第31天 椭圆、双曲线的第二、三定义与圆锥曲线的四弦问题 每日专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦椭圆双曲线定义与圆锥曲线四弦问题，通过分层题型构建"定义应用-弦长计算-轨迹推导"的逻辑训练链，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义应用|3题|轨迹方程/焦点距离|第二定义→离心率关系→距离转化| |弦长问题|5题|中点弦/斜率乘积|韦达定理→点差法→参数方程| |综合应用|6题|面积/存在性证明|定义+几何性质→代数运算→逻辑推理|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第31天 椭圆、双曲线的第二、三定义与圆锥曲线的四弦问题 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.(2025·大庆二模)设A,B两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-,则点M的轨迹方程为(　　) A.+=1(x≠±2) B.-=1(x≠±2) C.+=1(x≠±2) D.-=1(x≠±2) 2.(2025·威海统考)设直线l:x=-4,点F1(-2,0),F2(2,0),已知点P到l的距离与它到F1的距离之比为,则(　　) A.||PF1|-|PF2||=16 B.||PF1|-|PF2||=8 C.|PF1|+|PF2|=16 D.|PF1|+|PF2|=4 3.(2025·湖北七市联调)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,斜率为k的直线l与C交于两个不同的点A,B,且F为线段AB的一个三等分点,则k2=(　　) A.4 B.8 C.12 D.16 4.(2025·云南一模)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 5.设直线y=kx与双曲线C:-=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,P为C上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若C的离心率为,则k1·k2等于(　　) A.3 B.1 C.2 D. 6.(2025·四省联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若|AF|=3|BF|,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 7.(2025·兰州模拟)已知双曲线C的焦点为F1(-,0),F2(,0),过点F2的直线与双曲线C交于A,B两点.若|BF2|=2|F2A|,|AB|=|AF1|,则双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 二、多选题(每小题6分,共12分) 8.(2025·新高考Ⅰ卷)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　　) A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 9.(2025·湖北八市联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为B,A,O为坐标原点,M为线段AO上一点,直线F1M垂直平分线段AF2且交椭圆C于P,Q两点,则下列说法中正确的有(　　) A.椭圆C的离心率为 B.△APQ的周长为4a C.以点M为圆心,|MB|为半径的圆与椭圆C恰有三个公共点 D.若直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,则k1=2k2 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.(2025·石家庄一模)已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为-2的直线与双曲线交于A,B两点,其中点A在x轴上方,设△AF1F2与△BF1F2的面积分别为S1,S2,则=　　　　.  11.(2025·南京、盐城一模)已知椭圆C:+y2=1的上顶点为A,直线l:y=kx+m交C于M,N两点.若△AMN的重心为,则实数k的值是　　　　.  12.(2025·合肥一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.过F的直线交C于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为M,N,若=,则△MNF的面积是△NBF面积的　　　　倍.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.(2025·苏锡常镇调研)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点A到其渐近线的距离为.点B(2,1)在C的渐近线上,过B的直线l与C交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点. (1)求C的方程; (2)若△APQ的面积为,求l的方程; (3)证明:线段MN的中点为定点. 14.已知M是一个动点,MM1与直线y=x垂直,垂足M1位于第一象限,MM2与直线y=-x垂直,垂足M2位于第四象限,且·=. (1)求动点M的轨迹方程E; (2)设A1(-2,0),A2(2,0),过点(3,0)的直线l与曲线E交于A,B两点(点A在x轴上方),P为直线A1A,A2B的交点,当点P的纵坐标为时,求直线l的方程. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第31天 椭圆、双曲线的第二、三定义与圆锥曲线的四弦问题 1.答案　C 解析　设M(x,y),则由已知得kAM·kBM=-,故·=-(x≠±2), 化简得+=1(x≠±2),故选C. 2.答案　D 解析　设点P(x,y),则点P到l的距离 d=|x+4|,|PF1|=, 由==得,+=1,故点P的轨迹是以原点为中心,焦点在x轴上的椭圆,其中a=2, 根据椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=4.故选D. 3.答案　B 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0), 由题设知=, 所以(1-x1,-y1)=(x2-x1,y2-y1), 则 令y1=t,y2=-2t, 所以x1=,x2=t2, 则=1⇒t2=2, 由k===-, 所以k2=8.故选B. 4.答案　D 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 两式相减,得直线AB的斜率为k=,设直线方程为y=(x-3),联立直线与椭圆的方程并化简得(a2+b2)x2-6b2x+9b2-a4=0,所以x1+x2==2,又因为a2-b2=9,解得b2=9,a2=18. 故椭圆E的方程为+=1. 5.答案　B 解析　法一　设P(x0,y0),A(x1,kx1), B(-x1,-kx1), 则k1·k2=, 又-=1, -=1, 两式相减得,=, 故k1·k2===e2-1=1. 法二　由题意可知点A,B关于原点对称,根据双曲线的第三定义可知k1·k2=e2-1, 又由e=,则k1·k2=1. 6.答案　B 解析　设F(-c,0),c>0,则l的方程为 x=y-c, 由 得(a2+3b2)y2-2b2cy-b4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=,y1y2=. ① 因为|AF|=3|BF|,所以y1=-3y2. ② 由①②可得=1, 再结合b2=a2-c2,e=, 得=1,解得e=. 7.答案　A 解析　设双曲线的方程为-=1,因为双曲线C的焦点为F1(-,0),F2(,0),所以c=. (1)当过点F2的直线与双曲线C右支交于A,B两点时如图1所示. 由|BF2|=2|F2A|,|AB|=|AF1|, 设|BF2|=2|F2A|=2t, 则|AB|=|AF1|=3t,由双曲线的定义知 |AF1|-|AF2|=3t-t=2t=2a, 所以t=a,|BF1|=4a, 在△BAF1中,|AB|=|AF1|=3a, |BF1|=4a, cos∠F1AB==, 在△F2AF1中,=+-2|F1A|·|F2A|cos∠F1AF2, 即28=9a2+a2-2×3a2×, 解得a2=3,b2=c2-a2=4, 所以双曲线的渐近线方程为:y=±x. (2)当过点F2的直线与双曲线C两支交于A,B两点如图2所示. 由|BF2|=2|F2A|,|AB|=|AF1|,得|AB|=|AF1|=|AF2|, 与双曲线定义不符,故此种情况不成立. 综上,双曲线的渐近线方程为y=±x,故选A. 8.答案　ACD 解析　直线l为抛物线的准线,由抛物线的定义,可知|AD|=|AF|,A正确; 由通径最短,可得|AB|≥2p=6,所以C正确; 法一　易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+,A(x1,y1)B(x2,y2), 由得y2-6my-9=0, 则y1+y2=6m,y1y2=-9,x1+x2=m(y1+y2)+3=6m2+3,|AB|=x1+x2+3=6m2+6, 当m=0时,E,|AB|=2p=6, |AE|==3, 此时|AE|≠|AB|,所以B不正确; 此时|AE|=|BE|=3,|AE|·|BE|=18. 当m≠0时,直线EF的方程为x=-y+, E,|EF|=, S△AEB=|AE|·|BE|sin∠AEB =|AB|·|EF|=(6+6m2)· =9(1+m2>9, 所以|AE|·|BE|>>18. 综上,|AE|·|BE|≥18,D正确.故选ACD. 法二　如图,设∠AFx=θ, 则|AE|==, |AB|=|AF|+|BF|=+=,B错误; |AE|·|BE| = =≥18,D正确.故选ACD.] 9.答案　ABD 解析　由题知:|AF1|=|F1F2|, 即a=2c⇒e=,故A正确; 由题知:|AP|=|F2P|,|AQ|=|F2Q|, 故△APQ与△F2PQ的周长相等 又|QF1|+|QF2|=2a,|PF1|+|PF2|=2a, 故△F2PQ的周长为4a,即△APQ的周长为4a,故B正确; ∵e=,∴a=2c,b=c, 由|MF2|=|MA|可得 |OM|2+|OF2|2=(|OA|-|OM|)2⇒|OM|2+c2=(b-|OM|)2, 故|OM|=,则M, 设V(x,y)为椭圆上的任意一点,则 |MV|2=+y2 =+a2 =-(x+b)2+(x∈[-b,b]) 当x=-b时,|MV=, 即|MV|max=, 故|MV|≤|MB|=, ∴以点M为圆心,|MB|为半径的圆与椭圆C恰有一个公共点,故C错; 设直线AQ的斜率为k3,易知: k2k3====-; ∵直线AP的方程为:y=k1(x-b),直线AQ的方程为:y=k3(x-b), ∴点P,Q的坐标满足方程: [y-k1(x-b)]·[y-k3(x-b)]=0, 即y2+k1k3(x-b)2-(k1+k3)(x-b)y=0, 又点P,Q在椭圆上, ∴点P,Q的坐标满足+=1⇒y2=-(x2-b2), 代入上式可得:-(x2-b2)+k1k3(x-b)2-(k1+k3)(x-b)y=0, ∵x≠b, ∴-(x+b)+k1k3(x-b)-(k1+k3)y=0,即为直线PQ的方程, 将M代入得: k1k3=-=2k2k3, 又k3≠0,所以k1=2k2. 故D正确,故选ABD. 10.答案　 解析　已知F1(-3,0),F2(3,0), 则直线AB:y=-2(x-3), 即x=3-, 将其代入双曲线方程中得y2+6y-96=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 故=-=. 11.答案　 解析　已知椭圆C:+y2=1,上顶点坐标为A(0,1). 设M(x1,y1),N(x2,y2), 因为△AMN的重心为, 所以=,=0. 由=可得x1+x2=; 由=0可得y1+y2=-1. 直线与椭圆方程联立,消y可得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 则x1+x2=-. 又因为y1=kx1+m,y2=kx2+m, 所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=k×+2m=. 由x1+x2=可得-=; ① 由y1+y2=-1可得=-1. ② 由②可得m=-,将其代入①可得: -=, 则2k=,解得k=. 当k=时,代入②可得,m=-,此时直线l:y=x-+y2=1有两个交点,符合题意. 12.答案　2 解析　设直线AB:x=my+, 代入抛物线C方程,消元可得y2-2pmy-p2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则Δ>0,y1y2=-p2,y1+y2=2pm, 由=, 得=,则y1=-y2, 因为S△AMF=|AM|×|y1| =×|y1| =|y1|, S△BNF=|BN|×|y2| =×|y2| =|y2|, 所以S△AMF·S△BNF =×|y1y2| =×p2=(m2+1), 由抛物线定义得|AM|=|AF|,|BN|=|BF|, 则= ===2, 得S△AMF=2S△BNF, 所以2=(m2+1), 即S△BNF=, 又S△MNF=|y1-y2| ==p2, 则==2. 13.(1)解　因为C的一条渐近线方程为bx-ay=0,A(a,0), A到渐近线的距离为d==, 过B(2,1)得2b-a=0, 解得:a=2,b=1, 所以C的方程为-y2=1. ① (2)解　显然直线l的斜率存在,设l的方程为 y=k(x-2)+1, ② ①②联立得:x2-(2k-4k2)x-4k2+4k-2=0. 则有-k2≠0, ③ Δ=(2k-4k2)2-4(-4k2+4k-2)=2-4k>0, ④ 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则x1+x2=, ⑤ x1x2=, ⑥ 把⑤⑥代入: |x2-x1|= =, 所以S△APQ=×|AB|×|x2-x1|=×1×=, 得:(k+1)(4k2-2k+1)=0, 解得:k=-1. 满足③④式,则直线l的方程为x+y-3=0. (3)证明　设M(0,m),N(0,n), 不妨设m>n. 则直线AM:y=-(x-2), ⑦ 联立①⑦得: (1-m2)x2+4m2x-4m2-4=0, 则Δ=(4m2)2+4(1-m2)(4m2+4)=16, xAx1=, 则x1=,y1=; 同理:x2=,y2=. 而=, =, 又P,B,Q三点共线,则有∥, 则 =, 化简得,m+n+2=0, 即=-1, 所以MN的中点为定点(0,-1). 14.解　(1)设M(x,y),直线y=x的倾斜角为θ, 则tan θ=, tan∠M1OM2=tan 2θ==-4<0,∠M1OM2为钝角, 所以cos∠M1OM2=-, cos∠M1MM2=cos(π-∠M1OM2) =-cos∠M1OM2=, ||==, ||==, 所以· =·×=, 由于M1位于第一象限,M2位于第四象限, 所以M的轨迹方程E:-=1(x≥2). (2)设l:x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 化简得(5m2-4)y2+30my+25=0, 5m2-4≠0, 则Δ=900m2-100(5m2-4)>0, y1+y2=,y1y2=, 直线AA1:y=(x+2), 直线BA2:y=(x-2), 联立直线AA1与直线BA2的方程可得 = ==. 法一(和积转化) 因为my1y2=-(y1+y2), 所以==-5. 法二(配凑) 因为my1y2=-(y1+y2), 所以= = ==-5. 由=-5,可得x=, 故点P, 直线AA1的斜率为=, 联立 消去x化简得y2-2y=0, 解得y1=2,x1=6,故A(6,2), 则m===, 故直线l的方程为x=y+3, 即2x-3y-6=0. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $