精品解析：福建莆田市城厢区砺成中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

2025－2026学年下砺成七年级期中试卷 一．选择题 1. 电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上锋芒毕露，迅速成为众人关注的焦点．它不仅是一部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任．哪吒的剧照如图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（ ） A. 与是对顶角 B. 与是内错角 C. 与是同位角 D. 与是邻补角 4. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三：人出六，不足五．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出6钱，还差5钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 8. 下列图形中，由，能得到的是（　　） A. B. C. D. 9. 有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若整数使关于的不等式组至少有 个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 11. 已知，用x的代数式表示y，则________． 12. 用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：_______________． 13. 将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式，可写为________． 14. 已知方程组的解满足，则的值为______． 15. 若不等式组无解，则的取值范围是______． 16. 如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为， ， ， ， ， ， ，并将， ， ， ， ， ，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点 ，且 ， ，，则的度数为____________． 三．解答题 17. 解方程组 18. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 19. 如图，直线 ， 相交于点O， 平分，且，射线在的内部． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 20. 某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元． （1）若购买这两种学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？ （2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 21. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图②，，平分， 平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ∴ ________（___________） ∵平分（已知）， ∴_________（角平分线的定义）， 同理，_________， ∴（__________） ∴__________（_________） ∴（_________） 22. 某学习小组在综合与实践活动课上进行平行线及三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用平行线的性质及三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年11月25日 知识储备 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 问题解决 如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边 上的点，将沿直线折叠，使点落在点处． 任务1 （1）如图1，若，探究和的数量关系，并说明理由； 任务2 （2）如图2，若 ，则与的数量关系是______； （3）如图3，若点落在下方，探究和的数量关系，并说明理由． 23. 阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 （1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； （2）已知，满足方程组，求的值． 24. 若m，n都是实数，且满足，则称点为“爱心点”． （1）判断点是否为“爱心点”，并说明理由； （2）若点是“爱心点”，求a的值； （3）已知点是“爱心点”，其中x，y是关于x，y的方程的解．若无论p取何值，代数式（k是常数）的值始终不变，求k的值． 25. 一副三角板摆放如图，其中边与 边在直线上．将绕点顺时针旋转，旋转速度是每秒 ，同时绕点开始逆时针旋转，旋转速度是每秒 当任何一块三角板的边转到直线上时，两块三角板同时停止运动． （1）求当 边与边所在直线重合时的时间； （2）求当其中一块三角板的边所在的直线平分另一块三角板内角时的时间（画出相应示意图）； （3） 的最小值，并写出相应的时间或时间范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下砺成七年级期中试卷 一．选择题 1. 电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上锋芒毕露，迅速成为众人关注的焦点．它不仅是一部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任．哪吒的剧照如图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移前后，图形的大小，形状，方向都不变，只是位置发生改变，判断即可． 【详解】解：上面四个图形中，由该图平移得到的图形是D． 2. 下列各方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二元一次方程需满足三个条件：是整式方程；含有两个未知数；所有含未知数的项的次数都是1，据此逐一验证选项即可． 【详解】A、中是分式，方程不是整式方程，不符合要求，故A错误； B、中项的次数为2，不符合次数都是1的要求，故B错误； C、中项的次数为2，不符合要求，故C错误； D、，含有，两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，故D正确． 3. 如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（ ） A. 与是对顶角 B. 与是内错角 C. 与是同位角 D. 与是邻补角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对顶角，同位角，内错角，邻补角的定义，熟练掌握对顶角，同位角，内错角，邻补角的定义是解题的关键．根据对顶角，同位角，内错角，邻补角的定义进行判断即可． 【详解】解：与是对顶角，故A正确； 与是内错角，故B正确； 与是同旁内角，故C不正确； 与是邻补角，故D正确； 故选C． 4. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ，，， ∴A、B、D选项不成立，不符合题意；C选项一定成立，符合题意． 5. 一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的定义，本题需注意应找到每天服用时4次每次的剂量；每天服用时3次每次的剂量，然后找到最大值与最小值即可． 【详解】解：根据题意，由“每日用量，分次服用”， 用（/次），（/次） 得到一次服用这种药的剂量为：， 则没在此范围内， 故选：A． 6. 《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三：人出六，不足五．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出6钱，还差5钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每人出8钱，还盈余3钱，可得，根据每人出6钱，还差5钱，可得，然后即可列出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得：． 7. 一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： ， 故选：B． 8. 下列图形中，由，能得到的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理依次进行判断即可． 【详解】解：A．不能判定，故此选项不符合题意； B．∵， ∴ ，但不能判定，故此选项不符合题意； C．不能判定，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，故此选项符合题意． 9. 有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样． 10. 若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组得到解集，根据不等式组至少有个整数解确定的取值范围，再解方程组，根据方程组的解为整数找出符合条件的整数，统计其个数即可． 【详解】解：解不等式， ， ， 解得； 解不等式， ； 不等式组的解集为， 不等式组至少有个整数解， ， 解得． ， 由 得，， 将代入 得，， 整理得， ， 将代入得，， 方程组的解为整数， 为整数， 为整数，且， ，， ， 所有满足条件的整数的个数是个． 二．填空题 11. 已知，用x的代数式表示y，则________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据等式的性质，通过移项运算即可求解． 【详解】解：． 移项得，． 12. 用不等式表示“的平方与 的平方的和不小于与 的积的4倍”：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别表示出a的平方与b的平方的和，再表示出a与b的积的4倍，根据“不小于”的不等关系列出不等式． 【详解】解：用不等式表示“的平方与 的平方的和不小于与 的积的4倍”：． 13. 将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式，可写为________． 【答案】 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】先明确命题的题设与结论，再按照要求将命题改写为“如果…，那么…”的形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”中，题设为两个角是对顶角，结论为这两个角相等， 因此将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 14. 已知方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 得：，即， ∵， ∴， ∴ ． 15. 若不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组无解的判定规则，列出关于a的一元一次不等式，求解即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 移项得， 合并同类项得， 解得 ． 16. 如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且 ， ，，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质，结合与，建立角的等式关系，最终推导出的值． 【详解】解：过点作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 已知，， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和辅助线的构造．解题关键是通过构造平行线，将分散的角关联起来，再结合已知等式进行角度代换与计算． 三．解答题 17. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的基本思路是消元，可选用加减消元法进行求解，掌握消元法的步骤即可正确解答． 【详解】解：  由  ，得 ，  解得：  ； 把 代入①，得  ， 解得：  ； ∴方程的解为：． 18. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】不等式组的解集为，把解集表示在数轴上见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再把解集表示在数轴上，结合数轴即可得出解集． 【详解】解：， 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 将解集表示在数轴上如图所示： ∴不等式组的解集为：． 19. 如图，直线， 相交于点O，平分，且，射线在的内部． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定义得出，再根据平角定义，求出结果即可； （2）根据对顶角相等得出，根据，求出，再根据角度间的数量关系，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵平分，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元． （1）若购买这两种学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？ （2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】（1）购买A种学习用品400件，B种学习用品600件 （2）最多购买B型学习用品800件 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式． （1）设购买A种学习用品x件，B种学习用品y件，根据某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，购买这两种学习用品用了26000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设可以购买B型学习用品a件，则购买A型学习用品（1000﹣a）件，根据购买这批学习用品的钱不超过28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设购买A种学习用品x件，B种学习用品y件， 由题意得：， 解得：， 答：购买A种学习用品400件，B种学习用品600件； 【小问2详解】 解：设可以购买B型学习用品a件，则购买A型学习用品件， 由题意得：， 解得：， 答：最多购买B型学习用品800件． 21. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图②，，平分， 平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ∴ ________（___________） ∵平分（已知）， ∴_________（角平分线的定义）， 同理，_________， ∴（__________） ∴__________（_________） ∴（_________） 【答案】，两直线平行，内错角相等；；；等量代换； ，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； 【解析】 【详解】证明：∵（已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等） ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理， ， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 22. 某学习小组在综合与实践活动课上进行平行线及三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用平行线的性质及三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年11月25日 知识储备 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 问题解决 如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边 上的点，将沿直线折叠，使点落在点处． 任务1 （1）如图1，若，探究和的数量关系，并说明理由； 任务2 （2）如图2，若 ，则与的数量关系是______； （3）如图3，若点落在下方，探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）；（3）．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角，平行线的性质，三角形的外角性质． （1）利用平行线的性质求得，，即可求解； （2）判断出点恰好在上，利用三角形的外角性质即可求解； （3）连接，利用三角形的外角性质求得，，据此求解即可． 【详解】解：（1）；理由如下， 由折叠的性质知， ∵， ∴，， ∴； （2）由折叠的性质知， ∵ ， ∴点恰好在上， ∴； 故答案为：； （3）．理由如下： 连接， 由折叠的性质知，，， ∴，， ∴，， ∴． 23. 阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 （1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； （2）已知，满足方程组，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用整体代换的方法进行求解即可； （2）结合题目所给的解答方法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 将②变形为：，即， 将①代入③得：， 解得：， 把代入①得， 故原方程组的解是：； 【小问2详解】 解：原方程组可化为：， 将①代入②得：， 解得：． 24. 若m，n都是实数，且满足，则称点为“爱心点”． （1）判断点是否为“爱心点”，并说明理由； （2）若点是“爱心点”，求a的值； （3）已知点是“爱心点”，其中x，y是关于x，y的方程的解．若无论p取何值，代数式（k是常数）的值始终不变，求k的值． 【答案】（1）是；理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点得出，从而证明，说明点是“爱心点”； （2）根据“爱心点”定义求出，根据，得出，然后解方程即可； （3）根据“爱心点”定义求出，解方程组，得出，求出，根据无论p取何值，代数式的值始终不变，得出，求出k的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴点是“爱心点”； 【小问2详解】 解：∵是爱心点， ∴，解得：， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：∵是“爱心点”， ∴，解得：， ∵， ∴，即， ∵x，y是关于x，y的方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∵无论p取何值，代数式的值始终不变， ∴， 解得： ． 25. 一副三角板摆放如图，其中边与边在直线 上．将绕点顺时针旋转，旋转速度是每秒 ，同时绕点开始逆时针旋转，旋转速度是每秒 当任何一块三角板的边转到直线 上时，两块三角板同时停止运动． （1）求当边与边所在直线重合时的时间； （2）求当其中一块三角板的边所在的直线平分另一块三角板内角时的时间（画出相应示意图）； （3） 的最小值，并写出相应的时间或时间范围． 【答案】（1）秒 （2）秒或秒或 秒或 秒或 秒， （3）当 时， 的最小值为 【解析】 【分析】（1）设边与边重合的时间为，由于边与边重合，即 ，列方程求解即可； （2）设运动时间为 ，根据题意可知，一条边平分另一个三角形的内角需要分类讨论，将两个三角形的位置进行依次重合会有五种情况出现，画出示意图，依次列方程解答即可； （3）设边与边重合的时间为，列方程求出边与边重合的时间，结合边与边重合的时间，分段进行求值，最后进行比较即可． 【小问1详解】 解：设边与边重合的时间为， 由边与边重合可得 ， ，解得 ； 【小问2详解】 解：设当其中一块三角板的边所在直线平分另一块三角板内角时的时间为 秒： ①当 所在直线平分时，如图1所示： 则 ，解得 ； ②当所在直线平分时，如图2所示： 则 ，解得 ； ③当所在直线平分 时，如图3所示： 则 ，解得 ； ④当所在直线平分 时，如图4所示： 则 ，解得 ； ⑤当所在直线平分时，如图5所示： 则 ，解得 ； 综上所述，当其中一块三角板的边所在直线平分另一块三角板内角时的时间为秒或秒或 秒或 秒或 秒； 【小问3详解】 解：由（1）知边与边重合的时间为秒， 设边与边重合的时间为，则 ，得 ， ①当 时， ， ， 则 ； ②当 时， ， ， 则 ； ③当 ，且未停止转动时， ， ， 则 ； 综上所述，当 时， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $