第30天 抛物线的基本问题 每日专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦抛物线定义与几何性质，通过层级化题型设计培养数学抽象与逻辑推理能力，构建从概念到综合应用的知识网络。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2|直接考查准线方程、焦点坐标|从标准方程推导焦点与准线，强化定义理解| |几何性质|单选3-7、多选8-9、填空10-11|结合焦点弦、中点轨迹、最值问题|由定义延伸至焦点弦长、中点坐标等性质，构建几何关系推理链| |综合应用|填空12、解答13-14|跨知识点结合（椭圆、圆）及动态斜率问题|整合抛物线与其他曲线性质，培养综合分析与模型构建能力|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第30天 抛物线的基本问题 1.答案　B 解析　抛物线的标准方程为x2=2y,焦点为,准线方程为y=-.故选B. 2.答案　B 解析　y=(x+1)2+1, ∵y=x2焦点为, ∴y=(x+1)2焦点为, 则y=(x+1)2+1焦点为, 故选B. 3.答案　C 解析　根据直线y=-2x+2得F(1,0), 所以C的准线方程为x=-1,C的方程为y2=4x, 所以B(-1,4),所以A(4,4), 所以|AF|=|AB|=5.] 4.答案　D 解析　由圆心在y轴上的圆E经过点A(0,5),B(x,0),C(0,y),得线段AC为圆E的直径, 而点B在x轴上,则AB⊥BC, 又=(x,-5),=(x,-y), 于是·=x2+5y=0,而B,C不重合,即y≠0,所以M点的轨迹方程为x2=-5y(y≠0).故选D. 5.答案　B 解析　当点P为原点时, tan∠MOF=0, 由对称性不妨令点P在第一象限, 设点P,t>0, 而F(1,0), 则M, 因此tan∠MOF==≤=1,当且仅当t=2时取等号, 所以tan∠MOF的最大值为1.故选B 6.答案　C 解析　F(0,4),因为FP⊥l,垂足为P, 所以点P的轨迹是以FA为直径的圆(不包括F,A两点), 半径r=|FA|=,圆心为B,又因为Q在拋物线C:x2=16y上, 其准线为直线y=-4,过点Q作准线的垂线,垂足为R, 则|FQ|+|PQ|=|QR|+|PQ|≥|PR|, 当B,P,Q,R四点共线且P在B点下方时取等号, (|FQ|+|PQ|)min=|BR|-r=8-=. 故选C. 7.答案　A 解析　抛物线y2=2px的焦点F, 设直线AB:x=ty+, 点A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去x得y2-2pty-p2=0, 则y1+y2=2pt,y1y2=-p2, |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=t(y1+y2)+2p=2p(t2+1)=12, 即p(t2+1)=6, |y1-y2| = ==2p, S△OAB=|OF||y1-y2|=p2=4,则p2=8, 因此p3=64,所以p=4.故选A. 8.答案　ABC 解析　因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,即得p=4,A选项正确; 设M(x0,y0)在y2=8x上,所以x0≥0, 所以|MF|=x0+≥=|OF|,B选项正确; 因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|=x0+2等于M与C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,C选项正确; 当∠OFM=120°时,x0>2, =tan 60°=, 且=8x0,y0>0, 所以-8y0-16=0,y0=4或y0=-(舍), 所以△OFM的面积为S△OFM=|OF|×|y0|=4,D选项错误. 故选ABC. 9.答案　AD 解析　由题知,Γ的焦点F为(1,0), 设直线l的方程为x=my+1,与y2=4x联立可得y2-4my-4=0, 设A(xA,yA),B(xB,yB), 则yAyB=-4,xAxB=·=1,|AB|=xA+xB+2, 以AB为直径的圆可表示为+=, 令x=0可得:=xA+xB+1, 即y2-(yA+yB)y+=xA+xB+1, 即y2-(yA+yB)y-3=0, 所以y1+y2=yA+yB,y1y2=-3. 由相交弦定理可知:|OP||OQ|=|OM||ON|, 即|x1x2|=|y1y2|, 所以x1x2=y1y2=-3,则A对,B错. 对C,D选项: 设弦AB的中点为C,则∠MCN=2∠MAN, 取MN中点R,则CR是MN的中垂线, 所以∠MCN=2∠MCR, 所以∠MAN=∠MCR, 设圆C半径为r,则cos∠MAN=cos∠MCR==1-, 又当AB最小时,AB垂直于x轴,此时AB=4,所以r≥2,cos∠MAN≥,所以∠MAN≤. 所以C错D对.故选AD. 10.答案　 解析　设P,则P到直线x-y+3=0的距离为=|t2-4t+12|=, 所以当t=2时,距离取得最小值为×8=. 11.答案　12 解析　设A(x1,y1),则B(x1,y2), 将A,B坐标分别代入C1,C2, 可得即4y1=-8y2,所以y1=-2y2,由焦半径公式可得|AF1|=y1+1, |BF2|=2-y2, 由|AF1|=|BF2|可得y1+1=2-y2, 即y1+y2=1,所以 所以|AF1|=|BF2|=3, 又F1(0,1),F2(0,-2),则|F1F2|=3, |AB|=|y1-y2|=3, 所以四边形AF1F2B的周长为|AF1|+|BF2|+|F1F2|+|AB|=3×4=12. 12.答案　(4,-4) 解析　由题意设直线AB的方程为y=x+m, 联立消去x, 可得y2-8y+8m=0, 由Δ=(-8)2-4×8m=64-32m>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8,y1y2=8m, 设P, 则直线AP的斜率 k1===, 直线BP的斜率 k2===, 由题意可得k1+k2=0, 化简可得y1+y2+2a=0, 则8+2a=0,解得a=-4, 所以P(4,-4). 13.解　(1)由椭圆C:+ =2a(a>1),得右焦点F(1,0),而F(1,0)是抛物线Γ:y2=2px的焦点,则p=2,所以抛物线Γ:y2=4x; 由对称性不妨令P(x0,y0)(y0≥0), 由|PF|=,得x0+1=, 解得x0=,y0=, 即点P, 则2a=+ =+=4, 因此椭圆C的长半轴长a=2,短半轴b==3, 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)由已知条件可知,直线l不垂直于y轴,设其方程为x=ty+1,M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4), 由|MF|·|NF|=2|AF|·|BF|, 得|y1|·|y2| =2|y3|·|y4|, 即|y1y2|=2|y3y4|, 由消去x,得y2-4ty-4=0, 则y1y2=-4, 由 消去x,得(3t2+4)y2+6ty-9=0, 则y3y4=-, 因此=4,解得t=±, 所以直线l的方程为x±y-=0. 14.解　(1)由题意可得:kOD=, 所以kAB=-, 所以直线AB的方程为: y-2=-(x-6), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立抛物线方程消去x得: y2-y-16p=0, 所以y1y2=-16p,y1+y2=, 所以x1x2=×==64, 因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0, 即64-16p=0,解得p=4, 所以抛物线方程为y2=8x. (2)由(1)得F(2,0),假设存在P(x0,y0)满足题意, 设过点F的动直线方程为x=my+2, 联立x=-2,解得M, 设S(x3,y3),T(x4,y4), 联立消去x得: y2-8my-16=0, 所以y3y4=-16,y3+y4=8m, 直线PS的斜率为=, 直线PT的斜率为=, 直线PM的斜率为 ==, 因为直线PS,PM,PT的斜率成等差数列, 所以2×=+==, 整理得:(-16)m2+-16=0,对任意m恒成立, 所以-16=0,解得:y0=4或y0=-4, 此时x0=2, 即存在P(2,4)或P(2,-4)满足题意. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第30天 抛物线的基本问题 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.(2025·四省联考)抛物线x2-2y=0的准线方程为(　　) A.x=- B.y=- C.x=-1 D.y=-1 2.(2025·济南模拟)抛物线y=x2+2x+2的焦点坐标为(　　) A. B. C. D. 3.(2025·新高考Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2025·沈阳一监)已知平面直角坐标系中不同的三点A(0,5),B(x,0),C(0,y),圆心在y轴上的圆E经过A,B,C三点,设点M的坐标为(x,y),则M点的轨迹方程为(　　) A.x2=5y(y≠0) B.y2=5x(x≠0) C.y2=-5x(x≠0) D.x2=-5y(y≠0) 5.(2025·厦门二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为C上一点,M为PF的中点,O为原点,则tan∠MOF的最大值为(　　) A. B.1 C. D.2 6.(2025·萍乡一模)设抛物线C:x2=16y的焦点为F,斜率不为0的直线l过点A(3,4),过F作l的垂线,垂足为P,Q是C上的一个动点,则|FQ|+|PQ|的最小值为(　　) A. B.6 C. D.7 7.(2025·武汉二调)已知O为坐标原点,过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线与该抛物线交于A,B两点,若|AB|=12,△OAB面积为4,则p=(　　) A.4 B.3 C.2 D.3 二、多选题(每小题6分,共12分) 8.(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则下列结论正确的是(　　) A.p=4 B.|MF|≥|OF| C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 9.(2025·浙江七彩阳光联盟联考)已知抛物线Γ:y2=4x,直线l过Γ的焦点F且与Γ交于A,B两点.以AB为直径的圆与x轴交于P(x1,0),Q(x2,0),与y轴交于M(0,y1),N(0,y2)两点,则下列结论正确的是(　　) A.y1y2为定值 B.x1x2不是定值 C.∠MAN有最小值 D.∠MAN有最大值 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.(2025·中山一模)已知点P是抛物线y2=4x上一点,则点P到直线y=x+3的最短距离是　　　　.  11.(2025·苏锡常镇调研)已知拋物线C1:x2=4y,C2:x2=-8y的焦点分别为F1,F2,一条平行于y轴的直线分别与C1,C2交于A,B两点.若|AF1|=|BF2|,则四边形AF1F2B的周长为　　　　.  12.(2025·长春二模)已知P为抛物线y2=4x上一点,过点P作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A,B两点,若直线AB的斜率为,则点P的坐标为　　　　.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.(2025·成都二诊)已知椭圆C上的动点M(x,y)总满足关系式+=2a(a>1),且椭圆C与抛物线Γ:y2=2px(p>0)有共同的焦点F,P是椭圆C与抛物线Γ的一个公共点,|PF|=. (1)求抛物线Γ的方程和椭圆C的标准方程; (2)过点F的直线l交抛物线Γ于M,N两点,交椭圆C于A,B两点,若|MF|·|NF|=2|AF|·|BF|,求直线l的方程. 14.(2025·浙江天域名校协作体联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0),F为C的焦点,l为C的准线,A,B是C上两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),过O作OD⊥AB,垂足为D,点D的坐标为(6,2). (1)求C的方程; (2)在C上是否存在点P,使得过F的任意直线交C于S,T两点,交l于M,直线PS,PM,PT的斜率成等差数列?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $