10.3.1 频率的稳定性课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“频率的稳定性”与“随机模拟”核心知识点，从古典概型局限性切入，通过回顾频率概念，结合掷硬币、乒乓球检测等实验数据及折线图，展示频率随试验次数增加趋于稳定，搭建从具体试验到抽象概率估计的学习支架。 其亮点是以实验探究为核心，通过计算机模拟掷硬币、摸球等试验，结合数据表格与折线图，引导学生用数学眼光观察频率波动规律，用数学思维辨析频率与概率的区别联系，用数学语言表达数据结果。例题如乒乓球优等品频率估计、投篮模拟，帮助学生发展数据分析能力，教师可直接利用实验案例与评价题提升教学效率。

10.3.1 频率的稳定性 第十章 概率 学习目标 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性； 2.结合具体情境会用频率估计概率； 3.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系. 对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率，但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断，例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法. 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小，在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率，那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？ 问题引入 在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝  为事件A出现的频率. 显然，0≤  ≤1. 回顾：什么是频率? 思考：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较，我们研究一下有什么规律？ 思考：(1)同一组的试验结果一样吗?为什么会出现这种情况？ (2)随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？ 利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20, 100,500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)(如下表) 序号 n＝20频数 频率 n＝100频数 频率 n＝500频数 频率 1 12 0.60 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.500 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.60 52 0.52 253 0.506 用折线图表示频率的波动情况,你有什么发现? 结论: (1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性 (2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大. 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A) 估计概率P(A). 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记着P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。 新知讲解 1.频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同. 2.概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关. 3.频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越稳定于概率附近.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值. 频率与概率的区别和联系的剖析： 例题讲解 P225页 例题讲解 P227页 例题讲解 P227页 例题讲解 P225页 例题讲解 0.9 例题讲解 P226页 【思考】：通过做大量重复的试验来计算事件发生的频率,再由频率的稳定值估计概率,是十分费时费力的.有没有其他方法可以代替试验呢? 探究新知 下面我们利用计算机模拟试验来完成下列试验：抛掷一枚质地均匀的硬币的试验。我们让计算机产生取之于集合{0，1}的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上。这样不断产生0，1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验。 我们知道，利用计算器或者计算机软件可以产生随机数，实际上，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了. 探究新知 又如，一个袋中装有两个红球和三个白球，这些球除了颜色不同外没有其他差别。对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数，用1,2表示红球,3,4,5,表示白球。这样不断产生1-5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验。 下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果表示试验结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率。 n 10 20 50 100 150 200 250 300 nA 6 7 20 45 66 77 104 116 fn(A) 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39 探究新知 根据上表画出下列频率折线图， 从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4。 形成新知 1.随机模拟方法或蒙特卡罗方法： 对于古典概型,我们可以将随机试验中所有基本事件编号,利用计算器或计算机产生随机数,从而获得试验结果.这种用计算器或计算机模拟试验的方法,称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法. 2.随机数与伪随机数： (1)要产生1-n(n∈N*)之间的随机整数：利用抽签法①标号：把n个质地相同的小球分别标上1，2，3，…，n.②搅拌：放入一个袋中，把它们均匀搅拌.③摸取：从中摸出一个球.这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数. (2)计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性，具有类似于随机数的性质，但它们不是真正的随机数，称为伪随机数. 例题讲解 P228页 例题讲解 P229页 例题讲解 P229页 $