期末模拟试卷2025-2026学年江苏苏州市姑苏区七年级下册数学苏科版

**基本信息** 立足苏科版七年级下册+全等三角形，以文化（潍坊风筝）、生活（饮水机接水）等真实情境为载体，融合基础巩固与探究创新，体现数学抽象、几何直观及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|对称图形、整式运算、不等式性质|第1题结合一笔画考轴对称与中心对称，体现空间观念| |填空题|8/24|完全平方、格点三角形全等、代数式最值|第14题格点三角形构造全等，培养几何直观| |解答题|11/82|方程应用、全等证明、探究活动|第24题饮水机接水结合物理热传递，第25题角平分线构造全等微专题，发展推理能力与应用意识|

2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版七年级下册+全等三角形。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）。 1.一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图．下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】把一个图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意． 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：对于选项A，， A错误； 对于选项B，， B错误； 对于选项C，， C错误； 对于选项D，， D正确． 3.下列说法，不正确的是(    ) A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C  【解析】等式性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立；等式性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；不等式性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式性质：不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； 【详解】解：、若，两边同时减，得，正确； B、若，两边同时乘，得，正确； C、若，两边同时乘，不等号方向应改变，得，而非，错误； D、若，两边同时加，得，正确． 4.满足二元一次方程和的部分值分别如表、表所示，则方程组的解是(    ) 表 表 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据题意及表格，找出两个方程公共解即可． 【详解】解：由表格数据可知，二元一次方程和相同的一组解是， 则方程组的解是． 5.山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、则不一定能得到以下哪个结论(    ) A. ≌ B. ≌ C. D. 【答案】D  【解析】解：在和中，  ， ≌， 所以选项A正确，不符合题意；  ， ， ，， ，  在和中，  ， ≌， 所以选项B正确，不符合题意； C.，， ， 即， 所以选项C正确，不符合题意； D.与是不同位置的角度，无直接关系，故不一定相等， 所以选项D错误，符合题意， 故选：． 根据已知条件利用证明≌，可得，进而利用角的和差关系证得，再利用证明≌，利用全等三角形的性质逐一判断选项即可． 本题考查了全都三角形的判定，全都三角形的性质，关键是相关知识的熟练掌握． 6.如图，将张长为，宽为的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则与的数量关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， 与的差始终不变，即与的取值无关， 的系数必须为， ， ， 故选：． 7.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为不等式的解集为， 所以，且， 可化为：， 而， ． 故选：． 根据第一个不等式的解集，得出有关，，的代数式的值，从而求出答案． 本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解不等式是解题的关键． 8.如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】如图，连接． 因为四边形是边长为的正方形， 所以，， 所以． 因为点是的中点， 所以，． 因为， 所以，， 所以． 在和中， 所以， 所以． 因为， 所以． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.命题“两个锐角的和是钝角”是          命题填“真”或“假”． 【答案】假  【解析】根据真假命题的判定直接解答即可． 【详解】解：因为， 所以命题“两个锐角的和是钝角”是假命题． 故答案为：假． 10.计算：            ． 【答案】  【解析】解：原式  ，  故答案为：． 先化简各式，然后再进行计算，即可解答． 本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 11.已知二次三项式是一个完全平方式，则           ． 【答案】或  【解析】根据完全平方公式的表现形式可得，解得的值即可． 本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ， 即， 解得：或， 故答案为：或． 12.沿竖直方向向下平移，得到，若，，则阴影部分的面积为        ． 【答案】．  【解析】解：根据题意得到阴影部分的面积， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 根据题意得到阴影部分的面积，即可得到答案． 本题考查了平移的性质，熟练掌握该知识点是关键． 13.若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为          ． 【答案】  【解析】解方程，得，则，解得故答案为． 14.如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上像这样的三角形叫作格点三角形画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画          个． 【答案】  【解析】如图，以为公共边可画出、、和原三角形全等；以为公共边可画出、、和原三角形全等综上所述，共可画出个． 15.添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图，在中，，是高线，是外一点，，，若，，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连结如图根据小颖的提示求得的面积为          ． 【答案】  【解析】因为，，所以因为，所以在和中，因为所以，所以因为，所以，所以故答案为． 16.对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形边长为和和长方形，并拼成图由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为据此可得，代数式的最大值为          ． 【答案】  【解析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是， 的最大值为． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算： ； ． 【答案】(1)原式＝-6a4b2＋9a4b2＝3a4b2．  (2)原式＝a2＋4ab＋4b2-2a2＋2b2＝6b2＋4ab-a2．  【解析】 略  略 18.本小题分解下列方程组： 【答案】(1)解:  (2)  【解析】 略  略 19.本小题4分解不等式组并写出该不等式组的非正整数解． 【答案】解： 由得：； 由得：， 所以不等式组的解集是：， 则不等式组的非正整数解是：，．   【解析】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，在解集中找出非正整数即可． 20.本小题6分 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，是网格中的格点三角形各顶点均为网格线的交点． 将向右平移个单位长度，画出平移后的； 将中的绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 【答案】(1)如图，即为所要画的图形，   (2)如图，即为所要画的图形，   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 21.本小题分 按要求解答： 已知，求的值． 若，求的值． 【答案】(1)解： ， ；   (2)解： 解得．   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 22.本小题分 如图，在和中，，点，，，在同一直线上，有如下三个关系式：． 请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题用序号写出命题书写形式：“如果，那么” 选择中你写出的一个命题，并证明． 【答案】(1)解:如果,那么;如果,那么.  (2)选择如果,那么. 证明:AE//DF,A=D. AB=CD,AB+BC=CD+BC,即AC=DB. 在ACE和DBF中,ACEDBF(AAS). CE=BF. 选择如果,那么. 证明:AEDF,A=D. 在ACE和DBF中,ACEDBF(AAS). ​​​​​​​AC=DB. ​​​​​​​AC-BC=DB-BC,即AB=CD.   【解析】 略  略 23.本小题分 对于实数，定义一种新运算，规定： 其中，均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算，例如， ， 已知 ． 求，的值： 若关于的不等式恰好有个正整数解，求实数的取值范围． 在第题的条件下，已知，，为三个非负实数，且满足，若，求的最小值． 【答案】(1) ， ． 解得 ；   (2)， ， 解得 关于t的不等式恰好有4个正整数解 ， 解得   (3)， a，b，c为三个非负实数， 解得． ， ， 的最小值8．   【解析】 根据题意列出二元一次方程组求解即可；   根据题意列出不等式求出，然后根据恰好有个正整数解列出不等式求解即可；   首先解方程组得到，然后求出，表示出，然后求出，，进而求解即可． 24.本小题分 【背景】如图是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水？ 【实践素材】一个容积为的水杯． 【查阅资料】 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是包括与，这一温度最接近人体体温． 【实践操作】 先从饮水机接温水，再接开水，直至接满的水杯为止． 备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况． 【问题解决】 接到温水的体积是          ，接到开水的体积是          用含的代数式表示 若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ 若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值． 若要使接满水后，杯中温度达到最佳水温，求的取值范围． 【答案】(1)20x  ;(700-20x)  (2)根据题意，得20x≥2(700-20x)．解得．∴x的最小值为．  答：至少应接温水．  (3)根据题意，得(100-50)(700-20x)＝(50-30)20x．  解得x＝25．  答：x的值为25．  (4)设水杯接满水后杯中温度为y℃．  根据题意，得(100-y)(700-20x)＝(y-30)20x．∴y＝100-2x．∵饮水最佳温度是35℃～38℃（包括35℃与38℃），∴解得31≤x≤32.5．∴x的取值范围是31≤x≤32.5．  【解析】 略  略  略  略 25.本小题10分 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯下面是张老师围绕“利用角平分线的对称性构造全等三角形”这一主题开展的微专题探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务． 活动如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，连接，，则． 活动如图，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 请完成下列任务： 在活动、活动中，判定三角形全等的依据依次是          ，          填序号． 【迁移探究】如图，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)​​​​​​​; ​​​​​​​   (2)PD=PC. 理由:在AB上截取AH=AD,连接PH,如图. 因为DAB的平分线与ABC的平分线恰好交于CD边上的点P, 所以HAP=DAP,HBP=CBP. 因为AP=AP,所以APHAPD. 所以PH=PD. 因为AB=AD+BC=AH+BH=AD+BH,所以BH=BC. 因为BP=BP,所以BPHBPC. 所以PH=PC.所以PD=PC.   (3)PE=PF. 理由:在AB上截取AK=AF,连接PK,如图. ​​​​​​​ 因为C=,所以CAB+CBA=-C=. 因为AE,BF是ABC的两条角平分线,且交于点P, 所以KAP=FAP=CAB,KBP=EBP=CBA. 所以KAP+KBP=(CAB+CBA)==. 所以APB=-(KAP+KBP)=. 所以EPB=FPA=-APB=. 因为AP=AP,所以APKAPF. 所以PK=PF,KPA=FPA=. 所以KPB=APB-KPA=-=. 所以KPB=EPB.因为BP=BP,所以BPKBPE. 所以PK=PE.所以PE=PF.   【解析】 略  略  略 26.本小题10分 在学习“第章整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】用不同的方法计算图中阴影部分的面积，得到等式：________； 图是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据、中的结论，解决以下问题： 在直角中，，三边分别为、、，，，求的值； 如图，五边形中，，垂足为，，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】解：方法一：阴影部分的面积，方法二：阴影部分的面积 ； 解：由题意可得： ； 解：由可得： ； 解：，，周长为， ， 在中，   【解析】【分析】用两种不同方式计算阴影部分面积即可求解； 用三个直角三角形可得面积，直接利用梯形可得面积，由此可得等式，化简即可； 直接利用中等式，代入求解即可； 根据题意表示出，在中，由勾股定理可得，化简整理即可求出． 本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，长方形，正方形，三角形及梯形的面积，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，根据得出的结论做题． 27.本小题10分 把我们常用的一副三角板按照如图方式摆放：     如图，两块三角板的直角边，摆放在同一条直线上． 易知，理由是________； 求出的度数． 如图，如果把图所示的以点为旋转中心顺时针旋转得到，当为多少度时，平分． 如图，两块三角板的直角边，摆放在同一条直线上，另一条直角边，也在同一条直线上把以点为旋转中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边，请直接写出答案． 【答案】(1)解：①同旁内角互补，两直线平行  ②因为，，，所以.  (2)由旋转的性质，得.因为，平分，所以.所以，所以，所以.  (3)当旋转或时，两条斜边.  【解析】 略  略   提示：如图，当与相交于点时，因为，所以，所以，所以，所以易知在图位置情况下，再旋转后，，如图所示，此时旋转的角度为综上所述，当旋转或时，．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材苏科版七年级下册+全等三角形。 第一部分（选择题共30分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的)。 1.一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图.下 列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() ☆。 2.下列计算正确的是() A.a2,a5=a10 B.(ab)2 ab2 C.(a3)4=a7 D.x4÷x=x3 3.下列说法，不正确的是() A.如果m=n,那么m-1=n-1 B.如果m=n,那么6m=6n C.如果m<n,那么-2m<-2n D.如果m<n,那么m+1<n+1 4满足二元一次方程ax+by=0和cx+dy=4的部分xy值分别如表1、表2所示，则方程组Cx十y=0 cx+dy=4 的解是() 1 0 2 表1 0 -2 -4 1 0 2 表2 -6 -4 2 c.f=1 (x=2 y=-2 D.y=0 第1页，共9页 5.山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识在如图所示的风筝“龙骨”图案中， AB=AD、∠B=∠D、BC=DE.则不一定能得到以下哪个结论() A.△ABC≌△ADE B.△ABF≌△ADG C.FC=GE D.∠AGD=∠GAF 6.如图，将6张长为α，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都 是长方形，记右上角长方形的面积为S1,左下角长方形的面积为S2,当AB的长变化时，2S1与S2的差始终 不变，则a与b的数量关系为() b D a S S BL a A.a=2b B.a=3b C.2a=3b D.3a=2b 7.关于x的不等式ax+b>c的解集为x<3,则关于x的不等式a(x-20)+b>c的解集为() A.x<23 B.x>23 C.x<25 D.x<21 8.如图，点E为正方形ABCD的对角线AC的中点，在Rt△FEG中，两直角边EF,EG分别交BC,DC 于点M,N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为() G B M B.ia C.ga D.a 第2页，共9页 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.命题“两个锐角的和是钝角”是命题（填“真”或“假”）· 10.计算：(3-)°+()1=一· 11.已知二次三项式x2-2(m-1)x+4是一个完全平方式，则m=一 12.△ABC沿竖直方向向下平移2cm,得到△DEF,若AB=10cm,GH=5cm,则阴影部分的面积为一· G H E 13.若关于x的方程-2x+5k=3的解是非负数，则k的取值范围为一 14.如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上（像△ABC这样的三角形叫作格点三 角形).画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画个. B 15.添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图(1)，在Rt△ABC中，LABC=90°，BD是高线，E 是△ABC外-点，BE=BA,∠E=∠C,若DE=号BD,AD=16,BD=20,求△BDE的面积.小颖思考 后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF=DE,连结AF(如图(2))根据小颖的提示求得△BDE的面 积为一 图(1)】 图(2) 16.对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明： 如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形A(边长为2和x)和长方形B,并拼成图2.由面积相等得：x(4一 x)=22-(2-x)2,所以，当x=2时，长方形面积取得最大值为4.据此可得，代数式(4+x)(5-2x)的 第3页，共9页 最大值为一· 2 A A B 图1 图2 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题6分)计算： (1)3a3b(-2ab)+(-3a2b)2: (2)(a+2b)2-2(a-b)(a+b). 18.(本小题6分)解下列方程组： 4x-3y=6, (①)3x-y=7: 2 3 19.本小思4分)解不等式强>号 2(x+1)≥3x+1 并写出该不等式组的非正整数解. 第4页，共9页 20.(本小题6分) 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，·ABC是网格中的格点三角 形（各顶点均为网格线的交点）， (1)将△ABC向右平移6个单位长度，画出平移后的△A1B1C1: (2)将(1)中的△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1· 21.(本小题6分) 按要求解答： (1)已知2a-3b-4=0,求92÷27的值. (2)若3×92x×27x+1=339,求x的值. 22.(本小题8分) 如图，在△AEC和△DFB中，∠E=LF,点A,B,C,D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE/ DF;②AB=CD;③CE=BF. C (①)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式： “如果⑧⑧，那么8”)： (2)选择(1)中你写出的一个命题，并证明. 第5页，共9页 23.(本小题8分) 对于实数x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=mx+y(其中m,n均为非零常数)，这里等式右边是 通常的四则运算，例如，T(-1,1)=m×(-1)+n×1=-m+n,T(1,2)=m×1+n×2=m+2n.己 知T(2,1)=5,T(-3,-1)=-7. (1)求m,n的值： (2)若关于t的不等式T(t,2-t)-T(t-2,t)≥P恰好有4个正整数解，求实数P的取值范围 同在第C②题的条件下，已知a,b,e为三个负实数，且满足8t3.310若w-3a+2b-2c, 求w一P的最小值. 24.(本小题8分) 【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图. 开水 开水 温水 温水 水流 ◎ ◎ 水流 速度 速度 15 ml/s 100℃ 30℃ 20 ml/s 图1 图2 【主题】如何接到最佳温度的温水？ 【实践素材】一个容积为700ml的水杯. 【查阅资料】 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即：开水体积×开水降 低的温度=温水体积×温水升高的温度， 生活经验：饮水最佳温度是35℃~38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温， 【实践操作】 先从饮水机接温水xs,再接开水，直至接满700ml的水杯为止. (备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况.) 【问题解决】 第6页，共9页 (1)接到温水的体积是ml,接到开水的体积是ml.(用含x的代数式表示) (2)若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ (3)若水杯接满水后，水杯中温度是50℃，求x的值. (4)若要使接满水后，杯中温度达到最佳水温，求x的取值范围. 25.(本小题10分) 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学 的思维习惯.下面是张老师围绕“利用角平分线的对称性构造全等三角形”这一主题开展的微专题探究活动， 请仔细阅读，并完成相应任务 图1 图2 图3 图4 活动1：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线，连接PD,PE,则△APD≌△APE. 活动2：如图2，在△ABC中，AB<AC,AP是△ABC的角平分线，在AC上截取AQ=AB,连接PQ,则 △ABP≌△AQP. 请完成下列任务： (1)在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是一， (填序号) ①SAS ②AAS ③ASA ④SSS (2)【迁移探究】如图3，在四边形ABCD中，AB=AD+BC,∠DAB的平分线与LABC的平分线恰好交于 CD边上的点P,试判断PD与PC的数量关系，并说明理由. (3)【拓展探究】如图4，在△ABC中，LC=60°，AE,BF是△ABC的两条角平分线，且AE,BF交于点 P.试猜想PE与PF之间的数量关系，并说明理由. 第7页，共9页 26.(本小题10分) 在学习“第9章整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及 乘法公式，并通过推演证实了法则和公式借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又 可以帮助我们更好的探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法.请你根 据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】(1)用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式： (2)图2是由两个边长分别为α、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同 的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由： 【迁移应用】根据(1)、(2)中的结论，解决以下问题： (3)在直角ABC中，∠C=90°，三边分别为a、b、c,a+b=14,ab=48,求c的值； (4如图3，五边形ABCDE中，AC1BD,垂足为N,AC=BD=2,CN=a,BN=b,△BCN周长为2， 四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积. a b 2 a b b a b a b B 图1 图2 图3 第8页，共9页 27.(本小题10分) 把我们常用的一副三角板按照如图方式摆放： A 图1 图2 C B D 图3 (1)如图1，两块三角板的直角边OA,OD摆放在同一条直线上. ①易知AB//CD,理由是 ②求出∠BOC的度数. (2)如图2，如果把图1所示的△OAB以点0为旋转中心顺时针旋转得到△0A'B',当上A0A'为多少度时，OB 平分LC0D. (3)如图3，两块三角板的直角边0A,0D摆放在同一条直线上，另一条直角边OB,OC也在同一条直线 上.把△OAB以点O为旋转中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边AB//CD,请直接写出答案 第9页，共9页 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版七年级下册+全等三角形。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）。 1.一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图．下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列说法，不正确的是(    ) A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 4.满足二元一次方程和的部分值分别如表、表所示，则方程组的解是(    ) 表 表 A. B. C. D. 5.山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、则不一定能得到以下哪个结论(    ) A. ≌ B. ≌ C. D. 6.如图，将张长为，宽为的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则与的数量关系为(    ) A. B. C. D. 7.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 8.如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.命题“两个锐角的和是钝角”是          命题填“真”或“假”． 10.计算：            ． 11.已知二次三项式是一个完全平方式，则           ． 12.沿竖直方向向下平移，得到，若，，则阴影部分的面积为        ． 13.若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为          ． 14.如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上像这样的三角形叫作格点三角形画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画          个． 15.添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图，在中，，是高线，是外一点，，，若，，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连结如图根据小颖的提示求得的面积为          ． 16.对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形边长为和和长方形，并拼成图由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为据此可得，代数式的最大值为          ． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算： ； ． 18.本小题分解下列方程组： 19. 本小题4分解不等式组并写出该不等式组的非正整数解． 20.本小题6分 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，是网格中的格点三角形各顶点均为网格线的交点． 将向右平移个单位长度，画出平移后的； 将中的绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 21.本小题6分 按要求解答： 已知，求的值． 若，求的值. 22.本小题分 如图，在和中，，点，，，在同一直线上，有如下三个关系式：． 请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题用序号写出命题书写形式：“如果，那么” 选择中你写出的一个命题，并证明． 23.本小题分 对于实数，定义一种新运算，规定： 其中，均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算，例如， ， 已知 ． 求，的值： 若关于的不等式恰好有个正整数解，求实数的取值范围． 在第题的条件下，已知，，为三个非负实数，且满足，若，求的最小值． 24.本小题分 【背景】如图是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水？ 【实践素材】一个容积为的水杯． 【查阅资料】 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是包括与，这一温度最接近人体体温． 【实践操作】 先从饮水机接温水，再接开水，直至接满的水杯为止． 备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况． 【问题解决】 接到温水的体积是          ，接到开水的体积是          用含的代数式表示 若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ 若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值． 若要使接满水后，杯中温度达到最佳水温，求的取值范围． 25.本小题10分 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯下面是张老师围绕“利用角平分线的对称性构造全等三角形”这一主题开展的微专题探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务． 活动如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，连接，，则． 活动如图，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 请完成下列任务： 在活动、活动中，判定三角形全等的依据依次是          ，          填序号． 【迁移探究】如图，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 26.本小题10分 在学习“第章整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】用不同的方法计算图中阴影部分的面积，得到等式：________； 图是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据、中的结论，解决以下问题： 在直角中，，三边分别为、、，，，求的值； 如图，五边形中，，垂足为，，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 27.本小题10分 把我们常用的一副三角板按照如图方式摆放：     如图，两块三角板的直角边，摆放在同一条直线上． 易知，理由是________； 求出的度数． 如图，如果把图所示的以点为旋转中心顺时针旋转得到，当为多少度时，平分． 如图，两块三角板的直角边，摆放在同一条直线上，另一条直角边，也在同一条直线上把以点为旋转中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边，请直接写出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9. 假  10.   11. 或  12. ．  13.   14.   15.   16.   17. 【小题】 原式． 【小题】 原式．   18. 【小题】 解： 【小题】   19. 解： 由得：； 由得：， 所以不等式组的解集是：， 则不等式组的非正整数解是：，．   20. 【小题】 如图，即为所要画的图形， 【小题】 如图，即为所要画的图形，   21. 【小题】 解： ， ； 【小题】 解： 解得．   22. 【小题】 解：如果，那么如果，那么． 【小题】 选择如果，那么． 证明：，D. ，，即． 在和中，． ． 选择如果，那么． 证明：，D. 在和中，． ． ，即．   23. 【小题】  ， ． 解得 ； 【小题】 ， ， 解得 关于的不等式恰好有个正整数解 ， 解得 【小题】 ，，为三个非负实数， 解得． ， ， 的最小值．   24. 【小题】   【小题】 根据题意，得解得的最小值为  答：至少应接温水． 【小题】 根据题意，得  解得  答：的值为． 【小题】 设水杯接满水后杯中温度为  根据题意，得饮水最佳温度是包括与，解得的取值范围是．   25. 【小题】 【小题】 ． 理由：在上截取，连接，如图． 因为的平分线与的平分线恰好交于边上的点， 所以，． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 因为，所以． 所以所以． 【小题】 ． 理由：在上截取，连接，如图． 因为，所以． 因为，是的两条角平分线，且交于点， 所以，． 所以． 所以． 所以． 因为，所以． 所以，． 所以． 所以因为，所以． 所以所以．   26. 解：方法一：阴影部分的面积，方法二：阴影部分的面积 ； 解：由题意可得： ； 解：由可得： ； 解：，，周长为， ， 在中，   27. 【小题】 解：同旁内角互补，两直线平行  因为，，，所以． 【小题】 由旋转的性质，得因为，平分，所以所以，所以，所以． 【小题】 当旋转或时，两条斜边．   【解析】 1. 把一个图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 解：对于选项A，， A错误； 对于选项B，， B错误； 对于选项C，， C错误； 对于选项D，， D正确． 3. 等式性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立；等式性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；不等式性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式性质：不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； 【详解】解：、若，两边同时减，得，正确； B、若，两边同时乘，得，正确； C、若，两边同时乘，不等号方向应改变，得，而非，错误； D、若，两边同时加，得，正确． 4. 根据题意及表格，找出两个方程公共解即可． 【详解】解：由表格数据可知，二元一次方程和相同的一组解是， 则方程组的解是． 5. 解：在和中，  ， ≌， 所以选项A正确，不符合题意；  ， ， ，， ，  在和中，  ， ≌， 所以选项B正确，不符合题意； C.，， ， 即， 所以选项C正确，不符合题意； D.与是不同位置的角度，无直接关系，故不一定相等， 所以选项D错误，符合题意， 故选：． 根据已知条件利用证明≌，可得，进而利用角的和差关系证得，再利用证明≌，利用全等三角形的性质逐一判断选项即可． 本题考查了全都三角形的判定，全都三角形的性质，关键是相关知识的熟练掌握． 6. 本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， 与的差始终不变，即与的取值无关， 的系数必须为， ， ， 故选：． 7. 解：因为不等式的解集为， 所以，且， 可化为：， 而， ． 故选：． 根据第一个不等式的解集，得出有关，，的代数式的值，从而求出答案． 本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解不等式是解题的关键． 8. 如图，连接． 因为四边形是边长为的正方形， 所以，， 所以． 因为点是的中点， 所以，． 因为， 所以，， 所以． 在和中， 所以， 所以． 因为， 所以． 9. 根据真假命题的判定直接解答即可． 【详解】解：因为， 所以命题“两个锐角的和是钝角”是假命题． 故答案为：假． 10. 解：原式  ，  故答案为：． 先化简各式，然后再进行计算，即可解答． 本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 11. 根据完全平方公式的表现形式可得，解得的值即可． 本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ， 即， 解得：或， 故答案为：或． 12. 解：根据题意得到阴影部分的面积， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 根据题意得到阴影部分的面积，即可得到答案． 本题考查了平移的性质，熟练掌握该知识点是关键． 13. 解方程，得，则，解得故答案为． 14. 如图，以为公共边可画出、、和原三角形全等；以为公共边可画出、、和原三角形全等综上所述，共可画出个． 15. 因为，，所以因为，所以在和中，因为所以，所以因为，所以，所以故答案为． 16. 本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是， 的最大值为． 17.  略  略 18.  略  略 19. 此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，在解集中找出非正整数即可． 20.  详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 21.  详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 22.  略  略 23.  根据题意列出二元一次方程组求解即可；   根据题意列出不等式求出，然后根据恰好有个正整数解列出不等式求解即可；   首先解方程组得到，然后求出，表示出，然后求出，，进而求解即可． 24.  略  略  略  略 25.  略  略  略 26. 【分析】用两种不同方式计算阴影部分面积即可求解； 用三个直角三角形可得面积，直接利用梯形可得面积，由此可得等式，化简即可； 直接利用中等式，代入求解即可； 根据题意表示出，在中，由勾股定理可得，化简整理即可求出． 本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，长方形，正方形，三角形及梯形的面积，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，根据得出的结论做题． 27.  略  略   提示：如图，当与相交于点时，因为，所以，所以，所以，所以易知在图位置情况下，再旋转后，，如图所示，此时旋转的角度为综上所述，当旋转或时，．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $