福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高二第一学期第三次月考数学试题

**基本信息** 高二数学月考卷覆盖数列、解析几何、空间向量等核心模块，通过牧场存栏数应用问题（数学眼光）、新定义“Ⅱ(k)数列”（创新意识）设计，体现基础巩固与能力提升梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|等差等比数列、双曲线焦距、向量共面|基础概念直接考查，如向量共面判定（推理能力）| |多选题|3/18|直线位置关系、平行六面体向量表示|结合空间几何与向量运算，考查逻辑辨析（空间观念）| |填空题|3/15|双曲线渐近线、点到直线距离、数列递推|开放题型（渐近线方程）与运算能力结合| |解答题|5/77|圆方程、空间几何夹角、数列求和、抛物线综合、新定义数列|圆与直线位置关系（模型意识）、抛物线面积最值（数学思维）、新定义数列（创新意识），层次递进|

厦门市同安实验中学2024—2025学年度第一学期高二数学 第三次月考 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列中，，，则（     ） A． B． C．1 D．4 2．双曲线的焦距为（     ） A． B． C．2 D．4 3．两条平行线，间的距离等于（     ） A． B． C． D． 4．向量，，，若，，三个向量共面，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在各项均为正数的等比数列中，，，则（     ） A．12 B． C．24 D． 6．已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（    ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线始终过定点 10．如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（     ） A． B． C． D． 11．已知数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．可能为1 B．数列是等比数列 C． D．若，的最大值为64 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．写出一个渐近线方程为的双曲线标准方程 ． 13．已知，，三点，则到直线的距离为 . 14．数列满足，且，则数列的通项公式 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分）已知圆C经过，两点和坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且， 求直线的方程. 16． （15分）如图，在三棱柱中， 平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）已知等差数列，，. (1)求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. (3)设，求数列的前项和． 17． （17分）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的 纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. (i)若，求直线的方程； (ii)求四边形的面积的最小值． 19．（17分）设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． (1)设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，证明：． (2)是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 厦门市同安实验中学2024—2025学年度第一学期高二数学 第三次月考参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D A B C D C B ABD ABD BC 12． 13． 14． 15．（1）由题意可知， 所以圆C是以，中点为圆心， 为半径的圆， 所以圆C的方程为.…………………………………………6分 （2）因为垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且， 所以不妨设满足题意的方程为， 所以圆心到该直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为或……………………………………13分 16．（1）（法一）在三棱柱平面，平面平面， 平面平面， 平面， 为中点，， 平面平面， 平面  ………………………………………………6分 （法二）以为原点，分别以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， 所以．………………………………………6分 （2）依题意，是平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 则． 则，即， 取，则， 平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为．……………………………15分 17．（1）设数列公差为， 由得， 所以， 所以 所以 ………………………………………5分 （2）解：由（1）， 所以 . ………………………………………10分 （3）解： 所以 ………………………………………15分 18．（1）解法一：设抛物线与直线交于，． 整理得， 所以， 因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为；………………………………6分 解法二：设抛物线与直线交于， 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则，作差得， 所以， 因为，所以 则抛物线方程为，准线方程为…………………………………6分 （2）解法一：（i）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组整理得， 故 所以 解得 所以直线的方程为 即或.…………12分 （ii）因为，直线的方程为， 同理可得 所以 当且仅当，即时，取等号． 所以四边形面积的最小值为32．………17分 解法二：(i)依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组整理得， 故． 所以 解得 所以直线的方程为 即或.…………12分 (ii)因为， 同理可得 所以， 当且仅当，即时，取等号． 所以四边形面积的最小值为32．…………17分 19．（1）①解：因为为“Ⅱ（1）数列”，所以． 因为，所以． 当时，，得． 当时，，则，即， 经检验，当时，满足， 所以对任意的恒成立，是首项为2，公比为的等比数列， 所以． ………………………………………6分 ②证明：． ………………………………………………………10分 （2）假设存在这样的数列， 由是“Ⅱ（k）数列”可得． 由是“Ⅱ数列”可得， 所以，， 即，所以． 由，令，得，令，得． 因为，所以，解得， 所以为2，，2，，2，，…， 的通项公式为． 当n为偶数时，，解得，k为奇数． 当n为奇数时，，解得，k为奇数． 综上，存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”， 此时的通项公式为，且k为奇数．…………………17分 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2024—2025学年度第一学期高二数学 第三次月考 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列中，，，则（     ） A． B． C．1 D．4 2．双曲线的焦距为（     ） A． B． C．2 D．4 3．两条平行线，间的距离等于（     ） A． B． C． D． 4．向量，，，若，，三个向量共面，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在各项均为正数的等比数列中，，，则（     ） A．12 B． C．24 D． 6．已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（    ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线始终过定点 10．如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（     ） A． B． C． D． 11．已知数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．可能为1 B．数列是等比数列 C． D．若，的最大值为64 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．写出一个渐近线方程为的双曲线标准方程 ． 13．已知，，三点，则到直线的距离为 . 14．数列满足，且，则数列的通项公式 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分）已知圆C经过，两点和坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且， 求直线的方程. 16． （15分）如图，在三棱柱中， 平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）已知等差数列，，. (1)求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. (3)设，求数列的前项和． 17． （17分）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的 纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. (i)若，求直线的方程； (ii)求四边形的面积的最小值． 19．（17分）设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． (1)设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，求． (2)是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $