第07讲 抛物线选填题型归纳 专项训练-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

**基本信息** 以17类题型系统覆盖抛物线选填考点，通过"定义-方程-性质-综合应用"逻辑链构建解题方法体系，突出转化思想与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题型/9典例|定义转化法、方程参数法|从定义推导方程，结合几何性质建立基础认知| |直线与抛物线|5题型/25典例|韦达定理、点差法、焦半径公式|通过位置关系延伸出弦长、中点弦等核心题型| |综合应用|9题型/45典例|参数法、导数几何意义、阿基米德三角形性质|融合向量、导数等知识，构建复杂问题求解模型|

第07讲 抛物线选填题型全归纳 目 录 题型01：抛物线定义的理解应用 2 题型02：抛物线的方程 4 题型03：抛物线的简单几何性质 8 题型04：直线与抛物线位置关系 10 题型05：弦长问题 11 题型06：中点弦问题 14 题型07：焦半径公式 17 题型08：抛物线的焦点弦 21 题型09：抛物线中的面积问题 30 题型10：抛物线中的定点定值定直线问题 34 题型11：抛物线中的最值问题 38 题型12：抛物线中的切线及切点弦 41 题型13：抛物线中的阿基米德三角形 43 题型14：抛物线中的四心 51 题型15：抛物线中的斜率问题 55 题型16：抛物线与向量 58 题型17：抛物线与导数 61 题型01：抛物线定义的理解应用 【典型例题1】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形函数解析式得到，问题转换成点到点和轴的距离之和，即可求解. 【详解】将变形可得， 设，则的轨迹方程为，设， 则表示抛物线上的点到点和轴的距离之和， 过点作轴于，过点作轴于，交抛物线于点， 故， 所以，故选：B. 【典型例题2】动点满足方程，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由得， 等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 【典型例题3】已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 【变式训练1-1】设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（    ） A． B．1 C． D．2 【变式训练1-4】已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两点，且，则（ ） A． B． C．6 D．4 【变式训练1-5】已知抛物线：的焦点为，点为上一点，为靠近点的三等分点，若，则点的纵坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练1-6】已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】已知，向量满足，抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【变式训练1-8】已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D． 题型02：抛物线的方程 【典型例题1】已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线，根据点在上，代入抛物线方程，求出的值，即可得解. 【详解】由题意，设抛物线， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 【典型例题2】已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解. 【详解】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 【典型例题3】若动圆与圆相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（  ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据题设，结合抛物线定义确定的轨迹，进而写出对应方程. 【详解】设圆的圆心，动圆圆心的，半径为， 作直线为垂足， 圆与相切，故圆到直线的距离，又， 因此到与直线的距离相等， 则的轨迹：焦点为，准线，顶点为且开口向左的抛物线， 所以，方程为. 故选：A 【典型例题4】已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得，根据面积可得，可知点在抛物线上，结合抛物线的性质分析求解. 【详解】因为， 整理可得，则，可知为等边三角形． 设点到直线的距离为，则，可得， 如图，过点作，垂足为，则， 过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上， 可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时， 所以的最小值为．故选：C. 【变式训练2-1】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2-4】已知抛物线的焦点为F，第一象限的点在抛物线上，且．若，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 【变式训练2-7】已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式训练2-8】已知点P在正方体的表面上，P到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为（   ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练2-9】已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-10】已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【变式训练2-11】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为__． 【变式训练2-12】已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为 ；若动点M满足，则M的轨迹方程为 . 【变式训练2-13】已知点满足，则的最小值为________ 【变式训练2-14】已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程 ； 【变式训练2-15】已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【变式训练2-16】已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 【变式训练2-17】如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则_____ 题型03：抛物线的简单几何性质 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由抛物线的定义得出的坐标，即可求出面积. 【详解】根据题意，可知， 因为，所以由抛物线的定义可得点的横坐标为，故， 所以的面积为， 故选：B. 【典型例题2】下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．焦点在x轴上 B．焦点到准线的距离等于10 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 【答案】ACD 【解析】抛物线的焦点在x轴上，，正确，错误； 设是上的一点，则，所以正确； 由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为， 若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确. 故选：ACD. 【变式训练3-1】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【变式训练3-2】记抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作直线与分别交于两点，且，若的面积为，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练3-3】已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限）且（为坐标原点），则当时，的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④，以上结论中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式训练3-5】已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 【变式训练3-6】已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 【变式训练3-7】如图，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，．求曲线和的方程．    题型04：直线与抛物线位置关系 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【详解】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 【典型例题2】“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式训练4-1】已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练4-2】过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练4-3】已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切． 【变式训练4-4】对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【变式训练4-5】已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 题型05：弦长问题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的公共点从右到左依次为点、、，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 易知抛物线的焦点为， 设直线l的方程为， 因为直线与抛物线相切， 联立，可得， 则，因为，解得， 设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，，故选：C. 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由四边形为菱形，如下图示，，， 由抛物线性质知：，则，故， 又，故，所以. 公式，证明如下： 令直线（斜率存在）为，代入，则， 整理得，若， 而，若直线倾斜角为（不为直角），则， 所以.故选：B 【典型例题3】已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可. 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置， 该抛物线的焦点， 因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零， 设AB的斜率为，则CD的斜率为， 直线AB的方程为， 与抛物线联立得：， 则， 同理可得， 因此， 故选：D. 【变式训练5-1】设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式训练5-2】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 【变式训练5-3】已知抛物线过点，过且与．(为坐标原点)垂直的直线与抛物线交于另一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【变式训练5-5】点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【变式训练5--6】若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 . 题型06：中点弦问题 【典型例题2】已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】设出，的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论. 【详解】设，，由题意， 因为，在抛物线上，所以，，两式相减得， ，整理得，， 即直线的斜率， 直线的中点为， ， ， 所以直线的方程为，化简得. 故答案为：.    【典型例题2】已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 . 【答案】/0.5 【分析】设出点的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB的斜率. 【详解】由题意， 为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，    设，线段AB中点为， ∴，， ∴即 ∴直线AB的斜率为： 故答案为： 【典型例题1】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【变式训练6-1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为（﹣2，4），则直线PQ的方程为（　　） A．x+2y﹣6＝0 B．x+3y﹣10＝0 C．2x+y＝0 D．2x+3y﹣8＝0 【变式训练6-2】已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ． 【变式训练6-5】已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【变式训练6-6】已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ） A． B．4 C． D． 【变式训练6-7】已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．的面积为 D． 【变式训练6-8】过抛物线的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦的垂直平分线经过点，则p等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-9】过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练6-10】已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，抛物线的准线上一点满足，则（ ） A． B． C．5 D．6 【变式训练6-11】已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练6-12】过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【变式训练6-13】已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．的面积为 D． 【变式训练6-14】设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-15】直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 【变式训练6-16】已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则 . 【变式训练6-17】已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ． 【变式训练6-18】若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为 . 【变式训练6-19】已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为 ． 【变式训练6-20】若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ． 题型07：焦半径公式 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，准线为，点P为C上一点，过P作的垂线，垂足为A，若AF的倾斜角为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】由题意，得，准线方程为， 设准线与轴交于点K，，则，如图， 因为AF的倾斜角为150°，所以， 故，所以， 故，解得， 所以. 故选：A. 【典型例题2】若A，B，C均在抛物线上，直线与此抛物线交于M，N两点，弦MN中点为的重心，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】先求中点横坐标，再利用重心性质求A，B，C横坐标之和，结合抛物线定义即可求解. 【详解】抛物线，准线，焦点. 联立，得，中点横坐标. 设，由重心性质可知：，得. 所以.故选：B. 【典型例题3】已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知,所以有，带入得， 整理得，判别式恒成立， 设，则 易知，点为抛物线的焦点， 所以 当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为. 故选：B 【变式训练7-1】已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【变式训练7-2】设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练7-3】设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练7-4】已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【变式训练7-6】过点且倾斜角为的直线交曲线于两点（点在点的上方），为的焦点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式训练7-7】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【变式训练7-8】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线交C于A，B两点，交C的准线于P，且3，|AF|＝3，则C的方程为（　　） A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x 【变式训练7-9】如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 .    【变式训练7-10】设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为 . 【变式训练7-11】已知抛物线(其中)的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则点到抛物线的准线的距离为 【变式训练7-12】已知抛物线的焦点为F.过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【变式训练7-13】已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 . 【变式训练7-14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= _____________． 【变式训练7-15】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【变式训练7-16】已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若，，则____________. 题型08：抛物线的焦点弦 【典型例题1】已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】由题意可得，设直线的方程为， 由题意可得直线与抛物线必有2个交点， 与抛物线相切，联立方程组，可得， 所以，解得，故直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 设，，则，所以.故选：C.    【典型例题2】设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解. 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以.故选：A. 【典型例题3】已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(    ) A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】求出M坐标及直线AM的方程，根据圆的弦长公式即可求解． 【详解】由题知，，，， ∵轴，∴，根据抛物线对称性，不妨取， 则， 原点O到直线AM的距离为：， ∴以为直径的圆截直线所得的弦长为：﹒ 故选：B﹒ 【典型例题4】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】 设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 【典型例题5】已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】结合图像，分析出点为的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果. 【详解】过点作，垂足为，作，垂足为，如图， . 又因为，所以四边形为矩形，所以， 因为，，所以点为的中点， 所以，故， 由抛物线的定义可得，，所以，即. 故选：B. 【典型例题6】已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由抛物线焦半径公式可得：， 再由，结合基本不等式即可求解； 【详解】根据题意，圆，可得，所以该圆的圆心为，所以，，所以， 设点，，易知斜率不为0，设方程为：， 联立抛物线方程消去可得：，所以，又， 两式相乘可得：，所以， 因，当且仅当时等号成立．即时，取得最小值. 故选：B 【典型例题7】倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定直线即为抛物线的准线，确定,设直线方程为，代入中可得根与系数的关系，利用抛物线过焦点的弦长公式即可求得答案. 【详解】设抛物线的准线为， 过点分别作l的垂线，垂足为,设的中点为M，作，垂足为N， 则, 即以为直径的圆与相切，又以为直径的圆与直线相切， 故直线即为抛物线的准线，∴, ∴，设直线方程为，代入中， ∴，即， 设，∴， ∴， 故选：B. （一）单选题 【变式训练8-1】已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（    ） A．16 B．26 C．14 D．24 【变式训练8-2】已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（    ） A． B． C． D．2 【变式训练8-3】设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则不正确的是（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 【变式训练8-4】已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【变式训练8-5】已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 【变式训练8-6】抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（    ） A．的最小值为2 B．线段为直径的圆与直线轴相切 C．为定值 D．若，则 【变式训练8-7】设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【变式训练8-8】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【变式训练8-9】已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点（其中在第一象限），且满足，下列说法错误的是（    ） A．直线的倾斜角为 B． C． D． 【变式训练8-10】已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于，（在轴上方）两点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式训练8-11】已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若，则等于（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练8-12】设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，设A在x轴上方，点B在x轴下方．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-13】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（    ） A． B． C．12 D． 【变式训练8-14】直线/经过抛物线C：（）的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-15】已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-16】已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于两点，若的面积与（为坐标原点）的面积之比是2，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-17】已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段 的长度为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式训练8-18】已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与C交于M，N两点，若，则点M的横坐标为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式训练8-19】已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则不正确的是（   ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 【变式训练8-20】已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练8-21】如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与圆交于两点，则的最小值为（   ）    A． B．1 C． D． 【变式训练8-22】已知抛物线：的焦点为，圆：，过点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，且点，在同一象限，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式训练8-23】已知过抛物线的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段的中点，P为抛物线C上任意一点，若的最小值为6，则（    ） A．2 B．3 C．6 D． （二）多选题 【变式训练8-1】（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若点，则 C．直线与间的距离最小值为2 D．直线与直线相交于点，则三点共线 【变式训练8-2】（多选）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线过焦点时，最小值为4 B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限）， C．若中点的横坐标为3，则最大值为8 D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为： 【变式训练8-3】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且，的中点到轴的距离为，则下列说法正确的是（） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 【变式训练8-4】若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．重心的横坐标的最小值为 C． D．以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 【变式训练8-5】（多选）已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值是4 B． C．直线平行于轴 D．的面积的最大值为 【变式训练8-6】（多选）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-7】（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，，，为中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．为等腰直角三角形 C． D．，，三点共线 【变式训练8-8】（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，线段的中点为，在上的射影分别为，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-9】（多选）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． （三）填空题 【变式训练8-1】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 【变式训练8-2】已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 . 【变式训练8-3】经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么__________． 【变式训练8-4】若圆与抛物线相交于A，B两点，且弦AB过抛物线的焦点F，则___________. 【变式训练8-5】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则直线的斜率为_______. 【变式训练8-6】过抛物线的焦点F且斜率为的直线l交抛物线于点A、B.若，且，则k的取值范围为 . 【变式训练8-8】过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为_________． 题型09：抛物线中的面积问题 【典型例题1】已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（    ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】设，，由导数的几何意义求出点处的切线方程，同理可得处的切线方程，即可求出直线的方程，与联立，求出，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】设，，由，得，所以， 所以在点处的切线方程为，即， 又因为点在上，所以， 所以得到点处的切线方程为，即， 又因为点处的切线过点，故， 所以，同理可得， 所以直线的方程为. 联立整理得，所以，， 所以， 点到直线的距离为， 所以. 故选：A. 【典型例题2】如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（    ） A．12 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点坐标即可确定直线的方程，设，根据直线斜率的坐标关系可得，所以，作轴于点，确定的值，从而可得四边形的面积. 【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为， 因为四边形为梯形，且， 设，则， 所以，所以， 作轴于点，则， 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形， 故， 所以， 所以四边形的面积为. 故选：D. 【典型例题3】（多选）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 【变式训练9-1】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式训练9-4】已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-5】（多选）如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为．和交于两点，分别过作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．的取值范围为 【变式训练9-6】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 题型10：抛物线中的定点定值定直线问题 【典型例题1】已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 【解析】设直线方程为 ， 联立 ，整理得： ， 需满足 ，即 ，则 ， 由 ，得： ， 所以 ，即 ，故 ， 所以直线l为：，当时，，即直线l恒过定点，故选：A. 【典型例题2】经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线 上．（写出此直线的方程） 【解析】抛物线中，焦点为，设直线方程为，代入抛物线整理得，设，，则，． 由得，∴过点切线斜率为，切线方程为，即，同理过点切线方程为，两式相除得，整理得， 解得，所以点在准线上． 即点在直线上.    【典型例题3】已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则 ． 【解析】如图，设直线，的方程分别为，，则，，， 因为为圆的直径，，所以． 联立，消去得，，，同理可得，， ，，． 【变式训练 8-2】已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点、，若轴是的角平分线，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【变式训练 8-3】已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点 【变式训练10-2-2】已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（    ） A．3 B． C．1 D．0 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（    ） A．6 B． C．4 D． 【解析】法一：依题意，设，由，得为的中点且， 则，易得直线的垂线的方程为. 令，得，故，由抛物线的定义易知， 故，故选:A. 法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故.故选:A. 【变式训练10-1】已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为 【变式训练10-2】过抛物线的焦点的直线l交抛物线于两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为    A． B． C． D． 【变式训练 10-3】（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（    ） A．若、、三点共线，则的最小值为 B．若，则的面积为 C．若，则直线过定点 D．若，过的中点作于点，则的最小值为 【变式训练10-4】（多选）如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（    ） A．，两点的纵坐标之积为 B．点在定直线上 C．点与抛物线上各点的连线中，最短 D．无论旋转到什么位置，始终有 【变式训练10-5】（多选）已知抛物线，为轴正半轴上一点，则（    ） A．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 B．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 C．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 D．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 【变式训练 10-6】设A、B为抛物线上的点，且（O为原点），则直线必过的定点坐标为 ． 【变式训练10-7】已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为 . 题型11：抛物线中的最值问题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，若，是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【解析】根据题意,作图如下： 设点P在其准线x=-1上的射影为A,由抛物线的定义得:. 所以要使取得最小值,只需最小. 因为(当且仅当M,P,A三点共线时取“=”),此时点P的纵坐标为1,设其横坐标为x0. 因为P(x0,1)为抛物线上的点,则有，解得：. 当P为(,1)时, 取得最小值2.故选：B． 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 【解析】抛物线C：，即，，，设， 对选项A：抛物线C的准线方程为，正确； 对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确； 对选项C：，时取等号，错误； 对选项D：过点作垂直于准线于， ，当共线时等号成立，正确. 故选：ABD 【典型例题3】在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为 ． 【解析】设点坐标为，则，，又因为，所以， 由，得，所以，是抛物线上的点， 设，则, 因为，所以当时，取最小值，此时． 【变式训练11-1】已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练11-2】已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．6 【变式训练11-3】设抛物线的准线为，定点，过准线上任意一点作抛物线的切线，为切点，过原点O作，垂足为H．则线段MH长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-4】，是抛物线上的两个动点，为坐标原点，当时，的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．64 【变式训练11-5】已知过抛物线焦点的直线交抛物线于M、N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【变式训练11-6】直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为-1，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于，两点，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．32 D．36 【变式训练11-7】（多选）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【变式训练11-8】（多选）已知点在抛物线C：上，过P作圆的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为，若F为C的焦点，为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（    ） A． B． C．的最大值是 D．的最大值是 【变式训练11-9】（多选）已知为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于两点，过作的切线交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若点为，且直线与倾斜角互补，则或 C．点在定直线上 D．设点为，则的最小值为3 【变式训练11-10】已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是 . 【变式训练11-11】已知点，动点在函数的图像上，动点在以为圆心半径为2的圆上，则的最小值为 . 题型12：抛物线中的切线及切点弦 【典型例题1】抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意，反射光线轴，和，得到，即，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点为， 如图所示，由光学性质，入射光线，则反射光线轴，所以， 又因为，所以， 因为轴，，则，所以， 即，所以，解得.故选：A     【典型例题2】（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线的斜率为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据抛物线定义判断A，根据导数的几何意义求切线斜率可判断B，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系判断C，根据不等式的性质及抛物线的定义判断D. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A对， 因为，即，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 直线的斜率为，所以选项B错； 由，消得到， 则，得到，所以选项C正确； 对于选项D，因为， 得到，所以当时，， 又，所以，则，故选项D正确． 故选：ACD 【典型例题3】已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为__________ 【分析】由抛物线方程得到坐标；设过的抛物线的切线方程为：， 联立直线与抛物线的方程，利用判别式得出的值，不妨设， 利用抛物线焦半径公式求得，勾股定理求出；由双曲线定义可知，又焦距，可求得离心率. 【详解】由题意，得、，设过的抛物线的切线方程为：， 联立得：，得，令，得， 即，不妨设，由双曲线的定义得， ，则该双曲线的离心率为，． 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，涉及到抛物线焦半径公式的应用、过某一点曲线切线的求解、双曲线定义的应用等知识；关键是利用联立直线与抛物线的方程，利用判别式得出的值，从而得到所需的焦半径的长度. 【变式训练12-1】已知点P在抛物线上，过点P作抛物线的切线，，切点分别为M，N，若，且，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-21】设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式训练12-4】已知抛物线，O为坐标原点，点A在直线上，过点A作E的两条切线，切点分别为P，Q，若AP，AQ分别交x轴于B，C两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练12-5】已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练12-6】已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-7】（多选）已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-8】抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是 . 【变式训练12-9】写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 题型13：抛物线中的阿基米德三角形 【典型例题1】阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时， ，即， 故选：D． 【典型例题2】过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述： ①点必在抛物线的准线上； ②； ③设、，则的面积的最小值为； ④； ⑤平行于轴. 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出图形，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点的坐标，可判断①的正误；利用直线、斜率的关系可判断②的正误；计算出的面积的表达式，可判断③的正误；利用直线、的斜率关系可判断④的正误；求出直线的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论. 【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为. 证明如下： 由于点在抛物线上，则， 联立，可得，即，， 所以，抛物线在其上一点处的切线方程为. 如下图所示： 设、，设直线的方程为， 联立，消去得， 由韦达定理可得，， 对于命题①，抛物线在点处的切线方程为，即， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 联立，解得，所以点的横坐标为， 即点在抛物线的准线上，①正确； 对于命题②，直线的斜率为，直线的斜率为，， 所以，，②正确； 对于命题④，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时； 当不与轴垂直时，直线的斜率为， 直线的斜率为，，则. 综上，，④正确； 对于命题③，， ， 所以，， 当且仅当时，等号成立，③错误； 对于命题⑤，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时直线与轴重合，⑤错误. 故选：B. 【典型例题3】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦AB过焦点，为其阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，设直线的方程为：，代入抛物线方程，由韦达定理可得，设过点的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线方程分别为：，同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值． 【详解】设，直线， 联立，整理得，则． 设过点的切线方程为， 联立，整理得， 由，可得， 则过点A的切线方程分别为：，即，即，即， 同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：， 因为两条切线的交点在准线上，所以， 两式相减得， ，，可得， ，又因为直线的斜率为， （也成立）， 如图，设准线与轴的交点为， 的面积， 当轴时，最短（最短为），也最短（最短为）， 此时的面积取最小值． 故答案为：． 【变式训练13-1】抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征： ①点必在抛物线的准线上；②． 若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-3】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式训练13-4】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-5】已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练13-6】（多选）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点为的中点，为坐标原点，为其阿基米德三角形，则（    ） A．存在点，使得 B．任意点，都有 C．任意点，都有 D．面积的最小值为4 【变式训练13-7】（多选）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 【变式训练13-8】（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的周长为 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2 【变式训练13-9】（多选）阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为 C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值 D．一般情况下，阿基米德三角形的面积 【变式训练13-10】(多选）若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【变式训练13-11】(多选）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【变式训练13-12】(多选）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 【变式训练13-13】(多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 【变式训练13-14】(多选）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（   ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 【变式训练13-15】(多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（ ） A． B．若，则点处的切线方程为 C．存在点，使得 D．面积的最小值为4 【变式训练13-16】(多选）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（    ） A． B．平面上点的最小值为 C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D．过点作，垂足为H，则 【变式训练13-17】阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与交于两点，若为阿基米德三角形，则 ． 【变式训练13-18】抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．设抛物线为，弦AB过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 题型14：抛物线中的四心 【典型例题1】已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【解析】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，    因为抛物线为，所以， 则，所以，则， 注意到，故，即， 又，代入可得， 故，即，解得， 当且仅当时，等号成立，因而.故选：B. 9．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，点为线段AB的中点，且，则下列结论正确的为（    ） A．N为的外心 B．M可以为C的焦点 C．l的斜率为 D．可以小于2 【解析】 由可得，则N为的外心，A正确； 易得直线斜率不为0，设，，联立可得， ，则，则，由可得， 即，则，则焦点为，B错误； 由作差得，即，C正确； ，则，D错误. 故选：AC. 【典型例题2】已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解析】由点是抛物线上的两点，且， 根据抛物线的对称性，可得关于轴对称， 设直线的方程为，则， 因为的垂心恰好是抛物线的焦点， 所以，可得，即， 解得，即直线的方程为.故选：C.    【变式训练14-1】已知F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，O为坐标原点，，，面积分别为 ，若F为的重心，且，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-2】抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为 A． B． C． D． 【变式训练14-3】已知抛物线上有三点，，，的垂心在轴上，，两点的纵坐标分别为，，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-4】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-5】（多选)已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（    ） A．线段BC的中点坐标为 B．直线BC的方程为 C． D． 【变式训练14-6】（多选)已知的三个顶点均在抛物线上，则下列命题正确的有（    ） A．若直线BC过点，则存在点A使为直角三角形； B．若直线BC过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心； C．存在，使抛物线的焦点恰为的外心； D．若边AC的中线轴，，则的面积为 【变式训练14-7】（多选)设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 【变式训练14-8】（多选)已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（    ） A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2 B．若点恰为的垂心，则的周长为 C．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为 D．若，则点纵坐标的取值范围是 【变式训练14-9】（多选)设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 【变式训练14-10】已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为 ． 【变式训练14-11】已知抛物线上三点满足： 的重心是，则直线的斜率之和为 ． 【变式训练14-12】已知抛物线，过定点的动直线与抛物线交于两点，是坐标平面内的动点，且的重心为坐标原点.若的最小值为1，则 . 【变式训练14-13】在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点．若D为直线外一点，且的外心M在C上，则M的坐标为 ． 题型15：抛物线中的斜率问题 【典型例题1】已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，设直线的方程为，由， 得．设，， 则，，所以，． 因为为锐角，所以恒成立，即， 整理得，所以， 而，所以对于任意恒成立，所以． 由，解得，所以的取值范围为．故选:A． 【典型例题2】已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（    ） A．的最大值为 B．的面积最小值为2 C．当取到最大值时，直线AP与C相切 D．当取到最大值时， 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，设， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为：， 由消去x得：，则，    对于A，显然，， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B，的面积， 当且仅当时取等号，B错误； 对于C，由选项A知，当最大时，点，此时直线方程为， 由消去x得：，，直线AP与C相切，C正确； 对于D，由选项C知，当最大时，轴，显然， 即，，D错误. 故选：AC 【典型例题3】已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若点满足，则的取值范围是 ． 【解析】由题可知，抛物线的焦点坐标，且， 由于是抛物线上一点，则， ，， ，且，解得：， 所以的取值范围是. 【变式训练15-1】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，则实数p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-2】已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-3】在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-4】已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-5】已知点在抛物线上，且抛物线上存在不同的两点，，使得直线，的斜率，满足，若线段的中点为，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-6】已如抛物线的焦点是，点是其准线上一个动点，其中．过点且斜率为的直线与抛物线交于A，两点，过点的直线交抛物线于，两点．若，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-7】（多选）已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．时，的最小值为 B．的取值范围是 C．当点是弦的中点时，直线的斜率为 D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有 【变式训练15-8】（多选）已知抛物线C：的焦点为F，P，Q为C上两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为4 B．若，记，则 C．过点与C只有一个公共点的直线有且仅有两条 D．以PQ为直径的圆与C的准线相切，则直线PQ过F 【变式训练15-9】（多选）设是抛物线：上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（    ） A．若直线过抛物线的焦点，则的最小值为1 B．有且只有两条直线过点且与抛物线只有一个公共点 C．若，则为定值 D．若，则 【变式训练15-10】已知斜率为的直线与抛物线交于轴上方不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是 . 【变式训练15-11】已知抛物线方程为，为其焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，且抛物线在、两点处的切线分别交轴于、两点，则的取值范围为 ． 【变式训练15-12】如图，已知抛物线，点为抛物线上一动点，以C为圆心的圆过定点，且与x轴交于M，N两点（M点在N点的左侧），则的取值范围是 ． 题型16：抛物线与向量 【典型例题1】抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．3 D．5 【解析】由题意易知直线的斜率存在，设，， 因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为， 联立，消去，得，则，故，， 则， 所以.故选：B. 【典型例题2】已知抛物线C的方程为，过C焦点F的直线与C交于M，N两点，直线MO与C的准线交于Q点（其中O为坐标原点），P为C准线上的一个动点，下列选项正确的是（    ） A．当直线MN垂直x轴时，弦MN的长度最短 B．为定值 C．当PM与C的准线垂直时，必有 D．至少存在两个点P，使得 【解析】如图所示，由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，， 对于A中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，此时垂直于轴，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，直线的方程为，令，可得， 所以，所以，所以C错误； 对于D中，由抛物线的定义知，直角梯形的中位线， 即以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，所以满足的点恰好有一个，所以D错误. 故选：AB.      【典型例题3】已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为 . 【解析】由已知得，设直线的方程为， 代入整理得，设，， 故①，②， 又，故③，由①②③解得， 此时，，点O到直线的距离为， 故的面积为. 【变式训练16-1】已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练16-3】已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练16-4】在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-5】已知过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若D为线段AB的中点，连接OD并延长交抛物线C于点M，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-6】已知抛物线，直线交抛物线于两点，是的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，且，若，则k为（        ） A． B． C． D．2 【变式训练16-7】（多选)已知点A是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（    ） A．当点在轴上时， B．当点在轴上时，点A的坐标为 C．当点A与点关于轴对称时， D．若，则点A与点关于轴对称 【变式训练16-8】（多选)抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【变式训练16-9】已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若， 则 【变式训练16-10】已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则 . 【变式训练16-11】已知抛物线与圆，过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（在轴的同一侧），若，则的值是 ． 题型17：抛物线与导数 【典型例题】（多选）过点的直线与抛物线C：交于两点．抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（    ） A．直线与抛物线C有2个公共点 B．直线恒过定点 C．点的轨迹方程是 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】设出直线的方程为，代入，然后写出切线方程，结合韦达定理可判断AB；根据B可得的轨迹方程，从而判断C；利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出，然后利用导数的知识求出最值进而判断D. 【详解】设直线的方程为， 联立，消去得，则， 对于A：抛物线在点处的切线为， 当时得，即， 所以直线的方程为，整理得， 联立，消去的，解得，即直线与抛物线C相切，A错误； 对于B：直线的方程为，整理得，此时直线恒过定点，B正确； 对于C：又选项B可得点在以线段为直径的圆上，点除外，故点的轨迹方程是，C正确； 对于D： ， 则， 令， 则， 设， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，D错误. 故选：BC.    【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题 第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程． 第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程． 第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0. 第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出． 第五步：根据题设条件求解问题中的结论． 【变式训练17-1】已知双曲线的左，右顶点分别为是双曲线上不同于，的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练17-2】（多选）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（    ） A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B．函数是圆的一个太极函数； C．存在圆，使得是圆的太极函数； D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 抛物线选填题型全归纳 目 录 题型01：抛物线定义的理解应用 1 题型02：抛物线的方程 7 题型03：抛物线的简单几何性质 18 题型04：直线与抛物线位置关系 25 题型05：弦长问题 28 题型06：中点弦问题 34 题型07：焦半径公式 46 题型08：抛物线的焦点弦 57 题型09：抛物线中的面积问题 93 题型10：抛物线中的定点定值定直线问题 103 题型11：抛物线中的最值问题 111 题型12：抛物线中的切线及切点弦 120 题型13：抛物线中的阿基米德三角形 129 题型14：抛物线中的四心 156 题型15：抛物线中的斜率问题 166 题型16：抛物线与向量 175 题型17：抛物线与导数 184 题型01：抛物线定义的理解应用 【典型例题1】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形函数解析式得到，问题转换成点到点和轴的距离之和，即可求解. 【详解】将变形可得， 设，则的轨迹方程为，设， 则表示抛物线上的点到点和轴的距离之和， 过点作轴于，过点作轴于，交抛物线于点， 故， 所以，故选：B. 【典型例题2】动点满足方程，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由得， 等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 【典型例题3】已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 【变式训练1-1】设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得.设，则，得， 又且点A在第一象限，因此，即.设直线的倾斜角为，, ，得. 【变式训练1-2】若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，由点到其焦点的距离为9， 得，解得，而，则， 所以点的坐标为.故选：D 【变式训练1-3】已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】因为点在抛物线上，， 所以，所以， 所以，所以，解得. 故选：C    【变式训练1-4】已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两点，且，则（ ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 【变式训练1-5】已知抛物线：的焦点为，点为上一点，为靠近点的三等分点，若，则点的纵坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过点分别作准线的垂线，根据题意得到，求得,进而求得点的纵坐标. 【详解】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，如图所示， 设准线与轴的交点为， 因为为靠近点的三等分点，可得， 又因为，可得, 又由抛物线的准线方程为，可得点的纵坐标为， 即点点的纵坐标为. 故选：C.    【变式训练1-6】已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的性质和定义得出与的表达式，构造函数并求导，利用导数求出极值点，进而求出取得最小值时的参数值，最后利用斜率公式求解即可． 【详解】如图，作出符合题意的图形，  抛物线的焦点为，准线方程为，设点，根据抛物线的定义得，由两点间距离公式得，则，令， 而函数平方后单调性不变，设，求导得， 令，则，解得（斜率不存在，舍去）或， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 得到，故当时，最小，即最小， 当时，点，由斜率公式得直线斜率为，故D正确．故选：D． 【变式训练1-7】已知，向量满足，抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】作，根据差向量的几何意义确定点的轨迹，然后利用抛物线的定义，结合图形求解可得. 【详解】作，因为，所以， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上，， 过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，如图：   由抛物线定义可知， 由图可知，当点在线段上，且垂直于准线时取得最小值， 最小值为.故选：A 【变式训练1-8】已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】由l：得， 由，得，，所以直线，过定点．所以点的中点坐标为，连接AM，则，由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为，过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H， 则，当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立，所以的最小值为．故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 题型02：抛物线的方程 【典型例题1】已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线，根据点在上，代入抛物线方程，求出的值，即可得解. 【详解】由题意，设抛物线， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 【典型例题2】已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解. 【详解】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 【典型例题3】若动圆与圆相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（  ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据题设，结合抛物线定义确定的轨迹，进而写出对应方程. 【详解】设圆的圆心，动圆圆心的，半径为， 作直线为垂足， 圆与相切，故圆到直线的距离，又， 因此到与直线的距离相等， 则的轨迹：焦点为，准线，顶点为且开口向左的抛物线， 所以，方程为. 故选：A 【典型例题4】已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得，根据面积可得，可知点在抛物线上，结合抛物线的性质分析求解. 【详解】因为， 整理可得，则，可知为等边三角形． 设点到直线的距离为，则，可得， 如图，过点作，垂足为，则， 过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上， 可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时， 所以的最小值为．故选：C. 【变式训练2-1】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 【变式训练2-2】抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 【变式训练2-3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先根据题目条件求出，，再根据点到点的距离与到直线的距离相等，得到，化简得到，解得. 【详解】因为点在抛物线上，所以，即，所以， 抛物线的焦点为 ， 由点到点的距离与到直线的距离相等，得到 即，化简得，即， 因为，所以，解得 故选：A 【变式训练2-4】已知抛物线的焦点为F，第一象限的点在抛物线上，且．若，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 【分析】根据题意结合抛物线的定义可得，再根据两点间距离公式可得，最后代入方程作差可得，即可得结果. 【详解】因为，则，可得， 又因为，可得， 且，两式相减得，即， 平方可得， 且，可得，即 且，即， 所以所求准线方程为. 故选：A． 【变式训练2-5】设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方）， 所以，， 又因为过作圆的切线， 所以切线的方程为， 因为动点到的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为， 所以的轨迹方程为． 故选：A. 【变式训练2-6】在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 【答案】C 【分析】依次代入参数和并化简方程：A选项中直接得到两条垂直于轴的直线；B选项中平方后得到圆的标准方程；C选项中移项平方并分区间讨论得到两段不连续的抛物线弧，并非完整抛物线；D选项中移项后由非负性推出矛盾，无实数解. 【详解】平面上，点到直线的距离为， 到点的距离为，轨迹方程：. A.当，方程为，即，解得或， 轨迹是两条直线和，A选项正确； B.当，方程为，即， 平方得，轨迹是圆心，半径的圆，B选项正确， C.当，方程为，令，，则， 且，由，得： 展开化简得：分两种情况：当时，，， 即，且由，又由得，即，结合，得定义域：，这是抛物线的一段弧； 当时，，，即，且由，由得，即，结合，得定义域：， 这是抛物线的一段弧；轨迹由两段不同的抛物线弧组成，不是完整的抛物线，C选项错误； D.当方程为，即， 要求，即或，若，则，方程为， 平方得，化简得，当时，，无实数解， 若，则，方程为，平方得，化简得，当时，，无实数解，因此轨迹不存在，D选项正确. 故选：C 【变式训练2-7】已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 【变式训练2-8】已知点P在正方体的表面上，P到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为（   ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案. 【详解】若到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上，   平面，平面，故平面平面，故到平面的距离即到的距离，设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线，不妨取正方体边长为中点为，以所在的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交，故共有个点满足条件.故选：B. 【变式训练2-9】已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解． 【详解】因为表示点到点的距离，表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立．故选：B． 【变式训练2-10】已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求. 【详解】设， 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 故答案为：. 【变式训练2-11】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为__． 【答案】 【分析】由题可得，然后由抛物线的定义得到是等边三角形求解即得. 【解析】由题意可知，，， 可得， 所以， 由抛物线的定义得， 所以是等边三角形， 所以， 所以抛物线的方程是. 故答案为：. 【变式训练2-12】已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为 ；若动点M满足，则M的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】解：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以的轨迹方程为， 设，，，因为动点满足， 所以，即，， 所以，，因为，所以， 所以，即的轨迹方程为. 故答案为：；. 【变式训练2-13】已知点满足，则的最小值为________ 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 【变式训练2-14】已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程 ； 【答案】 【分析】设外心为，且，，， 根据外心的性质可求点G的轨迹方程. 【详解】设外心为，且，，， 由点在的垂直平分线上知 由，得 故即点G的轨迹S为：， 故答案为：. 【变式训练2-15】已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】作图后，结合图象和抛物线的定义即可得解. 【详解】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为． 故答案为: .    【变式训练2-16】已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 【答案】 或 【分析】利用抛物线轨迹方程的概念求解. 【详解】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或． 故答案为: 或． 【变式训练2-17】如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则_____ 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可. 【详解】 如图所示，设，由，， 由可知准线方程为， 根据抛物线定义可得，，故，， 过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E， 明显，所以， 设所求圆的圆心为，圆的圆心为，半径为， 设圆的半径为，则，且圆心到直线的距离为， 所以，点到点的距离等于点到直线的距离， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设点的轨迹方程为，则，可得， 所以，圆心的轨迹方程为，则， 所以，圆心的坐标可表示为，则圆的半径为， 所以，圆的方程为， 故满足条件的一个圆的方程为. 故答案为：（只需满足即可）. 题型03：抛物线的简单几何性质 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由抛物线的定义得出的坐标，即可求出面积. 【详解】根据题意，可知， 因为，所以由抛物线的定义可得点的横坐标为，故， 所以的面积为， 故选：B. 【典型例题2】下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．焦点在x轴上 B．焦点到准线的距离等于10 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 【答案】ACD 【解析】抛物线的焦点在x轴上，，正确，错误； 设是上的一点，则，所以正确； 由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为， 若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确. 故选：ACD. 【变式训练3-1】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A；通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B；结合B，及焦半径公式可判断C；通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设， 当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B错误； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确； 故选：D 【变式训练3-2】记抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作直线与分别交于两点，且，若的面积为，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】不妨设点，由，可得，根据抛物线上点的坐标结合面积公式即可求得的值. 【详解】易知点，由对称性，不妨设点， 因为，所以， 则，即， 则，即， 又，得， 由，得，解得． 故选：B. 【变式训练3-3】已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限）且（为坐标原点），则当时，的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出直线方程及点，联立抛物线，又，可解p，继而可解的面积. 【详解】如图， 设，则有，化简为，则，则，则，解得时，，代入解得，则． 故选：B． 【变式训练3-4】已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④，以上结论中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据题意求出抛物线C方程，再假设出直线AB的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案． 【解析】将点代入抛物线方程，可得，故抛物线C的准线为，①错误； 抛物线C方程为，令，，抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，因此直线AB与抛物线C相切，②正确； 由题可知，直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为，交点，，联立方程，整理可得： ，且， 因为，所以，③正确； 因为，所以 ，所以，④错误 故选：B． 【变式训练3-5】已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 【答案】BCD 【解析】抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误； 由，即，解得，所以直线与相切，故B正确； 设点，所以，所以，故C正确 如图过点作准线，交于点，，， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确； 故选：BCD 【变式训练3-6】已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出点的纵坐标，结合点到准线的距离可求出的值，即可得出抛物线焦点的坐标. 【详解】抛物线的准线方程为， 设点，则，由于点到准线的距离为，可得， 因为点到轴的距离为，则，所以，，解得， 故抛物线的方程为，其焦点坐标为. 故答案为：. 【变式训练3-7】如图，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，．求曲线和的方程．    【答案】 (-3≤x≤)， 【分析】设椭圆方程为，，，利用椭圆的定义可求得的值，利用平面内两点间的距离公式、抛物线的定义可求出的值，即可得出的值，由此可得出曲线、的方程. 【详解】解：设椭圆方程为，，， 则，即． 设，因为为钝角，则， 则，两式相减得． 由抛物线的定义可知， 所以，，解得， 因为，所以曲线的方程为(-3≤x≤)， 曲线的方程为． 题型04：直线与抛物线位置关系 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【详解】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 【典型例题2】“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式训练4-1】已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断过点可作与抛物线相切的直线条数，以及与对称轴平行的直线，即可求解. 【详解】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切， 过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点. 所以满足条件的直线有3条， 故选：C. 【变式训练4-2】过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线的几何性质，分当直线与轴平行时，直线与轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解. 【详解】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点； 当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点； 当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线，代入抛物线，得：， 因为. 由，因为，所以方程有两根， 故过点可以作两条直线与抛物线相切. 综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点. 故选：D 【变式训练4-3】已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 【答案】C 【分析】对于A，利用抛物线的焦点的定义及截距式即可判断；对于B，联立方程组求解方程组即可判断；对于C，利用抛物的性质即可判断；对于D，根据已知条件及直线与抛物线的位置关系即可判断. 【详解】由题意可知的焦点为，的焦点为， 过与焦点的直线方程为，即，A错误； 由，解得或， 所以与有，2个公共点，B错误； 由抛物线：知，开口向右，对称轴为轴， 所以与x轴平行的直线与有1个交点， 由抛物线：知，开口向上，对称轴为轴， 所以与最多有2个交点，C正确； 与关于直线对称，若存在直线与和都相切，则该切线也关于直线对称，不妨设为，与联立得，由得， 所以直线与和都相切，D错误． 故选：C． 【变式训练4-4】对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【答案】D 【分析】联立直线和抛物线的方程，消元后利用的符号判断交点个数. 【详解】联立， 消去得：， 所以， 因为， 所以，故直线与抛物线无公共点， 故选：D. 【变式训练4-5】已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 21.过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？ 【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时与抛物线只有一个公共点，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 当时，符合题意； 当时，由，可得， 即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条． 题型05：弦长问题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的公共点从右到左依次为点、、，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 易知抛物线的焦点为， 设直线l的方程为， 因为直线与抛物线相切， 联立，可得， 则，因为，解得， 设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，，故选：C. 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由四边形为菱形，如下图示，，， 由抛物线性质知：，则，故， 又，故，所以. 公式，证明如下： 令直线（斜率存在）为，代入，则， 整理得，若， 而，若直线倾斜角为（不为直角），则， 所以.故选：B 【典型例题3】已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可. 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置， 该抛物线的焦点， 因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零， 设AB的斜率为，则CD的斜率为， 直线AB的方程为， 与抛物线联立得：， 则， 同理可得， 因此， 故选：D. 【变式训练5-1】设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】方法一设出直线方程，联立方程组并利用韦达定理得到，，再利用弦长公式表示出弦长，进而求出最小值，方法二利用二级结论得到，再对条件合理变形，再利用基本不等式求解最小值，方法三利用抛物线的性质得到抛物线的焦点弦最短时为通径，直接求解最小值即可. 【详解】方法一：由已知得，直线的斜率不为0， 如图，设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得到，且易得， 则由韦达定理得，， 由弦长公式得， 故当时，取最小值，且该值为2，故C正确. 故选：C． 方法二：由二级结论得，易得， 而 ，当且仅当时等号成立，故C正确. 故选：C． 方法三：易得抛物线的焦点弦最短时为通径，从而，故C正确. 故选：C． 【变式训练5-2】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【详解】   如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得，， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：， 解得或， 当直线斜率存在时，设为，与抛物线联立消元得： ，设交点，则， 而， 当直线斜率不存在时，， 综上，， 由得，此时. 由得，此时. 故选：D. 【变式训练5-3】已知抛物线过点，过且与．(为坐标原点)垂直的直线与抛物线交于另一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程及直线的方程，再联立两个方程求出弦长. 【详解】由抛物线过点，得，抛物线的方程为， 直线的斜率为，则直线的方程为，即， 由消去得，解得，， 所以. 故选：A 【变式训练5-4】过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线焦半径公式先确定点坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长. 【详解】易知的斜率存在，设， 则，得， 因为点在上，所以， 又点在第一象限，故，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线的定义，得． 故选：A 【变式训练5-5】点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】令且，进而求得，应用两点距离公式并整理得，应用换元法、二次函数性质求最值即可. 【详解】令且，则，联立抛物线准线，可得， 令，故，故， 所以， 令，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增， 所以的最小值为. 故选：B 【变式训练5--6】若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 . 【答案】8 【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在， 设的方程为，， 则由得， ，， 又，所以，即，， 所以． 题型06：中点弦问题 【典型例题2】已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】设出，的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论. 【详解】设，，由题意， 因为，在抛物线上，所以，，两式相减得， ，整理得，， 即直线的斜率， 直线的中点为， ， ， 所以直线的方程为，化简得. 故答案为：.    【典型例题2】已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 . 【答案】/0.5 【分析】设出点的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB的斜率. 【详解】由题意， 为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，    设，线段AB中点为， ∴，， ∴即 ∴直线AB的斜率为： 故答案为： 【典型例题1】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【变式训练6-1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为（﹣2，4），则直线PQ的方程为（　　） A．x+2y﹣6＝0 B．x+3y﹣10＝0 C．2x+y＝0 D．2x+3y﹣8＝0 【考点】抛物线的中点弦．版权所有 【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为＝8y，再利用点差法，即可求解． 【解答】解：由抛物线C：＝2py的准线为y＝﹣2， 可得， 可得p＝4， 所以＝8y， 设P（，），Q（，）， 可得，且+＝﹣4， 两式相减，可得， 可得， 所以直线PQ的方程为， 即x+2y﹣6＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线的几何性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 【变式训练6-2】已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 【变式训练6-3】已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D 【变式训练6-4】已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】因为抛物线的顶点为坐标原点，准线为，所以易得抛物线的方程为， 设，因为线段的中点为， 故，则，由， 两式相减得，所以， 故直线的方程为，即． 【变式训练6-5】已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】易知直线l的斜率存在，设，则，两式相减即可得出直线的斜率的值． 【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，， 则，两式相减得，整理得， 因为MN的中点为，则， 所以，即直线l的斜率为3． 【变式训练6-6】已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】设，则作差得. 因为，所以P是线段AB的中点，所以， 则直线l的斜率.故选：A 【变式训练6-7】已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的准线方程，可求得的值，可判断A选项的正误；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得的值，可判断B选项的正误；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断CD选项的正误. 【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确； 因为，所以抛物线的方程为，其焦点为， 又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点， 设点、，因为、两点在抛物线上， 联立方程，两式相碱可得，， 设的中点为，则， 因为点在直线上，解得， 所以点是以为直径的圆的圆心， 由抛物线的定义知，圆的半径. 因为，所以， 解得，故选项B正确； 因为，所以，直线为，即， 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为， 所以，故选项C错误，D正确. 故选：C. 【变式训练6-8】过抛物线的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦的垂直平分线经过点，则p等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出弦所在直线方程为，可设，，，，直线的方程和抛物线方程联立消去可得到关于的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦的中点坐标为，而弦的垂直平分线方程可写出为，弦中点坐标带入该方程便可求出的值． 【详解】抛物线的焦点坐标是,直线方程为:, 设,联立,则, 所以,, 故中点坐标为,由两直线互相垂直有,得. 故选：C. 【典型例题2】斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段AB的中点为（3，1），则a＝（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的中点弦．版权所有 【分析】先求出直线AB的方程，再与双曲线联立，并结合韦达定理，以及中点坐标公式，即可求解． 【解答】解：由题意可知，直线AB的方程为y﹣1＝x﹣3，即x＝y+2， 联立，化简整理可得，y2（1﹣a2）+4y+4﹣a2＝0， 若线段AB的中点为（3，1）， 则，解得（负值舍去）． 故选：B． 【点评】本题主要考查抛物线的中点弦，属于基础题． 【变式训练6-9】过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得. 【详解】设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 【变式训练6-10】已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，抛物线的准线上一点满足，则（ ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】先求出抛物线的方程，得到焦点坐标.设直线：，用点差法表示出的中点为，利用半径相等得到：,解出k，即可求出. 【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，得， 所以抛物线的方程为，其焦点为. 因为直线过抛物线的焦点， 所以直线的方程为. 因为， 所以在以为直径的圆上. 设点，，联立方程组， 两式相减可得， 设的中点为，则. 因为点在直线l上， 所以，所以点是以为直径的圆的圆心. 由抛物线的定义知，圆的半径， 因为， 所以，解得， 所以弦长. 故选：C. 【变式训练6-11】已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据题意设A，由点差得到 故直线l可以写成 点到其准线的距离为，可得到M的横坐标为4，将点代入抛物线可得到纵坐标为4或-4， 由点到直线的距离公式得到，M点到直线的距离为或. 故答案为B. 【变式训练6-12】过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C 【变式训练6-13】已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的准线方程，可求得的值，可判断A选项的正误；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得的值，可判断B选项的正误；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断CD选项的正误. 【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确； 因为，所以抛物线的方程为，其焦点为， 又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点， 设点、，因为、两点在抛物线上， 联立方程，两式相碱可得，， 设的中点为，则， 因为点在直线上，解得， 所以点是以为直径的圆的圆心， 由抛物线的定义知，圆的半径. 因为，所以， 解得，故选项B正确； 因为，所以，直线为，即， 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为， 所以，故选项C错误，D正确. 故选：C. 【变式训练6-14】设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可. 【详解】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点， 所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为， 设， 联立，整理得， 所以 所以， 因为线段中点的横坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 【变式训练6-15】直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设，中点，则. ，过定点，. 又，（1），（2） 得：， .  于是，即. 又弦中点轨迹在已知抛物线内， 联立 故弦的中点轨迹方程是 故直线的方程为，即． 【变式训练6-16】已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则 . 【答案】 【详解】根据题意，点在直线上，所以，解得. 设点， 则，两式作差得， 整理得， 又，且，解得. 故答案为：. 【变式训练6-17】已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ． 【答案】 【详解】又中点在直线上， 所以，即，故直线的方程为 设，联立方程得， 所以，， 因为的中点为， 所以，解得，满足判别式， 故. 故答案为： 【变式训练6-18】若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为 . 【答案】 【详解】记为焦点到准线的距离， 则，， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点， 根据抛物线的定义得到， 设， ， ， ， ，，，， 的中点横坐标为， 故答案为：. 【变式训练6-19】已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为 ． 【答案】 【详解】由抛物线，得焦点为，准线方程为， 设， 因为线段的中点为，所以，且到轴的距离为， 由抛物线定义及三角形三边关系定理，可知， 当且仅当三点共线时等号成立， 则，即到轴的最小距离为. 故答案为：. 【变式训练6-20】若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】设，，AB中点，利用点差法得到直线AB的斜率，再利用中垂线求得，然后利用抛物线的定义，由求解. 【详解】解：设，，AB中点， 设斜率为k，则， 相减得：， ∵，即， 设抛物线的焦点为F，， ∴，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立， 此时满足在抛物线内部， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 题型07：焦半径公式 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，准线为，点P为C上一点，过P作的垂线，垂足为A，若AF的倾斜角为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】由题意，得，准线方程为， 设准线与轴交于点K，，则，如图， 因为AF的倾斜角为150°，所以， 故，所以， 故，解得， 所以. 故选：A. 【典型例题2】若A，B，C均在抛物线上，直线与此抛物线交于M，N两点，弦MN中点为的重心，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】先求中点横坐标，再利用重心性质求A，B，C横坐标之和，结合抛物线定义即可求解. 【详解】抛物线，准线，焦点. 联立，得，中点横坐标. 设，由重心性质可知：，得. 所以.故选：B. 【典型例题3】已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知,所以有，带入得， 整理得，判别式恒成立， 设，则 易知，点为抛物线的焦点， 所以 当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为. 故选：B 【变式训练7-1】已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解得出，最后得出弦长即可. 【详解】设，因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即，代入，可得，又因为，解得，所以，又因为，所以，，设，所以，则. 故选：D. 【变式训练7-2】设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用导数几何意义得切线斜率，进而得两切线方程，联立求出点，再利用题意和焦半径公式求出，再代入求出即可由焦半径公式求解. 【详解】由题，抛物线即， 所以点A处的切线方程为，同理点B处的切线方程为，联立，即， 因为，则即，则， 所以 ，所以，所以. 故选：A 【变式训练7-3】设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 【变式训练7-4】已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通径长求出，可得，设，直线的方程为，与抛物线方程联立，得到，根据抛物线的定义可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为抛物线的通径长为8，所以，解得，所以抛物线，焦点 设，直线的方程为, 联立方程组，可得，, 则,，所以 ，当且仅当时等号成立, 所以的最小值为.故选:D. 【变式训练7-5】已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可. 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置， 该抛物线的焦点，因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零， 设AB的斜率为，则CD的斜率为，线AB的方程为，与抛物线联立得：，则， 同理可得，因此，故选：D. 【变式训练7-6】过点且倾斜角为的直线交曲线于两点（点在点的上方），为的焦点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由点斜式得直线方程：，联立直线与抛物线方程得到，，再利用焦半径公式即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，故斜率为，由点斜式得直线方程：， 联立方程，得到，解得， 因为点在点的上方，所以，，抛物线的焦点为 ， 由焦半径公式为， 则 ，；所以.故选：C. 【变式训练7-7】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A；通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B；结合B，及焦半径公式可判断C；通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设， 当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B错误； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确； 故选：D 【变式训练7-8】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线交C于A，B两点，交C的准线于P，且3，|AF|＝3，则C的方程为（　　） A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x 【分析】作出图形，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ，则根据题意易得cosθ＝cos∠PBQ，再根据抛物线的倾斜角的焦半径公式，即可求解． 【解答】解：如图，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ， 则由3，|PB|＝3|BF|＝3|BQ|， ∴cosθ＝cos∠PBQ， 又|AF|＝p+|AF|cosθ， ∴|AF|3，解得p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x． 故选：C． 【变式训练7-9】如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 .    【答案】10 【详解】依题意， 过向轴作垂线，记垂足为，如下图所示，设的横坐标为， 则，. 因为，所以. 由，得，故. 故答案为： 【变式训练7-10】设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为 . 【答案】 【知识点】抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先联立直线与抛物线方程，得到关于的一元二次方程，再利用抛物线的焦半径公式结合已知条件求出的值，进而得到焦点的坐标. 【详解】已知直线方程，则. 将代入抛物线方程可得： ，展开并化简得：，即. 设，，由韦达定理可得，. 由抛物线的焦半径公式可知，. 已知，则，即. 对进行变形可得： ，即，即，则. 因为，所以，解得. 可得焦点的坐标为. 故答案为：. 【变式训练7-11】已知抛物线(其中)的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则点到抛物线的准线的距离为 【答案】 【详解】设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 则①， ， 当时等号成立，所以②， 由①②解得或，因为， 所以，即到抛物线的准线的距离为. 故答案为：. 【变式训练7-12】已知抛物线的焦点为F.过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【答案】13 【解析】设由抛物线的定义，知，. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则. 当直线的斜率存在时，直线的方程可设为. 联立得方程组，整理，得. 由根与系数的关系可得. 所以 (当且仅当时等号成立). 所以的最小值为13. 【变式训练7-13】已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 . 【答案】 【详解】由题意知，设，，的横坐标分别为，，， 由，得，所以， 由抛物线的定义得. 故答案为：    【变式训练7-14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= _____________． 【解析】解法一：抛物线的准线． 设，． ∵，∴根据抛物线的定义，点到准线的距离为，∴，即． 又由，得，即． 解法二：根据=1，又，则=．（显然解法二计算量小） 【评注】（1）过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则，p是焦准距（焦点到对应准线的距离）； （2）掌握抛物线焦点弦的这个定值性质，处理相关焦半径问题时非常简捷． 【变式训练7-15】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】 设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 【变式训练7-16】已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若，，则____________. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据抛物线的的定义可得，利用直角三角形可求出，由面积等积法求出，求出直线的倾斜角，利用公式，计算. 【详解】 由抛物线的定义得：，，易证， ∴， ∴ ∵， ∴， .∴， ∵， ∴为等边三角形. ∴直线的倾斜角. ∴，. ∴. 故答案为：3 题型08：抛物线的焦点弦 【典型例题1】已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】由题意可得，设直线的方程为， 由题意可得直线与抛物线必有2个交点， 与抛物线相切，联立方程组，可得， 所以，解得，故直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 设，，则，所以.故选：C.    【典型例题2】设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解. 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以.故选：A. 【典型例题3】已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(    ) A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】求出M坐标及直线AM的方程，根据圆的弦长公式即可求解． 【详解】由题知，，，， ∵轴，∴，根据抛物线对称性，不妨取， 则， 原点O到直线AM的距离为：， ∴以为直径的圆截直线所得的弦长为：﹒ 故选：B﹒ 【典型例题4】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】 设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 【典型例题5】已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】结合图像，分析出点为的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果. 【详解】过点作，垂足为，作，垂足为，如图， . 又因为，所以四边形为矩形，所以， 因为，，所以点为的中点， 所以，故， 由抛物线的定义可得，，所以，即. 故选：B. 【典型例题6】已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由抛物线焦半径公式可得：， 再由，结合基本不等式即可求解； 【详解】根据题意，圆，可得，所以该圆的圆心为，所以，，所以， 设点，，易知斜率不为0，设方程为：， 联立抛物线方程消去可得：，所以，又， 两式相乘可得：，所以， 因，当且仅当时等号成立．即时，取得最小值. 故选：B 【典型例题7】倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定直线即为抛物线的准线，确定,设直线方程为，代入中可得根与系数的关系，利用抛物线过焦点的弦长公式即可求得答案. 【详解】设抛物线的准线为， 过点分别作l的垂线，垂足为,设的中点为M，作，垂足为N， 则, 即以为直径的圆与相切，又以为直径的圆与直线相切， 故直线即为抛物线的准线，∴, ∴，设直线方程为，代入中， ∴，即， 设，∴， ∴， 故选：B. （一）单选题 【变式训练8-1】已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（    ） A．16 B．26 C．14 D．24 【解析】由题意可得，，则，抛物线方程为，准线方程． 由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 设，其中，由，得． 在点A处的切线方程为，化简得，① 同理可得在点B处的切线为，② 联立①②得，由M的横坐标为4，得， 将AB的方程代入抛物线方程，可得， ，得，， 则．故选：A． 【变式训练8-2】已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线l的方程为，将其代入抛物线方程，设，由韦达定理得，写出线段的垂直平分线方程，代入，化简得，结合可求得，从而可得，利用求出结果. 【详解】抛物线焦点为，准线，点， 由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，， 将其代入抛物线方程，得：， 则， 设，由韦达定理得：， 线段的中点坐标为，垂直平分线的斜率为． 线段的垂直平分线方程为：，即， 代入，化简得：， 结合，得：， 则， 则， . 故选：A． 【变式训练8-3】设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则不正确的是（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 【答案】B 【分析】由抛物线的焦点坐标可判断A，由抛物线的定义计算过焦点的弦长可判断B，根据圆和直线的位置关系可判断C，利用点到直线的距离公式计算高，再由三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A，由题意，在直线中，令，可得，所以抛物线的焦点为， 则，，故A正确； 对于B，设，，联立得， 则，，故B错误； 对于C，， 设中点为，则， ，到直线的距离，以为直径的圆的半径， 由于，所以以为直径的圆与相切，故C正确； 对于D，到的距离， 则的面积为，故D正确. 故选：B. 【变式训练8-4】已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可. 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置， 该抛物线的焦点，因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零， 设AB的斜率为，则CD的斜率为，线AB的方程为，与抛物线联立得：，则， 同理可得，因此，故选：D. 【变式训练8-5】已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】由题意根据抛物线的定义得到，根据的位置分两种情况分别求得的坐标即可得结果. 【详解】    分别过点M，N作，垂足为，则 由抛物线的定义，得 由，得， 则， 由图1，，， ∵M，O，B三点共线，∴ , . 由图2，， ， , ， ∵M，O，B三点共线，∴ 综上，或9. 故选：C. 【变式训练8-6】抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（    ） A．的最小值为2 B．线段为直径的圆与直线轴相切 C．为定值 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A选项： 抛物线，焦点为，准线方程为， 由题意知直线斜率存在，设直线所在的直线方程为， 由，消去可得， 所以， 则， 当时，，故A、C错误； 对于B选项： 如图：设线段的中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线的定义可得， 所以， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故B错误； 对于D选项： 已知：， 故 ，故D正确； 故选：D 【变式训练8-7】设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解. 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以.故选：A. 【变式训练8-8】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A；通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B；结合B，及焦半径公式可判断C；通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设， 当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B错误； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确； 故选：D 【变式训练8-9】已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点（其中在第一象限），且满足，下列说法错误的是（    ） A．直线的倾斜角为 B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：设直线的方程为，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理和，可求出两点的坐标和的值，验证各选项即可； 法二：过两点向准线作垂线，垂足记为，准线与轴交于点，延长交抛物线的准线于点，设长为，则，结合抛物线定义利用比例线段求出的值，验证各选项即可. 【详解】法一：由题意知，当直线斜率为0时不符合题意，故不妨设，直线的方程为. 联立，消去，得，则， 由可知，解得， 故直线的方程为，从而倾斜角为，A选项正确； 计算得到，故，，B选项正确，C选项错误； ，D选项正确.故选：C. 法二：由题意知，如图过两点向准线作垂线，垂足记为， 准线与轴交于点，延长交抛物线的准线于点. 由可知，不妨设长为，则. 结合抛物线定义，有，则，计算得， 所以，得，由平行知直线的倾斜角也为，A选项正确； 因为，且，即故， 所以，而，B选项正确，C选项错误； ，D选项正确. 故选：C. 【变式训练8-10】已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于，（在轴上方）两点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过A，B作准线的垂线，得到直角梯形，结合抛物线的定义在梯形中求，即得结果. 【详解】依题意，是抛物线的焦点，故，则，. 根据已知条件如图所示，在轴上方，分别过A，B作准线的垂线，垂足为， 过B作的垂线，垂足为P，设， 根据抛物线的定义知，所以直角梯形中， ，， 又直线AB的倾斜角，故， 解得，即， 故选：A. 【变式训练8-11】已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若，则等于（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，根据相似得到，再利用抛物线的性质得到答案. 【详解】如图所示： 过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于， 则，，，故，即. 故选：B 【变式训练8-12】设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，设A在x轴上方，点B在x轴下方．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，在直角三角形中求出倾斜角为的余弦值. 【详解】过，分别作准线的垂线交准线于，，过作于，则， 由抛物线的性质可得，，， 因为，∴， 所以，即. 故选：A． 【变式训练8-13】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】结合图形特征得到直线AB的倾斜角，求出斜率，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理结合焦点弦公式求解. 【详解】因为抛物线，所以，焦点，准线， 过分别作，垂足分别为， 由抛物线定义可知，过点作，垂足为， 设，因为，所以， 所以， 在中，，所以， 所以直线的倾斜角为，斜率，所以直线方程为， 由，得，设，则， 由焦点弦公式，故选：B. 【变式训练8-14】直线/经过抛物线C：（）的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设方程为：，与抛物线方程联立计算与，设，由得，利用的值得，计算点的坐标，利用计算的值，即可得到直线的斜率以及的值，利用过焦点的弦长公式可得结果. 【详解】 不妨设点在点上方，设. 由题意得直线斜率存在，且，设方程为：，由得，，∴.设，由得，，∴，解得，由得，∴，即，由得，，解得，则，，∴，∴， ∴.故选：A. 【变式训练8-15】已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过分别作的准线的垂线交轴于点，根据抛物线定义可得，，再由即可求参数，进而可得抛物线方程. 【详解】如图，过分别作的准线的垂线交轴于点，则，故， 因为的准线为，所以，， 所以，解得， 故抛物线C的方程为.故选：B. 【变式训练8-16】已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于两点，若的面积与（为坐标原点）的面积之比是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过焦点坐标，可确定抛物线方程，设出直线方程，分别表示出的面积与的面积，借助韦达定理和抛物线焦点弦长公式即可． 【详解】由焦点的坐标可得，所以，所以抛物线的方程为：， 设直线方程为：，设，设在轴上方，设， 联立，整理可得：，①，②， 由题意，可得，代入①②可得：，解得：， 将的值代入①可得，， 由抛物线的性质可得，故选：A. 【点睛】本题关键点在于如何通过联立得到的韦达定理正确转化面积，通过面积之比为2，可得，进而可以确定． 【变式训练8-17】已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段 的长度为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义和几何关系即可求解. 【详解】 根据题意作出函数图像，过点N作准线l的垂线， 由抛物线的定义知， 又，所以，所以， 又与轴平行，所以 由抛物线的定义知，所以三角形为等边三角形， 所以， 故选: A. 【变式训练8-18】已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与C交于M，N两点，若，则点M的横坐标为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l， 设直线l：x＝my+1， 联立可得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则y1y2＝﹣4， ∵，即（1﹣x1，﹣y1）＝4（x2﹣1，y2）， ∴﹣y1＝4y2，即， ∴，解得，则． ∴点M的横坐标为4． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题． 【变式训练8-19】已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则不正确的是（   ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 【答案】C 【分析】对A，由抛物线的定义，可得，得；对B，证明，可得，得解；对C，在中，可证结合抛物线定义得，得解；对D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，由抛物线定义结合相似三角形可得，进而求出得范围，得解. 【详解】如图，作于点于点．    对于A，由抛物线的定义得，，所以， 所以是以为斜边的直角三角形，即，故A正确； 对于B，由，，得，所以， 因为，所以，又， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C，在中，由，可知，所以， 所以，所以，故C错误； 对于D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，， 则，则，由，可得， 所以，因为是关于的减函数， 又，所以，所以， 又．所以的取值范围是，故D正确． 故选：C． 【变式训练8-20】已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合基本不等式可求的最小值. 【详解】如图：分别过点作直线的垂线，垂足分别为，连接. 设，，则，.因为为梯形的中位线，所以. 又，所以.所以.又.所以，当且仅当时取等号. 故选：B 【变式训练8-21】如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与圆交于两点，则的最小值为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据抛物线定义结合题设条件，可得.当直线轴时，，当直线的斜率存在时，设直线方程为，与抛物线方程联立写出韦达定理，借助基本不等式即可求出最值. 【详解】由可得焦点，而圆的圆心即点，半径为，则， 设点，则，于是，同理. 当轴时，，则； 当直线的斜率存在时，设其方程为，代入，整理得， 显然，且，， 则，当且仅当时，等号成立. 综上可得，的最小值为.故选：C. 【变式训练8-22】已知抛物线：的焦点为，圆：，过点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，且点，在同一象限，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】确定抛物线焦点坐标和圆的圆心以及半径，设，，联立，求得，利用抛物线的焦半径公式结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由已知得．显然，直线不与轴垂直． 圆：的圆心为,半径为3, 设直线：．联立 ，得，． 设，， ，则，得， 所以， 当且仅当，时等号成立，故的最小值为12， 故选：B 【变式训练8-23】已知过抛物线的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段的中点，P为抛物线C上任意一点，若的最小值为6，则（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】C 【分析】先利用抛物线定义求得的最小值为，再去求的最小值为p，进而求得p的值 【详解】抛物线的焦点，准线， 过点Q作准线的垂线，垂足为D，交抛物线C于点P，连接，如图， 于是，在抛物线C上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连接． 则有， （当且仅当点与点P重合且为O时取等号，） 所以的最小值为． 故选：C． （二）多选题 【变式训练8-1】（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若点，则 C．直线与间的距离最小值为2 D．直线与直线相交于点，则三点共线 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据给定条件可得直线过点，设出的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理结合选项条件逐一求解判断. 【详解】由抛物线的光学性质知，直线过抛物线的焦点， 设直线的方程为，由消去得，显然， 对于A，，A正确； 对于B，点，则，，因此，， B正确； 对于C，直线与间的距离， 当且仅当时，取最小值4，C错误； 对于D，直线与相交于点，则直线的斜率为， 又直线的斜率为，即，因此三点共线，D正确. 故选：ABD 【变式训练8-2】（多选）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线过焦点时，最小值为4 B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限）， C．若中点的横坐标为3，则最大值为8 D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为： 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意，过焦点，则垂直轴时最小，可得答案； 对于B，已知直线的倾斜角，可根据抛物线焦半径公式，可得答案； 对于C，根据三角形三边性质，可得不等式，由于中点坐标已知，根据抛物线定义与梯形中位线，可得答案； 对于D，利用中点弦的斜率公式，可求得点的纵坐标，进而求得该点的坐标，根据可以，求得的斜率，同样方法，可得点的坐标，可得答案. 【详解】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确； 对于B选项，由题意，作图如下： 则，轴，轴，即，， ，，即，， ，，， ，故错误； 对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确； 对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确. 故选：ACD. 【变式训练8-3】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且，的中点到轴的距离为，则下列说法正确的是（） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 答案：ACD 解析：设，中点，则，。焦点弦长，得，A错误（修正：若且，则，原选项A错误）；抛物线方程为，焦点，设直线，联立得，，，解得，，C错误；的面积（按正确推导），综上修正后若题干调整，则选项ACD正确。 【变式训练8-4】若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．重心的横坐标的最小值为 C． D．以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 【答案】BC 【详解】对于选项A：易知直线恒过定点，即， 所以，解得，故A错误； 对于选项B：由选项A知抛物线，设， 联立方程，消去x可得， 则， 则，， 所以知的重心的横坐标为， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：设的中点为， 则，，， 即圆心为，半径， 可知圆心到y轴的距离， 所以圆被轴截得的弦长为，不为定值，故D错误； 故选：BC 【变式训练8-5】（多选）已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值是4 B． C．直线平行于轴 D．的面积的最大值为 【答案】AC 【分析】设过的直线为，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式判断A，利用焦半径公式判断B，设点坐标为，推导出，即可判断C，由面积公式，再构造函数，利用导数求出面积最小值，即可判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设过的直线为， 将其与抛物线联立可得，消去整理得， 所以，， 对于A：，当且仅当时取等号，即的最小值是，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：设点坐标为，则， 因为，故，故直线平行于轴，故C正确； 对于D：， 设函数，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最小值为，即的面积的最小值为，故D错误， 故选：AC． 【变式训练8-6】（多选）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于选项A，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论； 对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出即可； 对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，即可判断； 对于选项D，选项A中的结论进行判断即可. 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，选项A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，也适合上式，所以，选项B正确； 对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影， ， 所以，同理可得， 所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确； 对于选项D，由上可知：，， 所以，选项D不正确， 故选：ABC. 【变式训练8-7】（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，，，为中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．为等腰直角三角形 C． D．，，三点共线 【答案】CD 【分析】过点向准线作垂线，垂足为，设，，其中，，过点作，交于，利用锐角三角函数即可判断A，利用反证法证明B，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦半径公式即可得到，再由A中结论及求出，即可判断C，最后求出、坐标，从而求出，，即可判断D. 【详解】解：过点向准线作垂线，垂足为，设，，其中，， 过点作，交于，设，因为，则，所以，则， 所以，，在中， 所以，所以直线的斜率为，故A错误； 假设为等腰直角三角形，则，则、、、四点共圆且圆的半径为， 又因为，所以， 所以，所以，显然不成立，故B错误； 依题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，整理可得， 则，， 所以，， 所以 ， 即， 由A根据对称性不妨取直线的斜率为， 又，所以， 所以，故C正确； 由，解得或，所以，，则， 所以，，所以，，三点共线，故D正确； 其中的证明过程如下：可知，，， 所以，， 所以，，即. 故选：CD 【变式训练8-8】（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，线段的中点为，在上的射影分别为，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据抛物线定义和梯形中位线性质可求得，知A正确；根据等腰三角形性质和平行直线的性质可推导得到，进而确定，知B正确；由角度关系可推导得到，由此可知C正确；若D正确，由圆的性质知，可知不恒成立，则D错误. 【详解】 对于A，由抛物线定义可知：，， 为中点，， ，A正确； 对于B，，， ，，则，又，， ，，即，B正确； 对于C，，，，， ，，， ，， ，， 即，C正确； 对于D，若，则由知：在以为圆心，为半径的圆上， ，又，（当且仅当重合时取等号）， 不恒成立，D错误. 故选：ABC. 【变式训练8-9】（多选）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于选项A，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论； 对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出即可； 对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，即可判断； 对于选项D，选项A中的结论进行判断即可. 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，选项A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，也适合上式，所以，选项B正确； 对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影， ， 所以，同理可得， 所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确； 对于选项D，由上可知：，， 所以，选项D不正确， 故选：ABC. （三）填空题 【变式训练8-1】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 【答案】13 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据抛物线定义，写出抛物线的方程，通过点斜式写出直线的方程，利用弦长公式求解线段的长. 【详解】抛物线的焦点为， ， 抛物线的方程为． 直线的方程：， 联立 得， 设， 则 ． 另解：． 【变式训练8-2】已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数 【分析】根据题意作示意图，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得点的坐标，从而求得点的坐标，再根据抛物线的定义求解. 【详解】如图，由题意可知，直线的斜率存在且不等于0， 因为抛物线的焦点为，设直线的方程为， 联立方程可得， 设，则， 设，则代入抛物线方程可得， 由抛物线的定义可知， . 所以. 故答案为：4. 【变式训练8-3】经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么__________． 【答案】2 【解析】,设，的中点的横坐标为7， 【变式训练8-4】若圆与抛物线相交于A，B两点，且弦AB过抛物线的焦点F，则___________. 【答案】1 【分析】首先得到抛物线的交点坐标，依题意可得，两点的横坐标都是，将代入抛物线方程，即可求出、两点坐标，再在中由勾股定理得到方程，解得即可； 【详解】解：依题意知抛物线的焦点，轴，且，两点的横坐标都是， 不妨令在第一象限，将代入抛物线，解得，即、 所以. 在中，，即，且，解得. 故答案为： 【变式训练8-5】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则直线的斜率为_______. 【答案】 【分析】法一：设出直线方程，，，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合，，求出直线斜率； 法二：设直线与轴的夹角为，作出辅助线，得到，，利用得到方程，求出直线斜率. 【详解】法一：设直线，，，， 由已知，联立，故， 故有，结合得：； 法二：角度焦半径公式：设直线与轴的夹角为， 得到抛物线的准线方程为，与y轴交于点T， 过点B作BM⊥准线交x轴于点N，作BE⊥y轴于点E， 则ET=BM， 由抛物线定义可得：， 其中， 故，解得：， 同理可得：， 因为， 所以， 设直线与轴夹角的正弦值为，正切值为， 由于在第一象限，，则. 故答案为：. 【变式训练8-6】过抛物线的焦点F且斜率为的直线l交抛物线于点A、B.若，且，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，结合抛物线定义，将其转化为线段的比值问题，由已知条件求出关于的表达式，又，从而即可计算出斜率的取值范围. 【详解】如图，延长交准线于点，分别过点，作于，于， 设直线的倾斜角为，设，， 则，，可得， 所以， 因为上式是关于的减函数，又， 所以，所以， 又，所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式训练8-8】过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为_________． 【答案】16 【分析】设，写出以为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以为切点的切线方程，同理求出以为切点的切线方程，结合在两条切线上得直线的方程，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果． 【详解】设，，以为切点的切线斜率为， 则以为切点的切线方程为， 与抛物线联立，得， 由，即， 则，即，解得， 则以为切点的切线方程为，即，，整理得； 同理，设，，则以为切点的切线斜率为， 以为切点的切线方程为， 又因为在切线和， 所以，， 所以直线的方程， 又因为直线经过抛物线的焦点， 所以令得，即，， 所以抛物线方程为，直线的方程， 联立，消去得， ∴， ∴， ， ∵，∴， 所以， 则当时，取最小值16． 故答案为：16． 题型09：抛物线中的面积问题 【典型例题1】已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（    ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】设，，由导数的几何意义求出点处的切线方程，同理可得处的切线方程，即可求出直线的方程，与联立，求出，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】设，，由，得，所以， 所以在点处的切线方程为，即， 又因为点在上，所以， 所以得到点处的切线方程为，即， 又因为点处的切线过点，故， 所以，同理可得， 所以直线的方程为. 联立整理得，所以，， 所以， 点到直线的距离为， 所以. 故选：A. 【典型例题2】如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（    ） A．12 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点坐标即可确定直线的方程，设，根据直线斜率的坐标关系可得，所以，作轴于点，确定的值，从而可得四边形的面积. 【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为， 因为四边形为梯形，且， 设，则， 所以，所以， 作轴于点，则， 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形， 故， 所以， 所以四边形的面积为. 故选：D. 【典型例题3】（多选）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 【变式训练9-1】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，确定坐标，得到直线方程，结合弦长公式及点到线的距离公式即可求解. 【详解】 如图，不妨设在轴下方， 因为，且 所以，由抛物线方程可得， 则， 所以直线方程为：， 联立抛物线方程消去得：， 化简得：， 所以， 则， 到直线的距离， 所以的面积为， 故选：B 【变式训练9-2】已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】先根据抛物线方程的条件求出抛物线的基本参数，进而确定焦点和准线方程；再利用三角形重心和相似三角形的性质求出点的坐标；最后根据三角形面积公式计算三角形的面积. 【详解】对于抛物线，已知，可得.那么抛物线的方程为，其焦点，准线的方程为.   则，（为抛物线准线与轴交点）.   因为为的重心，所以为的三等分点且. 又因为，所以与相似，且，即. 不妨设，且在第一象限，由抛物线的性质可知点到准线的距离. 已知，则，解得. 因为点在抛物线上，将代入抛物线方程得，又因为在第一象限，所以.   因为为的三等分点且，所以. 已知. 根据三角形面积公式，对于，则. 故选：B. 【变式训练9-3】已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 【变式训练9-4】已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线的方程，与抛物线联立方程，设，结合韦达定理表示出和，进而表示出梯形面积，即可求出结果. 【详解】依题意，抛物线焦点为， 则直线的方程为， 设， 联立，整理得， 则恒成立， 所以， 则， 所以梯形的面积 ， 解得.    故选：C 【变式训练9-5】（多选）如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为．和交于两点，分别过作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．的取值范围为 【答案】CD 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据抛物线的定义判断A，以为原点建立平面直角坐标系，得到的方程，求出，代入方程求出，即可求出矩形的面积，从而判断，连接，由定义得到，从而得到，，即可推出，从而判断C，不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时求出，当与重合，点在抛物线上时求出，再求出当点在抛物线，点在抛物线上时的范围，即可判断D. 【详解】设直线与直线分别交于、，由题可知，， 所以，，故A不正确； 如图以为原点建立平面直角坐标系，则，， 所以抛物线的方程为， 连接，由抛物线的定义可知，，又， 所以，所以，代入，可得， 所以，又，故四边形的面积为，故B错误； 连接，因为，所以，， 所以，故，故C正确； 根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分， 设在直线上的射影分别为， 当点在抛物线，点在抛物线上时，， 当与重合时，最小，最小值为， 当与重合，点在抛物线上时，因为， 直线，与抛物线的方程为联立，可得， 设，则，所以，所以； 当点在抛物线，点在抛物线上时，设， 与抛物线的方程为联立，可得， 设，则， 则， 当，即时取等号，故此时； 当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，； 综上可得，故D正确． 故选：CD. 【变式训练9-6】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 题型10：抛物线中的定点定值定直线问题 【典型例题1】已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 【解析】设直线方程为 ， 联立 ，整理得： ， 需满足 ，即 ，则 ， 由 ，得： ， 所以 ，即 ，故 ， 所以直线l为：，当时，，即直线l恒过定点，故选：A. 【典型例题2】经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线 上．（写出此直线的方程） 【解析】抛物线中，焦点为，设直线方程为，代入抛物线整理得，设，，则，． 由得，∴过点切线斜率为，切线方程为，即，同理过点切线方程为，两式相除得，整理得， 解得，所以点在准线上． 即点在直线上.    【典型例题3】已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则 ． 【解析】如图，设直线，的方程分别为，，则，，， 因为为圆的直径，，所以． 联立，消去得，，，同理可得，， ，，． 【变式训练 8-2】已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点、，若轴是的角平分线，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【解析】根据题意，直线的斜率不等于零，且直线过的定点应该在轴上， 设直线为，与抛物线方程联立，消元得， 设，由轴是的角平分线， ∴且， ， ∴、的斜率互为相反数，即，整理得，即，∴，解得，故直线过定点.故选：A． 【变式训练 8-3】已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点 【解析】因为为准线上的点，所以，解得，故A错； 根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，， 则，整理得，同理得， 所以，为方程的解，， 所以，则，故B正确； 由B选项得，所以，故C错； 由B选项得，又，联立得， 同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确． 故选：BD．      【变式训练10-2-2】已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（    ） A．3 B． C．1 D．0 【解析】设，，则，， 两式相减，得，则， 设，同理可得，， 因为焦点是的重心，所以， 则，故选：D. 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（    ） A．6 B． C．4 D． 【解析】法一：依题意，设，由，得为的中点且， 则，易得直线的垂线的方程为. 令，得，故，由抛物线的定义易知， 故，故选:A. 法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故.故选:A. 【变式训练10-1】已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为 【解析】若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意； 由题意，，设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，则， 所以，， 线段的中点为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 所以，，因此，.故选：A. 【变式训练10-2】过抛物线的焦点的直线l交抛物线于两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为    A． B． C． D． 【解析】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线方程为，联立方程，整理得， 设，则，， 过三点向准线作垂线，垂足分别为，准线与轴交于点， 则 而，所以， 因为有公共点，所以三点共线，即直线一定过点, 由四个选项可知，只有选项经过点.故选：D. 【变式训练 10-3】（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（    ） A．若、、三点共线，则的最小值为 B．若，则的面积为 C．若，则直线过定点 D．若，过的中点作于点，则的最小值为 【解析】对于A选项，易知抛物线的焦点为， 当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，，则， 易知，，所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对； 对于B选项，设点，，可得，所以，， 则，所以，，B对； 对于C选项，易知的斜率存在，设直线的方程为， 设点、，由于直线不过原点，所以，， 联立可得，， 由韦达定理可得，所以，， 因为，则，解得， 所以，直线的方程为，故直线过定点，C错； 对于D选项，过点作于点，过点作于点， 设，，所以， 因为 ， 所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立，D对． 故选：ABD． 【变式训练10-4】（多选）如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（    ） A．，两点的纵坐标之积为 B．点在定直线上 C．点与抛物线上各点的连线中，最短 D．无论旋转到什么位置，始终有 【解析】设点， 将直线l的方程代入抛物线方程得：.则，故A正确； 由题得，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 消去y得，将代入上式得，故点Q在直线上，故B正确； 设抛物线上任一点，则，当时，最小，此时，即最短，故C正确； 因为，但，所以D错误. 故选：ABC. 【变式训练10-5】（多选）已知抛物线，为轴正半轴上一点，则（    ） A．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 B．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 C．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 D．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 【解析】设，，， 由，可得，则有， 所以， ， 所以+， 所以当且仅当时，， 即存在点，使得为定值，故A正确，B错误； 由题意可得， ， 所以， 如果为定值，则必有，而此方程组无解， 所以不为定值，故C错误，D正确. 故选：AD. 【变式训练 10-6】设A、B为抛物线上的点，且（O为原点），则直线必过的定点坐标为 ． 【解析】设直线的方程为， 联立方程组，解得，即， 因为，则的方程为， 联立方程组，解得，即， 可得直线的方程为，令，可得，即直线必经过定点. 【变式训练10-7】已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为 . 【解析】由题设，直线、的斜率一定存在， 设为，，，联立抛物线方程，可得且， ∴，，而，， ∴， 由，设为，，，联立抛物线， 可得，同理有，，∴， 综上，. 题型11：抛物线中的最值问题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，若，是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【解析】根据题意,作图如下： 设点P在其准线x=-1上的射影为A,由抛物线的定义得:. 所以要使取得最小值,只需最小. 因为(当且仅当M,P,A三点共线时取“=”),此时点P的纵坐标为1,设其横坐标为x0. 因为P(x0,1)为抛物线上的点,则有，解得：. 当P为(,1)时, 取得最小值2.故选：B． 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 【解析】抛物线C：，即，，，设， 对选项A：抛物线C的准线方程为，正确； 对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确； 对选项C：，时取等号，错误； 对选项D：过点作垂直于准线于， ，当共线时等号成立，正确. 故选：ABD 【典型例题3】在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为 ． 【解析】设点坐标为，则，，又因为，所以， 由，得，所以，是抛物线上的点， 设，则, 因为，所以当时，取最小值，此时． 【变式训练11-1】已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【解析】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，    因为抛物线为，所以， 则，所以，则， 注意到，故，即， 又，代入可得， 故，即，解得， 当且仅当时，等号成立，因而.故选：B. 【变式训练11-2】已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．6 【解析】由消去得， 因为，所以方程无解，即直线与抛物线无交点； 过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接， 因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，，则到直线和的距离之和为， 若，，三点不共线，则有， 当，，三点共线，且位于之间时，，则， 又，所以，即所求距离和的最小值为. 故选：. 【变式训练11-3】设抛物线的准线为，定点，过准线上任意一点作抛物线的切线，为切点，过原点O作，垂足为H．则线段MH长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为抛物线的准线为，焦点为， 所以过点作抛物线的切线，设切点， 所以，则，所以直线的方程分别为；，联立可得，所以，即， 又因为点在准线上，则，， 设直线的方程为：代入抛物线的方程可得：， 所以，则，所以直线过定点，又因为焦点，，所以点在以为直径的圆上，又因为的中点为，所以， 所以，故选：C. 【变式训练11-4】，是抛物线上的两个动点，为坐标原点，当时，的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．64 【解析】设直线的方程为，，，直线的方程为， 由，解得，即，，则， 由，解得，即，则， ，当且仅当时取等号， 的最小值为8．故选：C． 【变式训练11-5】已知过抛物线焦点的直线交抛物线于M、N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【解析】由题意可得焦点，且直线斜率存在， 设直线的方程为：，，， 由可得，所以，， 由抛物线的定义可得：，， 所以， 因为，所以 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故选：A. 【变式训练11-6】直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为-1，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于，两点，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．32 D．36 【解析】 设直线，联立则该直线与交点坐标， 直线，的斜率之积为-1， 所以直线，则该直线与交点坐标， 线段的中点，令，则 最小值为16，当或时取得最小值. 在和中，由余弦定理可得： ，两式相加可得： 其最小值为36，当或时取得最小值.故选：D 【变式训练11-7】（多选）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【解析】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为， A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确； 中，过焦点的直线为，则，整理可得， 可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确； 中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则， 当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确； 中，由B的解析可知： 由抛物线的方程可得：， 所以，当且仅当时取等号，所以正确； 故选：ACD． 【变式训练11-8】（多选）已知点在抛物线C：上，过P作圆的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为，若F为C的焦点，为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（    ） A． B． C．的最大值是 D．的最大值是 【解析】由题意可知，点与圆心同在上， 所以过P所作圆的两条切线关于直线对称，所以． 设，，，则， 同理可得，，则，得， 所以，由，得． 将代入抛物线C的方程，得，解得，故抛物线C的方程为，所以A错误，B正确． 设，作垂直准线于，如下图所示：    由抛物线的性质可得，所以，当最小时，的值最大， 所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即最小． 由题意可得，设切线MN的方程为， 联立方程组，消去x，得，由，可得， 将代入，可得，所以，即M的坐标为， 所以，，所以的最大值为，即C正确，D错误． 故选：BC 【变式训练11-9】（多选）已知为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于两点，过作的切线交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若点为，且直线与倾斜角互补，则或 C．点在定直线上 D．设点为，则的最小值为3 【解析】对于选项A，设，联立抛物线和直线整理可得， 利用韦达定理可知， 则， 将代入整理可得，即A正确； 对于B，若点为，且直线与倾斜角互补，则可知与都不重合，即； 所以，即，整理得 整理得，解得或； 当时，直线过点，不合题意；所以，即B错误； 对于C，易知直线恒过定点，如下图所示：    不妨设在第一象限，则在曲线上，易得 则在处的切线方程为，又, 整理可得，在处的切线方程为，同理则在曲线上，易得 则在处的切线方程为，且； 所以在处的切线方程为， 联立，解得，即切线交点的横坐标恒为3； 即点在定直线上，所以C正确； 对于D，设，则， 当且仅当时，，即的最小值为，即D错误. 故选：AC 【变式训练11-10】已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是 . 【解析】，由抛物线的定义知等于到准线的距离， 记直线与准线的夹角为，可得， ①若斜率不存在，则原式， ②若斜率存在，当PA与抛物线相切时，最小， 设的直线方程为，联立得，由得，即， 故，此时 15．已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为 . 【解析】设，因为，所以， ，， ， 对称轴为，所以当时，取得最小值. 【变式训练11-11】已知点，动点在函数的图像上，动点在以为圆心半径为2的圆上，则的最小值为 . 【解析】根据题意画出图像 动点满足，设，可得的轨迹为圆， 设，且，可得， 化简可得，， 所在方程又为，令，解得，此时满足， 可得，即，可得的最小值为的最小值， 当三点共线，且为抛物线的法线时，取得最小值， 设，的导数为，可得，解得 即，即有. 题型12：抛物线中的切线及切点弦 【典型例题1】抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意，反射光线轴，和，得到，即，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点为， 如图所示，由光学性质，入射光线，则反射光线轴，所以， 又因为，所以， 因为轴，，则，所以， 即，所以，解得.故选：A     【典型例题2】（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线的斜率为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据抛物线定义判断A，根据导数的几何意义求切线斜率可判断B，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系判断C，根据不等式的性质及抛物线的定义判断D. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A对， 因为，即，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 直线的斜率为，所以选项B错； 由，消得到， 则，得到，所以选项C正确； 对于选项D，因为， 得到，所以当时，， 又，所以，则，故选项D正确． 故选：ACD 【典型例题3】已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为__________ 【分析】由抛物线方程得到坐标；设过的抛物线的切线方程为：， 联立直线与抛物线的方程，利用判别式得出的值，不妨设， 利用抛物线焦半径公式求得，勾股定理求出；由双曲线定义可知，又焦距，可求得离心率. 【详解】由题意，得、，设过的抛物线的切线方程为：， 联立得：，得，令，得， 即，不妨设，由双曲线的定义得， ，则该双曲线的离心率为，． 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，涉及到抛物线焦半径公式的应用、过某一点曲线切线的求解、双曲线定义的应用等知识；关键是利用联立直线与抛物线的方程，利用判别式得出的值，从而得到所需的焦半径的长度. 【变式训练12-1】已知点P在抛物线上，过点P作抛物线的切线，，切点分别为M，N，若，且，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用导数写出切线的方程，联立求出交点坐标 ， 又由，知为三角形的重心，代入重心坐标公式，利用已知条件可求出的坐标为再代入抛物线方程, 求出，进而求C的准线方程. 【详解】设，由，得，则， 则 即 同理直线的方程为 ， 联立的方程可得，则， 又由，得为三角形的重心, 则， ，得， 则，又抛物线上，得，即，准线方程为.故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 【变式训练12-21】设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，从而有为的角平分线，再利用，得到，进而求出，即可求出结果. 【详解】如图，过作，设，则， 所以，设抛物线在点处的切线的方程为， 由，消得到，由， 得到，所以由题有，即， 所以，又，所以， 得到为的角平分线，又，所以， 又均为直角三角形，所以，得到， 所以， 故答案：B. 【变式训练12-3】已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设，然后表示出两条切线方程，从而可表示出直线的方程，再利用点到直线的距离公式表示出原点到直线距离，从而可求出其最大值. 【详解】设，切点为，由，得，则， 所以在点处的切线方程为，即，因为，所以 在点处的切线方程为，即，因为，所以 因为两切线都过点，所以，，所以直线的方程为，即，所以原点到直线距离为 ，当且仅当时取等号，所以原点到直线距离的最大值为， 故选：B 【变式训练12-4】已知抛物线，O为坐标原点，点A在直线上，过点A作E的两条切线，切点分别为P，Q，若AP，AQ分别交x轴于B，C两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的切线方程 【分析】联立方程利用判别式为零求出斜率，求出B，C坐标，进而可得答案. 【详解】设点，易知切线的斜率存在，设切线斜率为，则方程为， 联立，， 由可得， 解得， 切线的方程为，令可得， 不妨设, 则 . 故选：A 【变式训练12-5】已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、求抛物线的切线方程 【分析】设，，利用导数的几何意义求出抛物线在点A、B的切线方程，进而求得，则点的轨迹为一条直线，确定线段的最小值为点到直线的距离，结合点线距公式计算即可求解. 【详解】设，， 由，得（不妨设），则， 所以抛物线在点A的切线斜率为， 得抛物线在点A的切线方程为，即. 同理可得抛物线在点处的切线方程为， ，解得，即， 又因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 将点代入直线的方程得：①， 设点坐标为，则①式可整理为：，即， 所以点的轨迹为一条直线． 所以线段的最小值为点到直线的距离， 即为． 故选：A 【变式训练12-6】已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的对称性的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】法一：不妨设且，由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切，利用导数求得，结合两点式列方程求得，进而得到为等边三角形，求出内切圆半径，即可得；法二：设圆与的切点分别是，连接，根据已知得到在轴上，在直线上，设，，且，由得，等面积法求内切圆半径，即可得. 【详解】.设内切圆半径为， 法一：由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切， 不妨设且，，则，解得， 所以，则，而，所以， 即为等边三角形，其内切圆半径，故内切圆面积为. 法二：设圆与的切点分别是，连接，    由，又，所以，即，所以在轴上， 连接，所以是的角分线，所以在直线上， 设，，且， 由，所以，解得或， 若时，与题设矛盾，所以，易知， 由，解得，则内切圆面积为. 故选：B 【变式训练12-7】（多选）已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、抛物线的焦半径公式 【分析】先设点进而得出切线方程计算求解判断A，与抛物线联立再结合抛物线定义判断B，应用角平分线定理结合数量积公式计算判断C，应用角平分线定理结合点到直线距离公式计算判断D. 【详解】设，，， 则在A，B处的两条切线可写为， 将代入可得， 所以，在直线上，即直线AB为， 与x轴的交点为，即，故A正确； 对于B，设直线的方程为，其中， 与抛物线联立可得，则，， 若成立，即成立， 由抛物线定义得，，， 所以，故B正确； 对于C，若成立，可知为的平分线，即证明， 等价于证明，即证明， 即证明， 又，，， 代入化简可得， 即， 即，故C正确； 对于D，若成立，则为的平分线， 所以点P到直线AC的距离等于点P到直线BC的距离，即， 即只有当时成立，故D错误. 故选：ABC. 【变式训练12-8】抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】利用导数的几何意义求得切线方程，进而得到直线的方程为，进而得到点的轨迹为以为直径的圆，得到方程，过点与圆相切的直线的斜率为，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以，所以抛物线：； 设，不妨设， 由，可得，可得，则， 可得切线的方程为 因为点在直线上，可得， 同理可得：， 所以直线的方程为，可得直线过定点， 又因为在直线上的射影为，可得且， 所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为， 当与相切时， 由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为， 可得切线方程为，则，解得或， 所以实数的范围为. 故答案为：. 【变式训练12-9】写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 【答案】或. 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的切线方程、求椭圆的切线方程 【分析】设出公切线方程并分别于椭圆和抛物线联立，解方程组即可得出切线方程. 【详解】由已知，公切线斜率不为0， 设公切线方程为. 联立， 其判别式， 即，① 联立. . 其判别式，② 联立①②，解得， 所以椭圆和抛物线的公切线方程为或. 故答案为：或. 题型13：抛物线中的阿基米德三角形 【典型例题1】阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时， ，即， 故选：D． 【典型例题2】过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述： ①点必在抛物线的准线上； ②； ③设、，则的面积的最小值为； ④； ⑤平行于轴. 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出图形，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点的坐标，可判断①的正误；利用直线、斜率的关系可判断②的正误；计算出的面积的表达式，可判断③的正误；利用直线、的斜率关系可判断④的正误；求出直线的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论. 【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为. 证明如下： 由于点在抛物线上，则， 联立，可得，即，， 所以，抛物线在其上一点处的切线方程为. 如下图所示： 设、，设直线的方程为， 联立，消去得， 由韦达定理可得，， 对于命题①，抛物线在点处的切线方程为，即， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 联立，解得，所以点的横坐标为， 即点在抛物线的准线上，①正确； 对于命题②，直线的斜率为，直线的斜率为，， 所以，，②正确； 对于命题④，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时； 当不与轴垂直时，直线的斜率为， 直线的斜率为，，则. 综上，，④正确； 对于命题③，， ， 所以，， 当且仅当时，等号成立，③错误； 对于命题⑤，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时直线与轴重合，⑤错误. 故选：B. 【典型例题3】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦AB过焦点，为其阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，设直线的方程为：，代入抛物线方程，由韦达定理可得，设过点的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线方程分别为：，同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值． 【详解】设，直线， 联立，整理得，则． 设过点的切线方程为， 联立，整理得， 由，可得， 则过点A的切线方程分别为：，即，即，即， 同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：， 因为两条切线的交点在准线上，所以， 两式相减得， ，，可得， ，又因为直线的斜率为， （也成立）， 如图，设准线与轴的交点为， 的面积， 当轴时，最短（最短为），也最短（最短为）， 此时的面积取最小值． 故答案为：． 【变式训练13-1】抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征： ①点必在抛物线的准线上；②． 若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由，得到直线的斜率即可. 【详解】设抛物线的焦点为， 由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点， 所以点必在抛物线的准线上， 所以点， 直线的斜率为． 又因为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故选：A． 【变式训练13-2】已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（    ） A． B． C． D． 解析：过点作与准线垂直，垂足为，，如图： 当最大时，取最大值，此时与抛物线相切.∵抛物线的焦点，∴，设切线方程为，则，∴， 由解得，，∵点M在第一象限内，∴，直线方程为：.故选：C. 【变式训练13-3】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】设直线的方程为，，，，，联立直线的方程和抛物线方程求得，通过PF⊥AB求得，再过点作轴交于点，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可． 【详解】易知，焦点，准线方程， 设直线的方程为，，，，， 联立，消整理得， 则，， 又PF⊥AB，可得，即，化简得， 过点作轴交于点，如图所示： 则，所以为中点，故， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故三角形PAB的面积的最小值为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：过点作轴交于点，且证明为中点，得到，从而得到阿基米德三角形面积关于，的表达式，再结合基本不等式求解． 【变式训练13-4】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，设直线为，代入抛物线方程，由韦达定理得，设过的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线为，同理得过的切线斜率为，过点B的切线为，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值． 【详解】设且，直线，联立， 整理得，则． 设过点的切线方程为，联立， 整理得，由，可得， 则过A的切线为：，即，即，即， 同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：， 联立两切线，则， 所以两条切线的交点在准线上，则， 两式相减得， ，可得，， 又因为直线的斜率为，（也成立）， 如图，设准线与轴的交点为， 的面积， 当轴时，最短（最短为），也最短（最短为）， 此时的面积取最小值． 故选：B 【点睛】关键点点睛：设且，，联立抛物线应用韦达定理有，求过的切线，进而确定在准线上且，利用面积公式讨论最小值情况. 【变式训练13-5】已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件求出直线PF方程，进而求出点P坐标及长即可求出的面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点， 依题意，，设，， 由消去y并整理得，则，， ，解得，即， 当时，因为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率，直线PF方程为：， 点P必在抛物线的准线上，点，， 又，于是得， 由对称性可知，当时，同理有， 所以的面积是. 故选：A 【变式训练13-6】（多选）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点为的中点，为坐标原点，为其阿基米德三角形，则（    ） A．存在点，使得 B．任意点，都有 C．任意点，都有 D．面积的最小值为4 【答案】BCD 【详解】设，设直线， 联立得，则． 设过点的切线为，则 联立 ,整理可得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为． 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，可得处的切线方程分别为： ，∵， 即； 同理处的切线方程分别为： 由及， 得， 可得，因为，所以， 又因为直线的斜率为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， 当时，面积取得最小值为4，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：设且，，联立抛物线应用韦达定理有，求过的切线，进而确定在准线上且，利用面积公式求出最小值. 【变式训练13-7】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 【答案】AD 【分析】设，，直线，联立方程组，求得，，求得，两点处的切线方程，可求得点判断A；求得准线方程判断B；由，可求得，进而可求得，判断C；，，进而可得，可求的最小值，判断D. 【详解】对于A项，设，，直线， 联立，消去，得，， 所以，， 由，得，则点处的切线：①， 同理点处的切线：②，联立①②，得，， 所以，点，故A正确； 对于B项，准线方程为，故B错误； 对于C项，，得，所以，，故C错误； 对于D项，，点到直线的距离为：， 所以， 当时，的面积有最小值16.故D正确. 故选：AD. 【变式训练13-8】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的周长为 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2 【答案】ACD 【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可. 【详解】对于A，设，则， 化简得，，即，则选项A正确； 对于B，可知曲线的半径为1，周长为，故B错误； 对于C，设曲线上的圆心， 所以圆心到直线的距离为：， 曲线上的点到直线的最小距离为，故C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， ， 的准线方程为：， 所以的最小值为点到直线的距离减半径， 即为，故D正确.    故选：ACD. 【变式训练13-9】阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为 C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值 D．一般情况下，阿基米德三角形的面积 【答案】ABC 【分析】设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系. A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可； B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可； C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可； D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线一定存在斜率， 所以设直线的方程为：， 由题意可知：点，不妨设， 由，所以直线切线的方程分别为： ， 两方程联立得：， 解得：，所以点坐标为：， 直线的方程与抛物线方程联立得： . A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ， 因为过抛物线的焦点，所以，而， 显然点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确； B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 即， 因为 ，所以化简得：， 此时， 点坐标为：， 因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 所以， 因此正三角形的边长为， 所以正三角形的面积为， 故本选项说法正确； C：阿基米德三角形为直角三角形，当时， 所以， 直线的方程为： 所以点坐标为：，点 到直线的距离为： ， ， 因为，所以 ， 因此直角的面积为：， 当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确； D：因为，所以 ， 点到直线的距离为： 所以阿基米德三角形的面积， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用. 【变式训练13-10】(多选）若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点，可得A的正误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公式以及两点之间距离公式，结合三角形的面积公式，可得D的正误. 【详解】对于A，，设，代入， 整理可得，设（不妨设）， 则. 由抛物线，整理可得函数，则， 设过点A的切线斜率为，易知，则切线方程为，即，同理可得：过点的切线方程为， 联立可得，解得，即故； 所以点的横坐标为，故A正确； 对于B，由A可知：直线，直线， 由，则，即，故B正确； 对于C，由选项A可知，则直线的斜率， 由，则.由选项B可知， 所以，得，即，故C错误； 对于D，由C可得：， ， ， 则，当时，取得最小值为16，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 【变式训练13-11】(多选）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】设，，设直线，联立抛物线方程，结合韦达定理可得，利用直线与抛物线相切条件分别求得过点的切线斜率为.对于A，计算，从而可判断；对于B，求得点A ，B处的切线方程分别为：，从而可得，进而可得，从而有，根据数量积的定义和相似三角形的性质即可判断；对于C，设AB的中点为，得到，从而轴，而，即可判断；对于D，设准线与轴的交点为，由面积的，可知当最短时（最短为），也最短，最短为，即可判断. 【详解】    设，，设直线， 联立，化为，而， 所以. 设过点的切线为， 联立，整理可得， 由，可得. 同理可得过点的切线斜率为. 对于A，，，，故A错； 对于B，可得点A ，B处的切线方程分别为：， 可得, 又因为直线AB的斜率为，， 又由A选项可知，所以，所以， ，故B正确； 对于C，设AB的中点为，则由轴， 而向量，向量与向量共线，故C正确； 对于D，如图，设准线与轴的交点为， 面积的，可知当最短时（最短为），也最短， 最短为，所以面积的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式训练13-12】(多选）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解. 【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为 证明如下： 由于点在抛物线上， 则， 联立 即，， 所以抛物线在其上一点处的切线方程为 设，，设直线的方程为， 联立消去得，显然， 根据根与系数的关系可得， 所以，， 所以以AB为直径的圆的圆心到准线的距离为， 即以AB为直径的圆必与准线l相切于点，故A正确； 又抛物线在点A处的切线方程为，即 同理可知，抛物线在点B处的切线方程为， 由题意知，， 直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， ， 所以，即点M在以AB为直径的圆上， 联立，解得， 所以点的横坐标为， 所以点在抛物线的准线上， 当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 为抛物线的准线与x轴的交点， 此时，则，， 又此时，则为定值4， 当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为， 直线的斜率为， ， 则，在中，， 又以AB为直径的圆与准线l相切于M点， 设以AB为直径的圆的圆心为，即得， 则点坐标为， 则，故B正确； 对于C： 抛物线的焦点为，准线为，所以， 由抛物线的定义可知， 则的周长为， 当且仅当、、三点共线时取等号，故C错误； 对于D：直线的倾斜角为锐角，则且， 由题意知， ，，，， 则 ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键是利用两角和的正切公式表示出，再由基本不等式求出的最小值. 【变式训练13-13】(多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 【答案】ACD 【详解】由题意设， 由，得，则， 所以， 若弦过焦点，显然直线斜率存在，设所在直线为，联立， 得， 则， 所以， 所以，故A正确； 以点A为切点的切线方程为，以点B为切点的切线方程为， 联立消去y得， 将代入， 得， 所以，故B错误； 设N为抛物线弦的中点，N的横坐标为，因此直线平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确； 设直线的斜率为， 故直线的方程为， 化简得，故C正确. 故选：ACD. 【变式训练13-14】(多选）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（   ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】设，联立直线和抛物线，利用韦达定理得到，设出过和过的切线方程，利用已知得到，，即可判断选项A，再由结合相似，即可判断选项C，再由向量间的转化和运算即可判断选项B，结合特殊情况即可判断选项D. 【详解】设， 设直线：， 联立得， 则， 设过点的切线为， 联立得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为， 所以处切线方程分别为， 联立可得，故A正确； 又即，， 所以，， 所以，， 即，C正确； 又， 所以， ， 所以 ，B错； 由上述知，， 又因为直线斜率为， 所以， 设准线与轴的交点为， 则面积， 当轴时，最短（最短为）， 也最短（最短为）， 此时面积取最小值，D正确.    故选：ACD 【点睛】方法点睛：涉及方法有：（1）直线与抛物线相切问题；（2）焦点弦问题的计算能力；（3）数形结合思想. 【变式训练13-15】(多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（ ） A． B．若，则点处的切线方程为 C．存在点，使得 D．面积的最小值为4 【答案】ABD 【分析】联立方程组，结合韦达定理，可判定A正确；求得，得到切点坐标，得出切线方程，进而可判定B正确；由直线的斜率为，直线的斜率为，得到，可判定C错误；由过点的切线方程为，结合弦长公式，得到，可D正确. 【详解】对于A中，设直线，联立方程组，整理得， 再设，则，所以A正确； 对于B中，由抛物线.可得，则， 则过点的切线斜率为，且，即， 则切线方程为：，即， 若时，则过点的切线方程为：，所以B正确； 对于C中，由选项可得：直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，即，所以C错误； 对于D中，由选项B可知，过点的切线方程为， 联立直线的方程可得， 所以， ， ， 则，当时，有最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 【变式训练13-16】(多选）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（    ） A． B．平面上点的最小值为 C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D．过点作，垂足为H，则 解析：对于A项，设直线的方程为，，联立方程组，消去整理得，， ，即，又因为，所以上式可化简整理得， 所以，所以直线的方程为，即，所以，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由双曲线定义得，且， 则，所以的最小值为.故B项正确； 对于C项，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，因为且，所以，若，则， 所以直线直线；同理可知当也可判断直线直线，所以入射光线与反射光线的夹角为，故C项错误； 对于D项，如图，为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点.则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以，，故项正确.故选：ABD. 【变式训练13-17】阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与交于两点，若为阿基米德三角形，则 ． 【答案】 【分析】求出直线与直线的方程，联立两直线方程即可求得P点坐标，则可求；也可以使用二级结论“过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，切线交点在准线上”快速推导结果. 【详解】依题意，，直线， 由得，得或， 不妨设． 因为直线与抛物线相切，所以直线的斜率存在， 设直线的方程为， 与联立得关于的方程， 即， 令，得， 故直线的斜率，即直线， 同理可得直线的斜率，直线． 由得即，则． 二级结论法： 直线，由得出或， 不妨设， 由抛物线焦点弦的性质可得，过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，切线交点在准线上， 且交点的纵坐标为两端点纵坐标之和的一半，所以，所以． 故答案为：. 【变式训练13-18】抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．设抛物线为，弦AB过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线在点处的切线方程为结合点到直线的距离解决面积问题即可． 【详解】先证抛物线在点处的切线方程为， 不妨设切线方程为：，且有， 切线方程与抛物线联立可得：， 所以， 易知该切线只有一条， 所以，得证. 先设点A的坐标为，点B的坐标为，点Q的坐标为， 由于弦AB过抛物线的焦点，于是可反设直线AB的方程为． 因此点A，B的坐标满足进而得到， 再使用韦达定理就有， 由于在处抛物线的切线方程为，在处抛物线的切线方程为， 因此阿基米德三角形的顶点满足， 进而，从而， 将代入得． 因此点Q的坐标为，于是点Q到直线AB的距离， 根据弦长公式得， 于是的面积，当且仅当时等号成立， 因此的面积的最小值为4． 故答案为：4.    【点睛】关键点点睛：（1）抛物线在点处的切线方程为; （2）阿基米德三角形的底边过抛物线的焦点，则阿基米德三角形的另一个顶点在准线上，且阿基米德三角形的面积最小值为. 题型14：抛物线中的四心 【典型例题1】已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【解析】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，    因为抛物线为，所以， 则，所以，则， 注意到，故，即， 又，代入可得， 故，即，解得， 当且仅当时，等号成立，因而.故选：B. 9．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，点为线段AB的中点，且，则下列结论正确的为（    ） A．N为的外心 B．M可以为C的焦点 C．l的斜率为 D．可以小于2 【解析】 由可得，则N为的外心，A正确； 易得直线斜率不为0，设，，联立可得， ，则，则，由可得， 即，则，则焦点为，B错误； 由作差得，即，C正确； ，则，D错误. 故选：AC. 【典型例题2】已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解析】由点是抛物线上的两点，且， 根据抛物线的对称性，可得关于轴对称， 设直线的方程为，则， 因为的垂心恰好是抛物线的焦点， 所以，可得，即， 解得，即直线的方程为.故选：C.    【变式训练14-1】已知F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，O为坐标原点，，，面积分别为 ，若F为的重心，且，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设、、三点的坐标分别为，，，，，， 抛物线的焦点的坐标为,，， ， 、、在抛物线上，，，， 由此可得：，点是的重心， ，可得, 因此，,解得 （负值舍去）， 故该抛物线的方程为，故选：． 【变式训练14-2】抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为 A． B． C． D． 【解析】由题意知，抛物线的焦点为，设点、、， 由重心的坐标公式得，，， 设直线的方程为，由，消去得， ，由韦达定理得，， 所以，， 故，， 将点的坐标代入抛物线的方程得，得， 则，得， 则. 不在直线上，则，此时，，则. 因此，的取值范围是.故选：A. 【变式训练14-3】已知抛物线上有三点，，，的垂心在轴上，，两点的纵坐标分别为，，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【解析】点在抛物线上，纵坐标为，则，同理可得，设点，垂心，则，，即，化简得：，消去可得，解得或(舍)，故选：B 【变式训练14-4】设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】设点，则点，设点在第一象限， 抛物线的焦点为，设的垂心为， 由于，则点的横坐标为，可得点， ，则，，， ，解得， 所以，点的坐标为，所以，，.故选：B. 【变式训练14-5】（多选)已知为抛物线上的三个点，焦点F是的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为，则（    ） A．线段BC的中点坐标为 B．直线BC的方程为 C． D． 【解析】设，因为F为重心， 所以，设BC中点，则， ，由重心分中线得，即， 又因为A在抛物线上，所以，所以，即，故A正确； ， 直线，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； ，同理， 所以，故D正确． 故选：ABD 【变式训练14-6】（多选)已知的三个顶点均在抛物线上，则下列命题正确的有（    ） A．若直线BC过点，则存在点A使为直角三角形； B．若直线BC过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心； C．存在，使抛物线的焦点恰为的外心； D．若边AC的中线轴，，则的面积为 【解析】设三点坐标分别为， A选项，直线BC过点，设BC方程为， 联立，消去x得，，， ，， 所以，而点O在抛物线上，故A正确； B选项，直线BC过点，设BC方程为， 联立，消去x，得，， 抛物线的焦点恰为的重心， ，， 将A点坐标代入抛物线方程，则，所以， 当时，，故B正确； C选项，设以抛物线焦点为圆心的圆半径为r， 其方程为，与抛物线方程联立得：，， 方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点， 不存在，使抛物线的焦点恰为的外心，故C不正确； D选项，AC的方程为，代入抛物线方程得， ，， 设AC中点轴，， ，代入抛物线方程得， ，，故D不正确. 故选：AB. 【变式训练14-7】（多选)设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，则点，所以，线段的中点为，A对； 对于B选项，由抛物线的定义可知，则为等腰三角形， 因为为的中点，则，所以，的重心、垂心、外心、内心都在直线上， ，则直线的方程为， 联立可得，则， 所以，直线与抛物线相切，B错； 对于C选项，设点为第一象限内的点， 若的垂心在抛物线上时，设点，其中， 将点的坐标代入抛物线方程可得，可得，即点， 由题意可知，、、三点共线，，， 由可得，整理可得，解得， 所以，，即点，所以，，，C对； 对于D选项，当的垂心在抛物线上时，点，则轴，则， 此时，为直角三角形，D错. 故选：AC. 【变式训练14-8】（多选)已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（    ） A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2 B．若点恰为的垂心，则的周长为 C．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为 D．若，则点纵坐标的取值范围是 【解析】对于选项A，设，，则由，在抛物线上可得，， 所以，当中点纵坐标为2时，，所以，A错误； 对于选项B，若点恰为的垂心，则由，可得，关于轴对称，所以， 则，，又由可得，所以， 则，，所以，，则的周长为，B正确； 对于选项C，若与倾斜角互补，则，即， 所以，则，故C错误； 对于选项D，若，由可得，即， 即（，与2互不相等）， 将看作关于的一元二次方程，令，解得， 又当时，，当时，方程无解，所以点纵坐标，故D正确， 故选：BD. 【变式训练14-9】（多选)设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则下列结论正确的有（    ） A．点的中点在轴上 B．的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上 C．当的垂心在抛物线上时， D．当的垂心在抛物线上时，为等边三角形 【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，则点，所以，线段的中点为，A对； 对于B选项，由抛物线的定义可知，则为等腰三角形， 因为为的中点，则，所以，的重心、垂心、外心、内心都在直线上， ，则直线的方程为， 联立可得，则， 所以，直线与抛物线相切，B错； 对于C选项，设点为第一象限内的点， 若的垂心在抛物线上时，设点，其中， 将点的坐标代入抛物线方程可得，可得，即点， 由题意可知，、、三点共线，，， 由可得，整理可得，解得， 所以，，即点，所以，，，C对； 对于D选项，当的垂心在抛物线上时，点，则轴，则， 此时，为直角三角形，D错. 故选：AC. 【变式训练14-10】已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为 ． 【解析】设，．由点G为的重心，得，所以． 又在抛物线上，所以，即． 又点A不在直线BC上，所以，即，所以所求轨迹方程为． 【变式训练14-11】已知抛物线上三点满足： 的重心是，则直线的斜率之和为 ． 【解析】设抛物线上三点， 由的重心是，得，即有， 直线的斜率分别为，， 所以直线的斜率之和. 【变式训练14-12】已知抛物线，过定点的动直线与抛物线交于两点，是坐标平面内的动点，且的重心为坐标原点.若的最小值为1，则 . 【解析】设，则，， 因为共线，则，化简得， 因为是的重心，于是得， 因此，， 即，当且仅当a+b=0时取“=”，即， 而的最小值为1，则，即，所以. 【变式训练14-13】在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点．若D为直线外一点，且的外心M在C上，则M的坐标为 ． 【解析】联立得， 设，，则，，设线段AB的中点为， 则，， 则线段AB的中垂线方程为，即， 联立得，解得或4， 从而的外心M的坐标为或． 【变式训练14-14】若曲线：上一点，是否存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为．则直线的方程为 ． 【解析】把代入中，得，即， 假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为， 设，显然直线的斜率为， 则直线的斜率为，设直线的方程是，由，消去化简得： ，即∵的垂心为， ∴即 ，或 当时，直线的方程是，过点，不合题意，舍去， ∴存在这样的直线，其方程是 题型15：抛物线中的斜率问题 【典型例题1】已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，设直线的方程为，由， 得．设，， 则，，所以，． 因为为锐角，所以恒成立，即， 整理得，所以， 而，所以对于任意恒成立，所以． 由，解得，所以的取值范围为．故选:A． 【典型例题2】已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（    ） A．的最大值为 B．的面积最小值为2 C．当取到最大值时，直线AP与C相切 D．当取到最大值时， 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，设， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为：， 由消去x得：，则，    对于A，显然，， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B，的面积， 当且仅当时取等号，B错误； 对于C，由选项A知，当最大时，点，此时直线方程为， 由消去x得：，，直线AP与C相切，C正确； 对于D，由选项C知，当最大时，轴，显然， 即，，D错误. 故选：AC 【典型例题3】已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若点满足，则的取值范围是 ． 【解析】由题可知，抛物线的焦点坐标，且， 由于是抛物线上一点，则， ，， ，且，解得：， 所以的取值范围是. 【变式训练15-1】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，则实数p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】设抛物线上存在不同的两点关于直线对称， 设所在的直线方程为， 联立方程组，整理得，其中， 设，则，则， 又因为的中点在直线，可得，即， 将代入，可得，解得， 所以实数的取值范围为.故选：B. 【变式训练15-2】已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】双曲线的标准方程是，其右焦点是.所以，，抛物线是， 设直线方程为，，由消去，化简整理得，因此，由得，，. 因为，所以，即.，即， 解得.代入得到，，或.故选：A． 【变式训练15-3】在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】抛物线的准线方程为，    圆的圆心为，半径为，直线与圆相切，则， 因为，解得，所以，抛物线的方程为， 故抛物线的准线与圆相切于点， 若直线与轴重合，则直线与抛物线不相切，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， 则，解得，不妨设点在第一象限，则，则有，解得， 此时，即点，所以，， 因为点在圆上，设点，则， 所以，.故选：C. 【变式训练15-4】已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，， 由得，因此，故. 因为，所以过与相切的直线方程分别为：、， 因此由得，即， 所以 . 因为，所以，因此， 所以的取值范围是.故选:C. 【变式训练15-5】已知点在抛物线上，且抛物线上存在不同的两点，，使得直线，的斜率，满足，若线段的中点为，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为点在抛物线上， 所以，所以，所以抛物线方程为． 设，则，直线的方程为， 结合抛物线的方程，得，由，得， 设，，则，即，， 同理可得，，，于是，因此． 因为且，所以且，故且， 所以直线的斜率的取值范围是．故选：C 【变式训练15-6】已如抛物线的焦点是，点是其准线上一个动点，其中．过点且斜率为的直线与抛物线交于A，两点，过点的直线交抛物线于，两点．若，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由点在准线上知，，，所以抛物线的方程为． 依题意可设直线的方程为，设直线的方程为，斜率，，．由消去，得， 所以由知，判别式，，， 则．由，消去，得， 所以判别式，，， 所以因为，所以， 结合点A，在抛物线上，则，作差得， 点，两点在抛物线上，则，作差得， 所以，即，得， 即，所以， 即，因为， 即，所以，即， 所以或.故选： 【变式训练15-7】（多选）已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．时，的最小值为 B．的取值范围是 C．当点是弦的中点时，直线的斜率为 D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有 【解析】抛物线的焦点，准线方程为， 对于A，当时，点与重合，设直线的方程为，， 由消去x并整理得，则， ，当且仅当时取等号， 所以当时，的最小值为，A正确；    对于B，显然点在直线上，由选项A知，当时，可得， 由点在抛物线内，知，所以的取值范围是，B正确； 对于C，当点是弦的中点时，设，，若，直线的斜率不存在， 若，则直线的斜率，C错误； 对于D，由选项C知，当时，线段的中垂线斜率为，方程为， 即，此直线过定点，当时，线段的中垂线为，过点， 所以线段的中垂线恒过定点，即当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有，D正确. 故选：ABD 【变式训练15-8】（多选）已知抛物线C：的焦点为F，P，Q为C上两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为4 B．若，记，则 C．过点与C只有一个公共点的直线有且仅有两条 D．以PQ为直径的圆与C的准线相切，则直线PQ过F 【解析】   如图所示，设PQ的中点为B，过P、Q、B分别作的垂线，垂足为D、E、A， 对于A，由题意可知，抛物线C：的焦点为，准线为.在抛物线上方，，即最小值为M到准线的距离4，当M，P，A三点共线时等号成立，故A正确； 对于B，由，设过N与抛物线相切的直线与抛物线切于点， 则，此时切线斜率为，即抛物线上任一点P， 都有，故，所以B正确； 对于C,由于点在C的下方，设过与抛物线相切的直线切于点，由上可得或，又知当时该直线与抛物线只一个交点，故过点与C只有一个公共点的直线有三条，所以C不正确； 对于D，由梯形中位线性质及抛物线定义知，所以直线PQ过F，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练15-9】（多选）设是抛物线：上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（    ） A．若直线过抛物线的焦点，则的最小值为1 B．有且只有两条直线过点且与抛物线只有一个公共点 C．若，则为定值 D．若，则 【解析】根据题意，抛物线的焦点坐标为， 设. A：若直线经过点，显然其斜率存在，故设直线为：， 联立抛物线方程可得：， 则，则 故，当且仅当时取得最小值，故A正确. B：当直线的斜率不存在时，即时，显然与抛物线交于一点； 当直线的斜率存在时，不妨设其方程为，联立抛物线方程可得： ，令，可得或， 即直线，也与抛物线只有一个交点. 综上所述，满足过点且与抛物线交于一点的直线有条，故B错误； C：若，显然为定值，故C正确； D：若，则，即，又 即，又两点与点不能重合， 即，则. ，当且仅当，且时取得最小值，故D正确. 综上所述，正确的选项是：ACD. 【变式训练15-10】已知斜率为的直线与抛物线交于轴上方不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是 . 【解析】设点、，由题意可知，且， 所以，，则， 所以， ，因此，的取值范围是. 【变式训练15-11】已知抛物线方程为，为其焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，且抛物线在、两点处的切线分别交轴于、两点，则的取值范围为 ． 【解析】若直线轴，则直线为轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 所以，直线的斜率存在，易知点，设直线的方程为，设点、， 联立可得，，由韦达定理可得，， 对函数求导得，所以，直线的方程为，即， 令，可得，即点，同理可得点， ，同理可得， 因此， ， 当且仅当时，等号成立，故的取值范围是. 【变式训练15-12】如图，已知抛物线，点为抛物线上一动点，以C为圆心的圆过定点，且与x轴交于M，N两点（M点在N点的左侧），则的取值范围是 ． 【解析】由题意，的方程． 把和代入整理得，即． 设、的横坐标分别为、，则，．所以， 令，则 因为，所以，当时， 所以，所以 题型16：抛物线与向量 【典型例题1】抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．3 D．5 【解析】由题意易知直线的斜率存在，设，， 因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为， 联立，消去，得，则，故，， 则， 所以.故选：B. 【典型例题2】已知抛物线C的方程为，过C焦点F的直线与C交于M，N两点，直线MO与C的准线交于Q点（其中O为坐标原点），P为C准线上的一个动点，下列选项正确的是（    ） A．当直线MN垂直x轴时，弦MN的长度最短 B．为定值 C．当PM与C的准线垂直时，必有 D．至少存在两个点P，使得 【解析】如图所示，由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，， 对于A中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，此时垂直于轴，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，直线的方程为，令，可得， 所以，所以，所以C错误； 对于D中，由抛物线的定义知，直角梯形的中位线， 即以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，所以满足的点恰好有一个，所以D错误. 故选：AB.      【典型例题3】已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为 . 【解析】由已知得，设直线的方程为， 代入整理得，设，， 故①，②， 又，故③，由①②③解得， 此时，，点O到直线的距离为， 故的面积为. 【变式训练16-1】已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由已知抛物线的焦点的坐标为，直线的方程为， 联立，消得，设，则， 所以，圆的圆心坐标为，半径为1， 由已知可得，所以    故选：A. 【变式训练16-2】已知抛物线的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为的平分线，则等于（    ） A． B．8 C．10 D． 【解析】，，所以．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则． 因为FB为的平分线．则，又，∴， 又，∴．∴．故选：D． 【变式训练16-3】已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：    连接，过作垂直准线于，则在直角中，， 所以 由抛物线的定义得：，则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即，所以.故选：B 【变式训练16-4】在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】抛物线的准线方程为，    圆的圆心为，半径为，直线与圆相切，则， 因为，解得，所以，抛物线的方程为， 故抛物线的准线与圆相切于点， 若直线与轴重合，则直线与抛物线不相切，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， 则，解得，不妨设点在第一象限，则，则有，解得， 此时，即点，所以，， 因为点在圆上，设点，则， 所以，.故选：C. 【变式训练16-5】已知过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若D为线段AB的中点，连接OD并延长交抛物线C于点M，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意知点，且直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，设点的坐标分别为， 联立，则， 联立，则 直线的方程为：，即， 联立，则， ，，由三角形相似可知，， ,.故选：D 【变式训练16-6】已知抛物线，直线交抛物线于两点，是的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，且，若，则k为（        ） A． B． C． D．2 【解析】设，则， ，由， ， ，，① 即，由得， 当，即时，， 代入①得： ，即，解得或（舍去），故选：B 【变式训练16-7】（多选)已知点A是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（    ） A．当点在轴上时， B．当点在轴上时，点A的坐标为 C．当点A与点关于轴对称时， D．若，则点A与点关于轴对称 【解析】因为，所以为等边三角形， 对于A，当点在轴上时，又三点顺时针排列，所以大致图像如图，    此时所在直线方程为，与联立，消去得， 解得或，所以，故A正确； 对于B，当点在轴上时，又三点顺时针排列， 所以此时A点在轴下方，且所在直线方程为， 与联立，消去得，解得或， 当时，，即A点坐标为，故B正确； 对于C，当点A与点关于轴对称时，又三点顺时针排列， 所以此时A点在轴上方，且所在直线方程为， 与联立，消去得，解得或，所以，故C正确； 对于D，当时，得A点横坐标为，此时A点可能在轴上方，也可能在轴下方. 因为三点顺时针排列，所以当A点在轴上方时，可得点A与点关于轴对称； 当A点在轴下方时，可得此时点在轴上，点A与点不关于轴对称；故D错误； 故选：ABC. 【变式训练16-8】（多选)抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【解析】   设，，设直线， 联立，化为，而， 所以.设过点的切线为， 联立，整理可得， 由，可得.同理可得过点的切线斜率为. 对于A，，，，故A错； 对于B，可得点A ，B处的切线方程分别为：， 可得,，又因为直线AB的斜率为，， 又由A选项可知，所以，所以， ，故B正确； 对于C，设AB的中点为，则由轴， 而向量，向量与向量共线，故C正确； 对于D，如图，设准线与轴的交点为， 面积的，可知当最短时（最短为），也最短， 最短为，所以面积的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【变式训练16-9】已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若， 则 【解析】易知焦点F的坐标为，准线方程为，如图，作于，于， ，可知线段BM平行于AF和DN，因为，，， 所以，又由定义知，所以.    【变式训练16-10】已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则 . 【解析】   由题意易知，可设， 由，可得Q为AM中点，则， 又由可得:， 即，由题意可知直线AB、BM的斜率存在， 故， 联立抛物线与直线AB可得 所以有 由抛物线定义得，故答案为：4 【变式训练16-11】已知抛物线与圆，过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（在轴的同一侧），若，则的值是 ． 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，于是直线：，显然， 由消去y得：，设， 则，又圆的圆心为，半径为1， 由，得，即， 于是，整理得，又，解得， 则，解得，所以的值是8. 题型17：抛物线与导数 【典型例题】（多选）过点的直线与抛物线C：交于两点．抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（    ） A．直线与抛物线C有2个公共点 B．直线恒过定点 C．点的轨迹方程是 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】设出直线的方程为，代入，然后写出切线方程，结合韦达定理可判断AB；根据B可得的轨迹方程，从而判断C；利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出，然后利用导数的知识求出最值进而判断D. 【详解】设直线的方程为， 联立，消去得，则， 对于A：抛物线在点处的切线为， 当时得，即， 所以直线的方程为，整理得， 联立，消去的，解得，即直线与抛物线C相切，A错误； 对于B：直线的方程为，整理得，此时直线恒过定点，B正确； 对于C：又选项B可得点在以线段为直径的圆上，点除外，故点的轨迹方程是，C正确； 对于D： ， 则， 令， 则， 设， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，D错误. 故选：BC.    【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题 第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程． 第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程． 第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0. 第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出． 第五步：根据题设条件求解问题中的结论． 【变式训练17-1】已知双曲线的左，右顶点分别为是双曲线上不同于，的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先根据双曲线的方程，得到，再设，通过求导，判断函数的极小值点，得到的值，再根据的关系求双曲线的离心率. 【详解】设为双曲线上异于、两点的任意一点，则， 又，，所以： 所以， 设，则（）， 因为 ， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值. 即时，取得最小值. 此时： . 故选：A 【变式训练17-2】（多选）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（    ） A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B．函数是圆的一个太极函数； C．存在圆，使得是圆的太极函数； D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 【答案】BD 【分析】举出反例判断A；说明的图象关于点成中心对称，结合太极函数定义判断B；说明图象关于对称，不在函数图象上，结合太极函数定义判断C；求出直线过的定点，恰为圆心，即可判断D. 【详解】对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足，    显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误； 对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象， 即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称， 因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确； 对于C，的定义域为，且， 即为奇函数，图象关于对称，    若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上， 因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误； 对于D，直线，即， 由，解得，则直线恒过定点， 显然直线经过圆的圆心， 该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确， 故选：BD 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $