．抛掷两枚硬币，“一次正面朝上，一次反面朝上”的概率是0.5，不是必然事件． 概率与频率有本质的区别． (2)不正确．只能说频率是0.4，正面朝上的概率为 0.5．由于试验次数较少，频率与概率差别较大． (3)正确．试验次数较大时，频率稳定到概率． (4)不正确．随机事件发生的概率有大小之分．这种错误是 “等可能性偏见”． 练习 P257 抛掷两枚质地均匀的硬币，同时出现正面或同时出现反面的概率为0.5，出现一个正面、一个反面的概率也为0.5，这个游戏是公平的． 2．用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏公平吗？ 练习 P257 3．据统计ABO血型具有民族和地区差异．在我国H省调査了30488人，四种血型的人数如下: 血型 A B O AB 人数/人 7704 10765 8970 3049 频率 (1)计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）； (2)如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约 是多少? (2)他是O型血的概率大约是0.294 0.253 0.353 0.294 0.100 练习 P257 例如，飞机失事是一个小概率事件，买福利彩票双色球中一等奖是小概率事件，购买一台知名品牌笔记本电脑，该电脑是合格品是一个概率很大的事件． 4．分别举出一个生活中概率很小和很大的例子． THANKS $