精品解析：河北张家口市桥东区2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷

河北省张家口市桥东区2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若□，则“□”内应填的运算符号为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（ ） A. 同位角相等 B. 对顶角相等 C. 内错角相等 D. 同旁内角互补 3. 地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的 ，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（ ） A. 用科学记数法可以表示为 B. 用科学记数法可以表示为 C. 该数是一个18位数 D. 该数是一个19位数 4. 现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的边 上的高是（ ） A. B. C. D. 6. 下面运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，， ， ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线，一副三角板放置在和之间，其中一个三角板的直角边在上，另一个直角三角板的直角顶点在上，两个三角板的斜边在同一直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，这体现了数形结合的数学思想，观察下列图形，将图中的阴影部分面积用两种不同的方式来表示，则可验证的式子是( ) A. B. C. D. 12. 如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 若一个角的补角为 ，则这个角的余角为______． 14. ，则 _____ ． 15. 如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 16. 如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接 ，且 ， 平分 ．若 ，则的面积为_____ ． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知：▇． （1）求▇所表示的代数式； （2）求当 ，时，▇所表示的代数式的值． 19. 下面是张老师给同学们出的两道题，要求用乘法公式进行简便运算： ①计算：； ②计算：． （1）任务一：第①题采用_____公式，第②题采用____公式（填“平方差或完全平方”）； （2）任务二：任意选择一题进行解答． 20. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由． 21. 命题：三角形的三个内角的和等于180°已知：如图1，在△ABC中求证： 证明：如图2延长到D，过点A且向点A右侧用尺规作图作∵①∴… （1）请你帮她完成尺规作图（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）从①开始写出完整的证明过程． 下面是嘉琪同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于180°这一命题，请你帮她补充完整． 22. 把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格1中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： （1）计算：______； （2）猜想：______； （3）验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； （4）拓展，如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有列的表格中，则______．（用含的式子表示） 23. 根据以下素材，探索完成任务 探索“用代数思想解决图形问题” 素材1 我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题 素材2 琪琪用如图①所示的大小不同的正方形与长方形纸片拼成了一个如图②所示的正方形 问题解决 （1）数学思考：用不同的代数式表示图②中阴影部分的面积和，写出你能得到的等式，并用乘法公式说明这个等式成立； （2）解决问题：琪琪想到利用“数学思考”中得到的等式可以完成下面这道题目：如果满足，求的值．琪琪想：如果设，，那么要求的式子就可以写成了，请你按照琪琪的思路完成这道题目； （3）拓展应用：如图③，在长方形 中， ， ， 、是，上的点，且，分别以， 为边在长方形 外侧作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，直接写出图中阴影部分的面积． 24. 综合题 （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．请猜想线段之间的数量关系为______ ． （2）组员嘉嘉想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中， ，D、A、E三点都在直线l上，并且，其中α为任意锐角或钝角，请问（1）中得到的结论是否仍然成立？并说明理由． （3）数学老师赞赏了她们的探索精神，并鼓励她们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长 交于点N，，则____ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省张家口市桥东区2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若□，则“□”内应填的运算符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据同底数幂的除法的运算法则即可解答． 【详解】解： ， “□”内应填的运算符号为： ． 故选：D． 2. 如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（ ） A. 同位角相等 B. 对顶角相等 C. 内错角相等 D. 同旁内角互补 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与 是对顶角， ∴， ∴依据是对顶角相等． 故选：B． 3. 地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的 ，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（ ） A. 用科学记数法可以表示为 B. 用科学记数法可以表示为 C. 该数是一个18位数 D. 该数是一个19位数 【答案】A 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值大于 的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减 ，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 4. 现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，由此计算即可得解． 【详解】解：数字1，2，3，4，5这5个数中“恰好是奇数”的数是1，3，5， ∴从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为， 故选：C． 5. 如图，的边 上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解答． 【详解】解：在中，边 为底边，从顶点C向 所在直线作垂线，垂足为F，因此边 上的高是线段． 6. 下面运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项，多项式除以单项式，单项式除以单项式，完全平方公式计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：因为，故选项A错误，不符合题意； 因为，故选项B错误，不符合题意； 因为，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意． 7. 两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第三根木棒的长度是 ，由三角形三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：设第三根木棒的长度是 ， ∵两根木棒的长度分别为，， ∴，即 ∴第三根木棒的长度可以是． 8. 如图，， ， ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据全等三角形的性质，得到 ，再根据三角形的外角的性质得出 ． 【详解】解：∵， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． 9. 若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，直线，一副三角板放置在和之间，其中一个三角板的直角边在上，另一个直角三角板的直角顶点在上，两个三角板的斜边在同一直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出 ，再根据三角形的外角性质得出 。 【详解】解：如图， ∵， ∴ ， ∴ . 11. 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，这体现了数形结合的数学思想，观察下列图形，将图中的阴影部分面积用两种不同的方式来表示，则可验证的式子是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两种方法表示出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：方法一：阴影部分是边长为的正方形，面积为． 方法二：阴影部分面积=大正方形面积-两个长方形面积+重叠小正方形面积，即． 两种方法表示同一面积，故，验证选项A． 12. 如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：甲中b、c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等， 乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，满足 ，故乙与一定全等， 在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另一组角对应相等，满足，故丙与一定全等， 综上可知能和全等的是乙、丙， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 若一个角的补角为 ，则这个角的余角为______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了余角与补角的计算，理解这两个概念是解题的关键；由一个角的补角为 可求得这个角，从而由余角可求得此角的余角． 【详解】解：由于一个角的补角为 ，则这个角为， 所以角的余角为：； 故答案为：40． 14. ，则 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，，，，进行解答，即可． 【详解】解： ． 15. 如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 【答案】70 【解析】 【分析】根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 16. 如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接 ，且 ， 平分 ．若 ，则的面积为_____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】如图，过 作交的延长线于，证明，再证明，利用分割法和三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：如图，过 作交的延长线于， ∵ 平分 ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】80 【解析】 【分析】先根据有理数的乘方、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 18. 已知：▇． （1）求▇所表示的代数式； （2）求当 ，时，▇所表示的代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：由题意得：▇ ； ∴▇所表示的代数式是； 【小问2详解】 解：当 ，时，▇． 19. 下面是张老师给同学们出的两道题，要求用乘法公式进行简便运算： ①计算：； ②计算：． （1）任务一：第①题采用_____公式，第②题采用____公式（填“平方差或完全平方”）； （2）任务二：任意选择一题进行解答． 【答案】（1）完全平方，平方差 （2）选做①：39204；选做②：1 【解析】 【分析】（1）任务一：观察所给算式，第①题利用完全平方公式进行解答，第②题利用平方差公式进行解答； （2）①先把198写成 ，再利用完全平方公式进行计算即可；②把2026写成 ，2024写成 ，再利用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：任务一：第①题采用完全平方公式，第②题采用平方差公式； 【小问2详解】 解：任务二： 选做①： ① ； 选做②： ② ． 20. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）能，可以将盒子中的白球拿出3个． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式可直接进行求解； （2）由题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴盒子中球的总数为：（个）， ∴盒子中黑球的个数为：（个）； ∴任意摸出一个球是黑球的概率为：； 【小问2详解】 解：∵任意摸出一个球是红球的概率为 ∴盒子中球的总量为：， ∴可以将盒子中的白球拿出3个． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键． 21. 命题：三角形的三个内角的和等于180°已知：如图1，在△ABC中求证： 证明：如图2延长到D，过点A且向点A右侧用尺规作图作∵①∴… （1）请你帮她完成尺规作图（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）从①开始写出完整的证明过程． 下面是嘉琪同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于180°这一命题，请你帮她补充完整． 【答案】（1）； （2）证明：∵ C， ∴ ， ∵ ， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，作 ，则根据平行线的判定方法得到； （2）先根据平行线的性质得到 ，再根据平角的定义得到 ，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格1中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： （1）计算：______； （2）猜想：______； （3）验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； （4）拓展，如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有列的表格中，则______．（用含的式子表示） 【答案】（1）20 （2）20 （3）证明见解析 （4）4n 【解析】 【分析】（1）先算乘法、再算减法即可； （2）根据题目中的结果和（1）中的结果可以写出相应的猜想； （3）根据表格中的数据，可以用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可； （4）根据表2用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可． 【小问1详解】 解： 3×11﹣1×13 ＝33﹣13 ＝20， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：猜想：bc﹣ad＝20， 故答案为：20； 【小问3详解】 解：由图可得， b＝a+2，c＝a+10，d＝a+12， ∴bc﹣ad ＝（a+2）（a+10）﹣a（a+12） ＝a2+12a+20﹣a2﹣12a ＝20， ∴bc﹣ad＝20正确； 【小问4详解】 解：由表2可得， b＝a+2，c＝a+2n，d＝a+2n+2， ∴bc﹣ad ＝（a+2）（a+2n）﹣a（a+2n+2） ＝a2+（2+2n）a+4n﹣a2﹣（2n+2）a ＝4n， 故答案为：4n． 【点睛】本题考查整式的混合运算、数字的变化类，详解本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律． 23. 根据以下素材，探索完成任务 探索“用代数思想解决图形问题” 素材1 我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题 素材2 琪琪用如图①所示的大小不同的正方形与长方形纸片拼成了一个如图②所示的正方形 问题解决 （1）数学思考：用不同的代数式表示图②中阴影部分的面积和，写出你能得到的等式，并用乘法公式说明这个等式成立； （2）解决问题：琪琪想到利用“数学思考”中得到的等式可以完成下面这道题目：如果满足，求的值．琪琪想：如果设，，那么要求的式子就可以写成了，请你按照琪琪的思路完成这道题目； （3）拓展应用：如图③，在长方形中， ， ， 、是，上的点，且，分别以， 为边在长方形外侧作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1）由题意得，． 右边， 左边， ∴右边＝左边， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，利用完全平方公式证明右边＝左边即可； （2）利用完全平方公式，结合（1）中结论即可得出答案； （3）根据四边形是长方形得出，，设，，得出，，利用完全平方公式得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：∵长方形中， ， ， ∴ ， ∵， ∴，， ∵两个正方形的面积分别为和，且， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴阴影部分的面积为． 24. 综合题 （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．请猜想线段之间的数量关系为______ ． （2）组员嘉嘉想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中， ，D、A、E三点都在直线l上，并且，其中α为任意锐角或钝角，请问（1）中得到的结论是否仍然成立？并说明理由． （3）数学老师赞赏了她们的探索精神，并鼓励她们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长 交于点N，，则____ ． 【答案】（1） （2）成立，理由如下： ∵， 在中，， 又∵， ∴， 在 和中， ∴， ∴， ∴； （3）5 【解析】 【分析】（1）依题意得，则，根据得，由此得，进而依据“”判定 和全等得，由此即可得出线段之间的数量关系； （2）根据，得，，由此得，进而依据“”判定 和全等得，继而得，由此即可得出答案； （3）分别过E、G作的垂线段，垂足分别为H、K，先证，可得，可得，再证，得，据此即可得解． 【小问1详解】 解：线段之间的数量关系是：，理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，分别过E、G作的垂线段，垂足分别为H、K， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $