精品解析：福建省泉州市晋江市2025-2026学年下学期期中考试七年级数学试卷

2026年春季期中考试七年级数学科试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 解不等式 ，去分母正确的变形是（ ） A. B. C. D. 6. 已知 是关于的一元一次方程，则 的值为（ ） A. B. C. D. 或 7. 若关于的不等式的解集为，则 的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有个人，辆车，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论 取何有理数，的值始终不变，则这个值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则___．（选填“”“”或“”） 12. 已知二元一次方程 ，用含的代数式表示，则______． 13. 已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是________． 14. 已知 ，则 ________． 15. 若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是__________． 16. 已知n个数，它们每一个数只能取0，1， 这三个数中的一个且，，则的值为_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解方程： （1） （2） 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，由8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，其中大长方形的宽为，请根据图中的信息求出每块小长方形地砖的长和宽． 20. 已知a，b，c为三个互不相等的有理数． （1）已知 ，试说明：． 在下列说理中，填空（数学符号或理由）： 解： （已知）， ① （不等式的基本性质3）， （ ② ） （2）已知，试说明：． 21. 已知关于，的方程组 （1）若方程组的解满足，求的值； （2）小颖说：“当时，若对于符合此不等式的任意的值都落在内，则 的取值范围为．”试判断小颖的说法是否正确，并说明理由． 22. 阅读：我们可以用表示不大于的最大整数，例如 ， ， 等． 是大于的最小整数，对任意的实数 都满足不等式 ①． （1）填空： ________； （2）利用不等式①，求满足 的所有解． 23. 某校为推进五育并举，增强学生身体素质，拟开设篮球、足球校本选修课程，现需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需费用330元；购买5个篮球和2个足球共需费用780元． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）在开设选修课程前，学校拟用810元购买若干个篮球和足球进行教学评估，且两种球均要购买，有哪几种购买方案？ （3）若正式开设选修课程需要采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于19个，且总费用不超过6050元，试根据不同的购买方案，确定如何购买，才能使总费用最少，并求出费用的最小值． 24. 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，其中秤盘质量10克，重物质量x克，秤砣质量40克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．通过实验发现l、a、x、y存在以下数量关系：． 【设计杆秤】设定最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为40厘米． （1）①当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l和a的方程； ②当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l和a的方程； ③请根据所列的两个方程，求出l和a的值． （2）用含有x的代数式表示y． （3）请确定刻线的位置，从零刻线开始，计算出每隔100克在杆秤上的对应刻线到零刻线的距离，并写出相邻刻线间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期中考试七年级数学科试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的含义的解题关键． 根据二元一次方程的定义，需满足：①含有两个未知数；②未知数的次数都是1；③整式方程，逐项分析即可． 【详解】解：A．：含有两个未知数x、y，次数均为1，且为整式方程，符合定义； B．：虽然含有两个未知数，但y的次数为2，不符合次数为1的条件； C．：含有分式，不是整式方程，不符合条件； D．：项的次数为2（x和y的次数相加），不符合次数为1的条件． 故选：A． 2. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，直接将系数化为1即可得出答案． 【详解】解：， 系数化为1，得：， 故选：B． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集，直接根据解一元一次不等式的步骤计算即可求解并用数轴表示解集，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为 得，， 将解集表示在数轴上如图： 故选：D． 4. 下列等式变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题关键．根据等式的性质逐一判断即可 ． 【详解】解：若， ∵等式两边同时加上(或减去)同一个数，等式仍然成立， ∴，，故A、B选项正确，不符合题意； 若， ∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立， ∴，故C选项正确，不符合题意； 若，则， ∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的式子，等式仍然成立， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 5. 解不等式 ，去分母正确的变形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．不等式得两边同时乘以6，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：． 故选：D 6. 已知 是关于的一元一次方程，则 的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为 且一次项系数不为，列出条件求解即可得到 的值． 【详解】解：∵ 是关于的一元一次方程， ∴ 且， 解得 ， ∴ 的值为4． 7. 若关于的不等式的解集为，则 的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变．根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故选：C． 8. 若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握判断不等式组解集的口诀． 先根据不等式组有解，求出不等式组的解集，然后根据关于x的不等式组有且只有两个整数解，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式组有解， ∴， ∵关于x的不等式组有且只有两个整数解， ∴整数解为：， ∴， 故选：A． 9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有个人，辆车，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：设有个人，辆车， ∵3人坐一辆车时，有2辆车是空的， ∴实际乘坐的车辆数为，总人数等于每车人数乘乘坐车辆数，可得方程； ∵2人坐一辆车时，有9人需要步行， ∴总人数等于乘车人数加步行人数，乘车人数为，步行人数为9，可得方程； 因此所列方程组为： 10. 已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论 取何有理数，的值始终不变，则这个值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法求出，，代入，根据不论m取何有理数，的值始终不变，列出关于n的方程，解方程求出n，再代入化简后的进行计算即可． 【详解】解： 得， 解得：， 将代入 得， 解得：， ∴， ∵不论m取何有理数，的值始终不变， ∴， 解得：， ∴这个值为：， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则___．（选填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质解答本题的关键． 根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可解答． 【详解】解∶因为， 两边同时减去3，可得． 故答案：． 12. 已知二元一次方程 ，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵二元一次方程 ， ∴ ， ∴． 13. 已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入二元一次方程得，然后将分解因式，利用整体代入法即可求解． 本题考查了二元一次方程的解，以及用整体代入法求代数式的值．熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为： 14. 已知 ，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】将三个方程相加求出的值，再分别与三个已知方程作差，即可求出 的值，进而求得 的值解即可； 【详解】解：根据 ，得 ， 故 ， ， 解得 ， 故 ， ； 15. 若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程组的结构，可利用换元法将待求方程组转化为已知解的方程组，再根据同解性求解即可． 【详解】解：对于方程组，设， 则原方程组可化为． ∵关于，的二元一次方程组的解是． ∴方程组的解为． ∴． 得，解得 ， 将 代入 ，得 ， ． ∴原方程组的解为． 16. 已知n个数，它们每一个数只能取0，1， 这三个数中的一个且，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解此题时，关键要找准在n个数中到底有几个1、 、0，这就需要对原题中两个式子进行分析，比较难．由题可知，在中，要想保证和为−5，平方和为19，在取值受限得情况下，可设各式中有x个1和y个−2，则可将两式变为：，求出方程组的解． 【详解】解：设有个 ，有个 ，则有个 由题意得， 解得 原式＝， 故答案为： 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 去括号，得 整理，得 移项，得 ， 合并同类项，得 系数化为1，得． 【小问2详解】 解： ， 去分母，得 去括号，得 整理，得 移项，得 ， 合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集是． 把解集在数轴上表示出来如下： 19. 如图，由8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，其中大长方形的宽为，请根据图中的信息求出每块小长方形地砖的长和宽． 【答案】长是 ，宽是 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解. 设每块小长方形地砖的长为 ，宽为，根据图形可知，长方形的一个长的长度是3个宽的长度，一个长和宽的长度和为，由此列方程求解即可. 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 经检验，符合题意． 答：每块小长方形地砖长是 ，宽是． 20. 已知a，b，c为三个互不相等的有理数． （1）已知 ，试说明：． 在下列说理中，填空（数学符号或理由）： 解： （已知）， ① （不等式的基本性质3）， （ ② ） （2）已知，试说明：． 【答案】（1）①>；②不等式的基本性质1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【小问1详解】 解：解： （已知）， （不等式的基本性质3）， （不等式的基本性质1） 故答案为：①；②不等式的基本性质1． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 去括号、合并同类项，得 ， 解得：． 21. 已知关于，的方程组 （1）若方程组的解满足，求的值； （2）小颖说：“当时，若对于符合此不等式的任意的值都落在内，则 的取值范围为．”试判断小颖的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2）小颖的说法不正确，见解析 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解；解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先将方程组中的两个方程相加，得，再将代入，即可求出的值； （2）先将方程组中的两个方程相减，得，结合，求出，根据对于符合此不等式的任意的值都落在内，得出，再解不等式组，即可求出 的取值范围； 【小问1详解】 解： 由，得，， ， ，解得． 【小问2详解】 解：小颖的说法不正确，理由如下： 由，得，， ， ，解得：， 对于的任意的值都落在内， ，解得：． 小颖的说法不正确． 22. 阅读：我们可以用表示不大于的最大整数，例如 ， ， 等． 是大于的最小整数，对任意的实数 都满足不等式 ①． （1）填空： ________； （2）利用不等式①，求满足 的所有解． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据定义， 表示不大于x的最大整数，不大于 的最大整数是 ． （2）将 代入题干给出的不等式 ，得到关于x的一元一次不等式组，求出x的取值范围后，结合 是整数的性质，即可求出所有满足条件的解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， 解不等式 ，解得 ， 解不等式 ，解得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵表示不大于的最大整数， ∴ 或 ， 解得或 ． 23. 某校为推进五育并举，增强学生身体素质，拟开设篮球、足球校本选修课程，现需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需费用330元；购买5个篮球和2个足球共需费用780元． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）在开设选修课程前，学校拟用810元购买若干个篮球和足球进行教学评估，且两种球均要购买，有哪几种购买方案？ （3）若正式开设选修课程需要采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于19个，且总费用不超过6050元，试根据不同的购买方案，确定如何购买，才能使总费用最少，并求出费用的最小值． 【答案】（1）篮球和足球的单价分别是120元/个、90元/个 （2）共有2种购买方案，分别是：方案1：购买3个篮球，5个足球；方案2：购买6个篮球，1个足球 （3）购买19个篮球，41个足球费用最少，最少费用为5970元. 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价为x元/个，足球的单价为y元/个，根据购买2个篮球和1个足球共需费用330元；购买5个篮球和2个足球共需费用780元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买m个篮球，n个足球，根据篮球和足球总共花费810元，列出方程，求出方程的正整数解即可； （3）设购买篮球a个，则购买足球个，根据篮球不少于19个，且总费用不超过6050元，列出不等式组，解不等式组即可得出答案． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为x元/个，足球的单价为y元/个，依题意得： ， 解得， 经检验，符合题意， 答：篮球和足球的单价分别是120元/个、90元/个． 【小问2详解】 解：设购买m个篮球，n个足球，依题意得 ， 整理得， m、n都是正整数， 或 共有2种购买方案，分别是： 方案1：购买3个篮球，5个足球； 方案2：购买6个篮球，1个足球． 【小问3详解】 解：设购买篮球a个，则购买足球个，依题意得， 解得： 又 ， ， a是正整数， 或20或21， 相应的或40或39， 共有3种购买方案，分别是： 方案l：购买19个篮球，41个足球，总费用为：（元）； 方案2：购买20个篮球，40个足球；总费用为：（元）； 方案3：购买21个篮球，39个足球；总费用为：（元）； ， 方案1的费用最少，最少费用为5970元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或根据不等关系列出不等式组． 24. 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，其中秤盘质量10克，重物质量x克，秤砣质量40克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．通过实验发现l、a、x、y存在以下数量关系：． 【设计杆秤】设定最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为40厘米． （1）①当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l和a的方程； ②当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l和a的方程； ③请根据所列的两个方程，求出l和a的值． （2）用含有x的代数式表示y． （3）请确定刻线的位置，从零刻线开始，计算出每隔100克在杆秤上的对应刻线到零刻线的距离，并写出相邻刻线间的距离． 【答案】（1）①；②；③，；（2）；（3）4厘米 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键． （1）①②根据题意可直接进行求解；③联立①②可求解； （2）把求得的a、l的值代入进行求解； （3）分别计算x为… 克时对应的y值，求出相邻刻线间的距离． 【详解】（1）①根据题意得： ， ，代入得：，则； ②根据题意得：， ，代入得： ，； ③联立①②得：，解得：； （2）把代入， 可得：，得：； （3）由（2）可知：， 当 克时，厘米； 当克时，厘米； 当克时，厘米； 当克时，厘米； …… 当克时，厘米． 相邻刻线间的距离为厘米． 即相邻刻线间的距离为4厘米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $