8.9.2 定点、定值、定线问题 练习-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定点、定值、定线问题，通过定义辨析、性质应用及综合证明，构建“定义-性质-运算”三阶解题体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义辨析|单选1-2题|双曲线定义条件分析、抛物线定义转化|从定义本质出发，明确轨迹形成的充要条件| |性质应用|单选3-4、多选5-7、填空8-10|类比推理（椭圆到双曲线）、切线长定理、韦达定理化简|结合圆锥曲线几何性质，建立“性质-结论”关联| |综合证明|解答11-12题|方程联立消元、定点坐标推导|通过代数运算实现几何问题量化，形成“设参-化简-定值”完整思路|

8.9.2　定点、定值、定线问题 建议用时：40＋2分钟　答案P212 一、 单选题 1 已知F1，F2是平面内两个不同的定点，P为平面内的动点，则“|PF1－PF2|的值为定值m，且m<F1F2”是“点P的轨迹是双曲线”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2 已知动圆的圆心在抛物线y＝x2上，且与直线y＝－3相切，则此圆恒过定点(　　) A. (0，3) B. (0，2) C. (0，－3) D. (0，6) 3 已知P为椭圆＋＝1(a>b>0)上异于左、右顶点A1，A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值－.将这个结论类比到双曲线，得出的结论：若P为双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于左、右顶点A1，A2的任意一点，则下列结论中正确的是(　　) A. 直线PA1与PA2的斜率之和为定值 B. 直线PA1与PA2的斜率之积为定值 C. 直线PA1与PA2的斜率之和为定值 D. 直线PA1与PA2的斜率之积为定值 4 [2025海门二调]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2.若线段AF2上任一点P到直线AF1的距离与到x轴的距离之和为b，则下列结论中正确的是(　　) A. a＝2b B. a＝2b C. a＝b D. 2a＝3b 二、 多选题 5 如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆E上异于顶点的一动点，圆I(圆心为I)与△PF1F2的三边PF1，F1F2，PF2分别切于点A，B，C，延长PI交x轴于点D，作DH⊥PF1交PF1于点H，则下列结论中正确的是(　　) A. PF1＋PF2为定值 B. PF1·PF2为定值 C. PA为定值 D. PH为定值 6 已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法中一定正确的是(　　) A. AB的最小值为2 B. 以AB为直径的圆与直线x＝－1相切 C. x1x2为定值 D. 若点M(－1，0)，则∠AMF＝∠BMF 7 已知圆C1：(x－5)2＋(y－5)2＝16，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，则下列结论中正确的是(　　) A. 圆C1与圆C2相交 B. 圆C1与圆C2有三条公切线 C. 若PC－PC为定值，则点P的轨迹为一条直线 D. 若P为圆C1上的一点，Q为圆C2上的一点，则QC－PC为定值 三、 填空题 8 设A，B为抛物线y2＝2px上的点，且∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则直线AB必过的定点坐标为________． 9 如图，已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，P是直线x＝－8上的一点，直线PB交椭圆C于另外一点M，记直线PA，AM的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝________． 10 已知双曲线C：x2－y2＝1，过点B(0，2)的动直线与双曲线C交于点P，Q.若双曲线C上存在某定点A，使得kPA＋kQA为定值λ，则λ2的值为________． 四、 解答题 11 [2026贵阳七校联盟月考]动点T到定点F(1，0)的距离与动点T到定直线l：x＝4的距离之比是常数，记动点T的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C的方程； (2) 过点F的直线l′(不与x轴重合)与曲线C交于P，Q两点，过点A(－2，0)的直线AP和AQ与直线 x＝4的交点分别为M，N，记直线MF和NF的斜率分别为k1和k2，求证：k1·k2为定值． 12 [2025上海金山中学三模]已知双曲线C：－y2＝1的右焦点为F. (1) 求双曲线的渐近线方程； (2) 已知点P，点Q在双曲线C上且PQ不与坐标轴垂直，若△PQF为直角三角形，求△PQF的面积； (3) 过点F的动直线l交双曲线C于M，N两点，过点M，N分别作直线x＝的垂线，垂足分别为A与B(不同于点A)，连接AN，BM，这两条直线相交于点Q，问Q是否为定点？若是，请求出点Q 的坐标；若不是，请说明理由． 8．9.2　定点、定值、定线问题 1. B　解析：若“|PF1－PF2|的值为定值m，m<F1F2”，则当m＝0时，点P的轨迹不是双曲线，所以充分性不成立；若“点P的轨迹是双曲线”，则必有F1，F2是平面内两个不同的定点，且满足|PF1－PF2|＝m<F1F2，所以必要性成立．综上，“|PF1－PF2|的值为定值m，且m<F1F2”是“点P的轨迹是双曲线”的必要且不充分条件． 2. A　解析：由题意，得抛物线的标准方程为x2＝12y，所以抛物线的准线l的方程为y＝－3，焦点为F(0，3).设动圆的圆心为A，则点A到直线l的距离等于AF.因为动圆A与直线y＋3＝0相切，所以点A到直线l的距离为动圆的半径，即动圆的半径为AF，即F为圆上的点，所以此圆恒过定点F(0，3). 3. D　解析：设P(x0，y0)，则－＝1，即y＝b2＝(x－a2).因为A1(－a，0)，A2(a，0)，所以kPA1·kPA2＝·＝＝＝，所以kPA1·kPA2为定值. 4. B　解析：由题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，直线AF1的方程为y＝x＋b，即bx－cy＋bc＝0，直线AF2的方程为y＝－x＋b，即bx＋cy－bc＝0.设点P的坐标为，0≤m≤c，则点P到直线AF1的距离为＝，则＋＝b，解得a＝2c，则b＝＝c，所以a＝2b. 5. ACD　解析：对于A，根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a，为定值，故A正确；对于B，设F1F2＝2c，∠F1PF2＝θ，PF1＝m，PF2＝n，在△F1PF2中，由余弦定理，得F1F＝m2＋n2－2mn cos θ，即(2c)2＝(m＋n)2－2mn(1＋cos θ)，解得mn＝.因为点P在椭圆E上运动，所以θ的值也随之变化，从而mn不是定值，故B错误；对于C，根据切线长定理和椭圆的定义，得PA＋AF1＋PC＋CF2＝2a，且AF1＋CF2＝BF1＋BF2＝2c，则PA＋PC＋2c＝2a，所以PA＝PC＝a－c，为定值，故C正确；对于D，连接IA，则IA⊥PF1.由IA·(PF1＋PF2＋F1F2)＝DH·(PF1＋PF2)，得＝.由＝＝，得PH＝＝，为定值，故D正确．故选ACD. 6. BCD　解析：抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，过焦点的弦中，通径最短，所以AB的最小值为2p＝4，故A不正确；如图，设AB的中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，D1.由抛物线的定义可知AA1＝AF，BB1＝BF，所以DD1＝(AA1＋BB1)＝AB，所以以AB为直径的圆与直线x＝－1相切，故B正确；设AB所在直线的方程为x＝ny＋1，联立消去x并整理，得y2－4ny－4＝0，则y1y2＝－4，所以x1x2＝＝1，故C正确；又y1＋y2＝4n，所以kAM＋kBM＝＋＝＝＝＝0，所以∠AMF＝∠BMF，故D正确．故选BCD. 7. BC　解析：圆C1：(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为C1(5，5)，半径r1＝4，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心为C2(1，2)，半径r2＝1.对于A，C1C2＝＝5＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切，故A错误；对于B，因为圆C1与圆C2外切，所以圆C1与圆C2有三条公切线，故B正确；对于C，PC－PC为定值，设P(x，y)，PC－PC＝t，t∈R，则[(x－5)2＋(y－5)2]－[(x－1)2＋(y－2)2]＝t，整理，得8x＋6y－45＋t＝0，所以点P的轨迹为一条直线，故C正确；对于D，因为P为圆C1上的一点，所以PC2∈[C1C2－4，C1C2＋4]，即PC2∈[1，9]，所以PC∈[1，81].同理可得QC1∈[4，6]，QC∈[16，36].因为P，Q之间的变化无联系，所以无法确定QC－PC为定值，故D错误．故选BC. 8. (2p，0)　解析：如图，设直线OA的方程为y＝kx，联立解得x＝，y＝，即A.因为∠AOB＝90°，所以直线OB的方程为y＝－x，联立解得x＝2pk2，y＝－2pk，即B(2pk2，－2pk)，所以直线AB的方程为y＋2pk＝，令y＝0，可得x＝2p，即直线AB必经过定点(2p，0). 9. －　解析：由题意，得A(－4，0)，B(4，0).设P(－8，t)，则k1＝＝－，直线PB的斜率kPB＝＝－＝.设M(x0，y0)，则＋＝1，由k2＝，kPB＝，得k2kPB＝·＝＝＝－，所以＝－，即k1k2＝－. 10. 　解析：由题意，得直线PQ的斜率存在．设A(m，n)，lPQ：y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则m2－n2＝1.联立消去y并整理，得(1－k2)x2－4kx－5＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以kPA＋kQA＝＋＝＝，要使kPA＋kQA为定值λ，则解得m＝，n＝，λ＝或m＝－，n＝，λ＝－，故λ2＝. 11. (1) 设T(x，y)，由题意，得＝， 化简整理，得3x2＋4y2＝12，即＋＝1， 故曲线C的方程为＋＝1. (2) 设直线PQ的方程为x＝ty＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消去x并整理，得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0， 显然Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144(t2＋1)>0， 则y1＋y2＝，y1y2＝. 因为直线AP的方程为y＝(x＋2)， 所以M，同理可得N， 则k1·k2＝·＝＝＝＝＝－1， 所以k1·k2为定值－1. 12. (1) 双曲线的渐近线方程为y＝±x. (2) 如图1，当∠PFQ＝时，把x＝2代入双曲线C的方程， 得Q，则S△PQF＝××＝； 如图2，当∠FQP＝时，设Q(x0，y0)， 则＝(x0－2，y0)，＝， 则 解得x0＝，y0＝±， 则S△PQF＝××＝. 图1 图2 (3) 当直线l的斜率不存在时，不妨设M，N， 则A，B，此时Q； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则A，B， 联立消去y并整理，得(1－3k2)x2＋12k2x－12k2－3＝0， 则 由题意，得kAN＝， 则lAN：y－y1＝，① 同理可得kBM＝， 则lBM：y－y2＝，② ②－①，得y1－y2＝＋， 即1＝， 化简，得(x1＋x2－3)＝x1x2－(x1＋x2)＋， 即＝－·＋， 则·＝， 可得x－＝，解得x＝，代入①或②中，得y＝0. 综上，Q为定点. 学科网（北京）股份有限公司 $