精品解析：福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题

厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化为标准方程 ，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的方程为 ， 则其焦点坐标为，准线方程为． 故选： 2. 已知点关于 轴的对称点为 ，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】由题意可得，则. 故选：D 3. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法，模长定义即得. 【详解】因， 对于A选项，由可得：，易知的值不存在； 对于B选项，由可知不成立； 对于C选项，； 对于D选项， 故选：D. 4. 在三棱锥中， 、分别是、 的中点， 是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于基向量、、的表达式 【详解】连接，因为 为的重心，则，如下图所示： 因为为 的中点，则， 所以，， 所以， . 故选：D. 5. 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面 千米，远地点（离地面最远的点） 距离地面千米，并且、、 在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（    ）千米 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性，找到、 、 与地球半径之间关系，求解即可. 【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、 、 ，由题可知， 由题意可得， 上述两个等式相乘可得， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米. 故选：A. 6. 已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两圆的位置关系得出 ，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【详解】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D 7. 若直线与圆交于两点，且直线不过圆心 ，则当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，周长最小，由此可求的值，即而得出圆心到直线的距离及弦长，求出面积即可. 【详解】由可得， 故圆心，半径， 直线的方程可化为， 所以直线恒过定点， 因为 所以点 在圆内， 由圆的性质可得当时，最小，周长最小， 又， 所以，此时，即直线， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以， 故选：B 8. 设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式可得，设，则可借助面积公式与等面积法得到，再利用离心率公式计算即可得解. 【详解】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直， 如图所示，则， 由点到直线的距离公式可得，又，所以． 设，则，得，从而， 由，解得， 由，得，解得． 从而可得，所以离心率． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据曲线的方程特点，确定曲线的焦点位置，求出相应的基本量，即可逐一判断选项正误. 【详解】由可得，知曲线为椭圆，其焦点在 轴上， 且长轴长为8，故A正确； 由可得双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为：， 即 ，故B正确； 对于C，由可得， 由可得，故与的离心率互为倒数，故C正确； 对于D，因曲线的焦点位置不同，故焦点坐标不可能相同，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列命题中真命题的是（ ） A. 直线的倾斜角不存在； B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则； C. 已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D. 如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，直线的倾斜角为，A错误； 对于B，因为 ，故，则或，B错误； 对于C，由题意可知，则与同方向的单位向量为 ， 则点到直线OA的距离是，C正确； 对于D，如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一个基底， 则向量，与任何向量均共面，那么，一定共线，D正确． 11. 已知圆，则（ ） A. 点在圆 内 B. 若点在圆 上，则的最大值为 C. 若圆 上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D. 若点P在直线上，点 在圆 上，，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用点圆位置关系的判定方法可判断A，将问题转化为直线与圆的位置关系，从而列式可判断B，将问题转化为圆心 到直线的距离问题，从而列式可判断C，利用将军钦马问题，结合定点到圆上动点的距离问题可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以点在圆 外，故A错误； 对于B，因为圆，可化为， 所以圆心，半径为， 设，则，又点在圆 上， 所以直线与圆 有交点， 即，解得， 所以的最大值为，故B正确； 因为圆 上恰有三个点到直线的距离为1，而圆 的半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得，故C正确； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得，则， 则， 而的最小值为， 所以， 当且仅当四点共线，且 在线段 时，等号成立， 则的最小值为. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量法求解线面角即可. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为：. 13. 已知点，，直线过点且与线段 有交点，则直线的斜率的取值范围为__. 【答案】 【解析】 【分析】计算，，根据图像得到范围。 【详解】如图所示：，. 直线的斜率的取值范围为 故答案为： 14. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得和的周长，再根据光速相同，时间比等于路程比，再结合C与S的离心率之比为，即可求解. 【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，两式相减得， 所以的周长为， 在图②中，的周长为， 因为光速相同， 因为C与S的离心率之比为，即， 所以. 故答案为：6. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求与夹角的余弦值； （2）当时，求实数k的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案. （2）根据列方程，从而求得的值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由于， 所以， 所以， ， 解得或. 16. 在平面直角坐标系 中，已知点，点，动点 满足：直线PM与直线PN的斜率之积是. （1）求动点的轨迹 的方程； （2）直线与（1）中轨迹 相交于， 两点，若为线段的中点，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求弦长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据斜率乘积得到方程，化简即可； （2）利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可； （3）联立直线与椭圆，再利用弦长公式即可得到答案. 【小问1详解】 由题意，化简 ， 又因为直线PA、PB的斜率存在，则. 故动点的轨迹 的方程为. 【小问2详解】 设，，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有， 又为线段AB的中点， 则有，，代A即得直线的斜率为， 直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点， 整理可得直线的方程为. 【小问3详解】 ， 设，，则，， 故. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形， 平面，分别为 的中点． （1）证明： 平面； （2）若 ，求平面与平面 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：取 中点 ，连接 ， 因为分别为 的中点，所以 ，且 ， 又底面为正方形，且E为AB中点，所以 ，且 ， 则 ,故四边形 为平行四边形，则 ， 因为 平面， 平面，所以 平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）取 中点 ，求证 ，利用线面平行的判定定理证明； （2）以点 为坐标原点建系，利用法向量求夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点 为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 设平面 的一个法向量为， 则，可取， 则， 由图可知，平面与平面 所成角为锐角， 所以平面与平面 所成角的余弦值为． 18. 在平面直角坐标系中，已知直线过点，且与，分别交于点A，B． （1）若点A在直线上，且 的平分线为射线， （ⅰ）求 的值； （ⅱ）求点B的坐标． （2）若直线与轴负半轴及 轴正半轴分别交于点M，N，求的最小值及取最小值时直线的方程． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）4，． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据题意求得点A的坐标，根据轴对称的两点的坐标关系，求得点A关于直线 的对称点的坐标，即可求点m的值；（ⅱ）根据三点共线可得点 的坐标； （2）用直线 的倾斜角分别表示，进而得到.根据三角函数的最值求法，求得的最小值及取最小值时的倾斜角，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 （ⅰ）由题意知，直线，均过坐标原点，直线的方程为 ， 因为点为直线与直线的交点，所以 ． 因为 的平分线为射线，所以点关于直线 的对称点在直线上， 设，则 解得，． （ⅱ）设，因为点 ，，共线，且直线斜率存在， 所以． 解得，所以． 【小问2详解】 设直线的倾斜角为，则． 由，得，， 所以， 当时取等号，此时直线的斜率为1，方程为，即． 19. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过 的右焦点的直线交 的右支于两点，当轴时，. （1）求 的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①证明：如图，设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线 所过定点必在轴上， 令 ，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以 过定点； ； ② 【解析】 【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线 、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【小问1详解】 由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为. 【小问2详解】 ①略； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点关于 轴的对称点为 ，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 3. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中， 、分别是、 的中点， 是 的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点） 距地面 千米，远地点（离地面最远的点） 距离地面千米，并且、 、 在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（    ）千米 A. B. C. 2 D. 6. 已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与圆交于两点，且直线不过圆心 ，则当 的周长最小时， 的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为 ．若，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 下列命题中真命题的是（ ） A. 直线的倾斜角不存在； B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则； C. 已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D. 如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 11. 已知圆，则（ ） A. 点在圆 内 B. 若点在圆 上，则的最大值为 C. 若圆 上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D. 若点P在直线上，点 在圆 上，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为______． 13. 已知点，，直线过点且与线段 有交点，则直线的斜率的取值范围为__. 14. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求与夹角的余弦值； （2）当时，求实数k的值． 16. 在平面直角坐标系 中，已知点，点，动点 满足：直线PM与直线PN的斜率之积是. （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）直线与（1）中轨迹 相交于 ， 两点，若为线段的中点，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求弦长. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形， 平面，分别为 的中点． （1）证明： 平面； （2）若 ，求平面与平面 所成角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知直线过点，且与，分别交于点A，B． （1）若点A在直线上，且 的平分线为射线， （ⅰ）求 的值； （ⅱ）求点B的坐标． （2）若直线与轴负半轴及 轴正半轴分别交于点M，N，求的最小值及取最小值时直线的方程． 19. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过 的右焦点的直线交 的右支于两点，当轴时，. （1）求 的方程； （2）过点 作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $