上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是(    ) A. B. C. D. 2.已知复数，，下列说法错误的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与共线 D. 若，则 3.设、均是非零向量，且，若关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围为(    ) A. B. C. D. 4.设函数，其中m、n、、为已知实常数，，有下列四个命题：若，则对任意实数x恒成立；若，则函数为奇函数；若，则函数为偶函数；当时，若，则，则上述命题中，正确的个数是(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共12小题，共54分。 5.已知是第四象限的角，则点在第______象限. 6.若复数z满足，则z的虚部为______. 7.已知，则______数字作答 8.记，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项. 9.已知平面向量，则在方向上的投影向量为______. 10.已知等比数列中，，，则等比数列的公比______. 11.已知向量，，若，则实数的取值范围是______. 12.方程的两根均为虚数，且两根的模的和为2，则实数______. 13.已知复数，满足，，其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则______. 14.正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为______. 15.如图，AP、AQ是某水域的两直线型岸边，，AD是的角平分线，且某养殖户准备经过D点安装一直线型隔离网、C分别在AP、AQ上，围成养殖区.若AB、AC都不超过8，则隔离网BC长度的取值范围是______. 16.已知正项数列的前n项和为，满足，则数列的通项公式为______. 三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题14分 已知复数是虚数单位，，且为纯虚数. 求实数m； 设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值范围. 18.本小题14分 已知函数的最小正周期为 求的值； 求函数的单调递减区间． 19.本小题14分 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. 求和的通项公式； 将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前n项和 20.本小题18分 如图所示，在中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点， 延长CO交AB于点图，求的值； 过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，图，设， ⅰ求证：为定值； ⅱ设的面积为，的面积为的面积为，求的最小值． 21.本小题18分 若实数列的项数为，则称项数为m的数列，，…，为的一个“配对和”数列，其中，，⋯，为1，2，⋯，2m的一个排列，甲，例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为，， 若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； 若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； 若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：根据正弦函数的对称性，令，解得， 所以图象的对称中心坐标为，， 结合题意的图象关于原点对称，可得，解得， 取，可得的一个可能值为，D项符合题意． 故选： 根据正弦函数图象的对称性，求出的对称中心坐标为，，结合的图象关于原点对称，解出，，进而可得本题答案． 本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查了概念的理解能力，属于基础题． 2.【答案】B  【解析】解：对于A，设，由知，，，故A正确； 对于B，设，，则满足，此时，，故B错误； 对于C，由，结合点积公式， 得，即或，与共线，故C正确； D选项：，，若，则，故D正确． 故选： 根据复数和向量的意义即可求解． 本题考查了复数和向量的意义，属于基础题． 3.【答案】B  【解析】解：关于x的方程有实根， ， ， ， 又， 故选： 令判别式可得，代入夹角公式得出的范围，从而得出向量夹角的范围． 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题． 4.【答案】C  【解析】解：， 若，则得， 若，则得，于是当时，对任意实数x恒成立，即命题是真命题； 当时，，它为奇函数，即命题是真命题； 当时，，它为偶函数，即命题是真命题； 当时，令，则， 上述方程中，若，则，这与矛盾，所以， 将该方程的两边同除以，得， 设，则，解得， 不妨取，且， 则，即，所以命题是假命题． 故选： 利用两角和的余弦公式化简表达式，对于命题，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出的真假；对于命题，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出的真假；对于命题，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出的真假：对于命题选项，根据，求得的零点的表达式，进而判断出的真假． 本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题． 5.【答案】二  【解析】解：因为是第四象限的角， 所以，， 点在第二象限． 故答案为：二． 根据各象限三角函数的符号规律即可求解． 本题主要考查各象限三角函数的符号，属于基础题． 6.【答案】  【解析】解：由，得， 则z的虚部为 故答案为： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 7.【答案】  【解析】解：因为， 所以， 即， 即， 则 故答案为： 结合和差角公式，同角基本关系及二倍角公式进行化简即可求解． 本题主要考查了和差角公式，同角基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 8.【答案】3  【解析】解：因为，， 所以不等式左边的比增加了，，，共3项． 故答案为： 根据给定条件，分析从到时式子的变化即可作答． 本题考查数学归纳法，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 9.【答案】  【解析】解：， 所以在方向上的投影向量为 故答案为： 利用投影向量的意义求解即可． 本题主要考查投影向量的求解，属于基础题． 10.【答案】2或  【解析】解：因为等比数列中，，， 又， 解得， 故，， 可得或， 可得或， 又和同号，故， 故等比数列的公比或 故答案为：2或 根据等比数列的性质求解即可． 本题主要考查等比数列的性质应用，属于基础题． 11.【答案】  【解析】解：已知，则它们数量积小于0且两向量不为相反向量， 所以， 若为相反向量，则两向量共线，有， 所以， 所以实数的取值范围是且 故答案为： 已知，则它们数量积小于0且两向量不为相反向量，根据向量数量积的坐标运算，共线向量的坐标表示，即可求出实数的取值范围． 本题主要考查平面向量的坐标运算，考查转化能力，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：设方程的两个虚根为，， 则，互为共轭复数， 所以， 又因为两根的模的和为2， 所以， 由韦达定理可知，， 解得， 因为， 所以， 所以 故答案为： 设方程的两个虚根为，，所以，互为共轭复数，所以，再结合韦达定理求解即可． 本题主要考查了实系数一元二次方程虚根成对定理的应用，考查了韦达定理的应用，属于基础题． 13.【答案】2025  【解析】解：设，根据共轭复数的定义：， 代入递推公式：， 实部递推关系为， 已知，这是一个公差为1的等差数列，所以， 虚部递推关系为，因为，，，， 所以虚部是以2为周期循环：0，2，0，2，…， 所以 故答案为： 分别求出实部和虚部的递推关系，利用数列知识求得和，从而可得 本题考查复数的几何意义，由数列的递推式求通项，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系， 则，， ， 即P点坐标为， 设，则，， ， ， 当且时，有最小值 故答案为： 建立坐标系，根据，求出P点坐标，设出M，N坐标分别为，，将转化为关于a，的函数，即可得到其最小值． 本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题． 15.【答案】  【解析】解：设，，，由题意可得，且， 因为， 即， 可得， 由题意可知，，， 所以， 由，解得， 所以， 令， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 则， 由余弦定理可得 ， 故， 因此BC的长的取值范围是 故答案为： 设，，，利用，结合三角形的面积公式可得出，由，，求出c的取值范围，可求出bc的取值范围，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得a的取值范围，即为所求． 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，角平分线的性质的应用，属于中档题． 16.【答案】  【解析】解：设，其中，，， 则，可知， 设，即，当时，，1，构成等边三角形，记作， 此时，可知数列是以为首项，公比为的等比数列， 可得在等边中， 可知边上的高为， 在，可得， 故 故答案为： 将数列放入三角形中，通过三角形三边关系讨论即可得出． 本题考查数列递推式，属于中档题． 17.【答案】；     【解析】，， 由题意可得，解得； ， ， 复数对应的点在第二象限， ，解得， 故实数a的取值范围为 利用复数的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解； 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0列式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 18.【答案】解：因为函数的最小正周期为， 所以，可得，可得， 所以； 由可得， 令，，解得，， 可得函数的单调递减区间为：，  【解析】由题意利用正弦函数的周期公式可求，可得函数解析式为，即可计算求解． 利用正弦函数的单调性即可求解． 本题考查了正弦函数的周期公式以及正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题． 19.【答案】解：， 当时，， 两式相减可得， ，，又，， 是首项和公比都为2的等比数列，， 点在函数的图象上，，即， 又，是首项和公差都为2的等差数列， 是所有的正偶数，又，，   【解析】根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； 由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解． 本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题． 20.【答案】解：依题意，因为， 所以， 因为O是线段AP的中点，所以， 设，则有， 因为C，O，Q三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； 证明：根据题意， 同理可得：， 由可知，， 所以， 因为E，O，F三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； 根据题意，， ， 所以， 由可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时  【解析】根据题意，将作为基底表示，由C，O，Q三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； 根据题意，将作为基底表示，由E，O，F三点共线可知，的系数之和为1，即可求出为一定值；根据题意，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可． 本题考查了平面向量基本定理的应用，属于难题． 21.【答案】，，⋯，；   ；   不存在，理由见解析．  【解析】一方面，数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和， 所以若有两个常值“配对和”数列b，b，…，b以及c，c，…，c， 则，即，即只存在一个常值“配对和”数列， 另一方面，由等差数列的性质，，，⋯，为的一个“配对和”数列， 因此，有且只有一个常值“配对和”数列：，，⋯，； 若且，则递增， 所以的常值“配对和”数列只能是：，，⋯，，否则必有两项不相等， 注意到若，则， 由此可知，即，矛盾．同理，若此时，也矛盾， 因此，时有同理，当时，也有， 综上，等比数列的公比； 此时，由于改变各项顺序不影响“配对和”数列的存在与否， 故不妨设的各项按照从小到大顺序依次为：， 注意到数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和， 因此，若假设存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项， 那么数列的各项之和为0，又数列的各项均非零，故， 由于数列和构成数列，所以存在， 因为此时是数列中最小的项，故且； 同理，存在，其中且 由此可知，数列的大小排序为：， 因为数列和的各项之和均为0， 则有下面几种可能情况： 一组：由于， 故只能写成中的某两个和， 则中的某一个，剩余两个和这与矛盾! 一组：矛盾理由与情况1同理! 一组： 则只能，， 由于，可得矛盾! 同理：不能一组， 故可得不能一组! 同理：不能一组! 而显然不能一组， 如不然，则， 这与矛盾! 同理：也显然不能一组! 则可能情况只能还有以下两种可能： 一组， 则、， 作差得矛盾! 一组：由于， 那么要由两两配对相加得到，这是不可能的，矛盾! 因此各项非零的数列不存在两个“配对和”数列和， 使得和分别是数列的前3项和后3项． 任意配对和数列和等于原数列和，故常值数列唯一；由等差数列性质，，…，为唯一常值配对和数列； 若且数列递增或递减，无法满足常值配对和数列的项相等推导得矛盾，同理时亦然，故； 设数列排序后和为0，必含正负项．假设前3项和后3项为配对和数列，分情况讨论所有三项组合，均与大小关系或和为0矛盾，故不存在． 本题考查数列的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$