精品解析：福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年高二数学上学期期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即 ，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点 到左焦点的距离为2. 故选:D. 2. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值. 【详解】由，可得两条直线相互平行， 所以最小值为平行线之间的距离，可化为， 所以，. 故选：A 3. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 4. 已知直线与垂直，则实数的值是（ ） A. 0或3 B. 3 C. 0或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出的值 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 故实数的值是. 故选：D. 5. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设圆上任一点为 ，中点为，根据中点坐标公式得，，因为 在圆上，所以，即，化为，故选A. 考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的. 6. 已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量单位化，求得直线的单位方向向量，利用点线距的向量公式，可得答案. 【详解】与向量同向的单位向量，则直线的单位方向向量为， 设，则点到直线的距离为， 易知当 时，距离取得最小值为 . 故选：B. 7. 已知焦点在 轴上的椭圆 的一条弦所在的直线方程是 ，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】运用作差法、中点坐标公式及直线斜率求解即可. 【详解】设直线 与椭圆相交于，， 由题意得 ， ， 直线的斜率为 ， 由，两式相减得 ， 所以 ，即 ，所以 ，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 8. 某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为 米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】适当建立平面直角坐标系，根据直线与圆的位置关系，结合弦长的求法可得拱桥的水面跨度，进而得解. 【详解】 由题意，建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，，， 其中 为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为， 则， 解得，， 则圆形拱桥的水面跨度为， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中错误的是（ ） A. 任意向量满足 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若 为正四面体，G为的重心，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相等向量的概念即可判断选项A；根据空间向量的坐标系中，点关于坐标平面对称点的特征即可判断选项B；根据空间向量的基底的概念即可判断选项C；根据空间向量的线性运算和重心的定义即可判断选项D. 【详解】对于A：因为与是一个数量，则与共线，与共线， 而向量不一定共线，所以不一定成立，故A错误； 对于B：点关于坐标平面的对称点为，故B错误； 对于C：因为是空间的一个基底，所以不共面， 假设共面，则存在实数使得， 即，所以，方程组无解， 所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确； 对于D：， 则，又 为的重心， 所以，故，故D正确. 故选：AB. 10. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示椭圆 B. 若曲线表示双曲线，则 C. 无论取何值，曲线都不能表示圆 D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线、圆、抛物线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若曲线表示椭圆， 则，解得，所以A选项错误. B选项，若曲线表示双曲线， 则，解得，所以B选项正确. C选项，由上述分析可知，当时，曲线方程可化为， 表示圆，所以C选项错误. D选项，依题意可知且， 由上述分析可知：无论取何值，曲线C都不能表示抛物线，D选项正确. 故选：BD 11. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆相切时， B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 的最大值为5 【答案】AB 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，半径 . 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，所以A选项正确. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 圆心到直线的距离， 当时， ， 当 时，，所以C选项错误. 又，是圆上的点， 所以的最大值为，D选项错误. 故选：AB. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程是________. 【答案】 【解析】 【详解】分析：利用抛物线的准线方程为，可得抛物线的准线方程. 详解：因为抛物线的准线方程为， 所以抛物线的准线方程为，故答案为. 点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题. 13. 已知双曲线与椭圆的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件和椭圆中基本量的关系求出双曲线中基本量的关系，再得到渐近线方程即可. 【详解】在中，，所以， 因为双曲线与椭圆的焦距相等， 所以在双曲线中，， 因为其中一个顶点坐标为，所以， 故，所以的渐近线方程为. 故答案为： 14. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，． （1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为_________； （2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为_________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的对称性求出椭圆的离心率；（2）利用光的反射定律及椭圆的定义，借助几何图形求出即可. 【详解】（1）令入射光线射到椭圆上的点，依题意，， 由椭圆的对称性知，点为椭圆短轴的端点，则， 所以椭圆C的离心率为； （2）由光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，得，即， 延长交于点，由光的反射定律知 垂直平分线段，连接， 则是的中位线，于是， 而点H在圆上，则，短轴长. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程. 15. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线 垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线 平行.已知直线过点，______. （1）求直线的一般方程； （2）若直线与圆 相交于P、Q，求弦长|PQ|. 【答案】（1）选①，直线的方程为 ，选②，直线的方程为 ，选③，直线的方程为 （2）4 【解析】 【分析】（1）①应用垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程；②根据方向向量得出斜率，再点斜式得出直线方程；③应用平行得出斜率，再点斜式得出直线方程； （2）应用点到直线的距离及圆的半径，再结合几何法计算得出弦长即可. 【小问1详解】 选①；因为直线 的斜率为，且直线 与直线垂直，所以直线的斜率为 依题意，直线的方程为 .即 选②:因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 依题意，直线的方程为 ，即 ； 选③:因为直线 的斜率为，又因为直线与 平行， 所以直线的斜率为 依题意，直线的方程为 ，即 【小问2详解】 圆 的圆心到直线 的距离为 由圆的半径为，可知 16. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． （1）求证：； （2）当点E为棱AB的中点时，求点B1到平面ECD1的距离； （3）当AE为何值时，平面D1EC与平面AECD所成角为？ 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，把，转化为计算即可. （2）利用空间向量方法求点到面的距离. （3）设出，利用空间向量表示面D1EC与平面AECD所成角，求出. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，所在直线为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，，， 则，，，，， 即，， 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 如图，当E为棱AB的中点时，， ，， 设平面的法向量为， 则，令 ，则，则 ， 所以， 设点B1到平面ECD1的距离，， 所以， 所以点B1到平面ECD1的距离为. 【小问3详解】 设时，平面D1EC与平面AECD所成角为，则， 由图知，平面AECD法向量为， ，， 设平面的法向量为， 则，令 ，则， ， 所以， 因为平面D1EC与平面AECD所成角为， 所以， 解得或（舍）. 所以当AE为时，平面D1EC与平面AECD所成角为. 17. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若 ，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点 ，的夹角为 ，求三角形的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. 【小问1详解】 当 时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； 【小问2详解】 由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 18. 已知椭圆的方程为，直线：. （1）写出椭圆的焦距和离心率； （2）当时，求椭圆被截得的弦长； （3）已知与椭圆交于两点，为坐标原点，当时，求的值. 【答案】（1）焦距为2，离心率为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程及离心率公式求解即可. （2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可. （3）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理、向量垂直的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 由，可得，， 所以，，， 所以椭圆的焦距为2，离心率为. 【小问2详解】 当时，直线：， 联立 ，整理得： ， ， 设直线与椭圆交点坐标为，， 所以，， 则， 即椭圆被截得的弦长为. 【小问3详解】 设，，则，， 联立方程：，整理可得： ， 因为存在两个交点，故 ，解得， ，， 所以， 因为，所以，所以 ， 即 ，解得，均满足， 所以的值为. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点 ，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和 两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形 ， 其中、、、． 即点在正方形 的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段 上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 【小问3详解】 易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当 时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二数学上学期期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 2. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与垂直，则实数的值是（ ） A. 0或3 B. 3 C. 0或 D. 5. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A. B. C. D. 6. 已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6 7. 已知焦点在轴上的椭圆 的一条弦所在的直线方程是 ，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为 米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中错误的是（ ） A. 任意向量满足 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若 为正四面体，G为的重心，则 10. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示椭圆 B. 若曲线表示双曲线，则 C. 无论取何值，曲线都不能表示圆 D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线 11. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆相切时， B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 的最大值为5 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程是________. 13. 已知双曲线与椭圆的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为__________. 14. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，． （1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为_________； （2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程. 15. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线 垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线 平行.已知直线过点，______. （1）求直线的一般方程； （2）若直线与圆 相交于P、Q，求弦长|PQ|. 16. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． （1）求证：； （2）当点E为棱AB的中点时，求点B1到平面ECD1的距离； （3）当AE为何值时，平面D1EC与平面AECD所成角为？ 17. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若 ，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点 ，的夹角为 ，求三角形的面积. 18. 已知椭圆的方程为，直线：. （1）写出椭圆的焦距和离心率； （2）当时，求椭圆被截得的弦长； （3）已知与椭圆交于两点，为坐标原点，当时，求的值. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点 ，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $