精品解析：福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高二第一学期第三次月考数学试题

厦门市同安实验中学2024—2025学年度第一学期高二数学 第三次月考 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 双曲线 的焦距为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 两条平行线，间的距离等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在各项均为正数的等比数列中， ， ，则（ ） A. 12 B. C. 24 D. 6. 已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆 上的点，，且，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为 ，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（ ） A. 1420 B. 1480 C. 1520 D. 1580 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 10. 如图，在平行六面体中，，与的交点为 ，设，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前 项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为1 B. 数列是等比数列 C. D. 若， 的最大值为64 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出一个渐近线方程为的双曲线标准方程_______． 13. 已知 ，，三点，则到直线 的距离为______. 14. 数列满足，且，则数列的通项公式 ________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知圆C经过，两点和坐标原点O. （1）求圆C的方程； （2）垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 16. 如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知等差数列， ， . （1）求数列的前 项和； （2）设 ，求数列的前 项和. （3）设，求数列的前 项和． 18. 抛物线 被直线所截得的弦PQ的中点 的纵坐标为1． （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若 ，求直线的方程； （ii）求四边形 的面积的最小值． 19. 设数列的前n项和为，若 ，且对任意的，均有 （k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． （1）设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，求． （2）是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2024—2025学年度第一学期高二数学 第三次月考 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】等差数列中，，， 所以，解得. 故选：D 2. 双曲线 的焦距为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，得出，计算出 ，即可求出焦距. 【详解】因为双曲线方程为 ，所以，因为，所以 ，所以双曲线 的焦距为4. 故选：D 3. 两条平行线，间的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意知：，：，即， 因为两直线平行，所以距离为，故A正确. 故选：A. 4. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得与不共线，所以由空间向量共面定理可知存在实数 ，使，然后将坐标代入化简可求出的值. 【详解】因为 所以与不共线， 所以存在实数 ，使， 所以， 所以，解得. 故选：B 5. 在各项均为正数的等比数列中， ， ，则（ ） A. 12 B. C. 24 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求解. 【详解】在各项均为正数的等比数列中， ， ， 所以 ， 解得 ， 此时， 所以 . 6. 已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先通过半径判断出两圆关系为内含，然后根据结合椭圆的几何定义，判断出轨迹为椭圆得解. 【详解】圆和圆的圆心、半径分别为，，，， 由可知圆内含于圆， 设动圆半径为R，由题意可得，，两式相加可得， 故P点的轨迹是以，为焦点的椭圆，， ， 所以 ，， 所以椭圆方程为， 故选：D. 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆 上的点，，且，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆 的离心率为， 故选：C. 8. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为 ，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（ ） A. 1420 B. 1480 C. 1520 D. 1580 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可. 【详解】依题意，当时，，则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断D． 【详解】对于A，当时，直线，斜率 ，则倾斜角为 ，故A正确； 对于B，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，，当时，所以直线恒过，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在平行六面体中，，与的交点为 ，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，. 对于A，， 故A正确、B不正确； 对于C， 故C正确; 对于D， ，故D正确． 故选：ACD. 11. 已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为1 B. 数列是等比数列 C. D. 若，的最大值为64 【答案】BC 【解析】 【分析】利用递推公式求出范围可判断A；对递推式变式结合等比数列定义可判断B；由，结合等差数列求和公式利用分组求和可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，当时，，又，所以，故A错误； 对于B，由，得，即，由选项A知 ，故数列是以 为首项，-1为公比的等比数列，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，为奇数时，， 为偶数时，， 因为，所以的最大值不可能为64，故D错误； 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出一个渐近线方程为的双曲线标准方程_______． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设双曲线方程焦点在轴上，根据渐近线方程以及的关系，得出双曲线的标准方程． 【详解】不妨设双曲线方程焦点在轴上，渐近线方程为，则 故答案为： 13. 已知 ，，三点，则到直线 的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 得到， 所以到直线 的距离为， 故答案为：. 14. 数列满足，且，则数列的通项公式 ________． 【答案】 【解析】 【分析】累加法求数列通项公式. 【详解】 ，该通式对 也适用， 所以答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知圆C经过，两点和坐标原点O. （1）求圆C的方程； （2）垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可知 ，由此得圆的半径，圆心，进而得解. （2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解. 【小问1详解】 由题意可知 ， 所以圆C是以，中点为圆心，为半径的圆， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 因为垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且， 所以不妨设满足题意的方程为， 所以圆心到该直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为或 16. 如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）两种方法：第一种：通过证明线面垂直，进而证明线线垂直；第二种：先建立直角坐标系，通过证明 进而证明，即． （2）先建立直角坐标系，再分别求出两个平面的法向量，即可求解 【小问1详解】 （法一） 在三棱柱平面，平面平面， 平面平面， 平面， 为中点，， 平面平面， 平面 （法二） 以为原点，分别以所在直线分别为轴， 轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， 所以． 【小问2详解】 依题意，是平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 则． 则，即， 取 ，则， 平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知等差数列， ， . （1）求数列的前项和； （2）设 ，求数列的前项和. （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助等差数列基本量计算即可得； （2）利用等比数列求和公式分组求和即可得； （3）借助裂项相消法计算即可得. 【小问1详解】 设数列的公差为，由，得， ，所以 ， 所以 ； 【小问2详解】 由（1） ， 所以 ； 【小问3详解】 ， 所以 . 18. 抛物线 被直线所截得的弦PQ的中点 的纵坐标为1． （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于 ， 两点. （i）若 ，求直线的方程； （ii）求四边形 的面积的最小值． 【答案】（1） ，准线方程为 （2）（i） 或 ；（ii）32 【解析】 【分析】（1）解法一：联立直线与抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，再利用抛物线定义计算可得，即可得抛物线的准线方程；解法二：借助点差法与中点弦性质计算可得，即可得抛物线的准线方程； （2）解法一：（i）设直线的方程为 ，联立抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形 的面积，再利用基本不等式计算即可得解；解法二：（i）设直线的方程为 ，联立抛物线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形 的面积，再利用基本不等式计算即可得解. 【小问1详解】 解法一：设抛物线与直线交于，， 联立方程组，整理得 ， 所以 ，因为 ，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线 与直线交于，， 因为截得的弦的中点 的纵坐标为1，故， ， 则，作差得 ， 所以 ，因为 ，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 【小问2详解】 解法一：（i）依题意设直线的方程为 ，，，， 联立方程组，整理得 ，故， 所以 ，解得， 所以直线的方程为 ， 即 或 ； （ii）因为， ，同理可得 ， 所以 ， 当且仅当，即 时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：（i）依题意设直线的方程为 ，，，． 联立方程组，整理得 ，故， 所以 ，解得 所以直线的方程为 ， 即 或 ； （ii）因为，，同理可得 ， 所以 ， 当且仅当，即 时，取等号， 所以四边形 面积的最小值为32． 19. 设数列的前n项和为，若 ，且对任意的，均有 （k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． （1）设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，求． （2）是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2）存在，的通项公式为，且k为奇数 【解析】 【分析】（1）①应用求出通项公式；②应用分组求和法求出即可； （2）应用为“Ⅱ（k）数列”且为“Ⅱ数列”的定义计算求解得出及为奇数. 【小问1详解】 ①解：因为为“Ⅱ（1）数列”，所以 ． 因为 ，所以 ． 当时， ，得 ． 当时， ，则，即， 经检验，当时，满足， 所以对任意的恒成立，是首项为2，公比为 的等比数列， 所以． ②解：． 【小问2详解】 （2）假设存在这样的数列， 由是“Ⅱ（k）数列”可得 ． 由是“Ⅱ数列”可得 ， 所以，， 即，所以 ． 由 ，令，得 ，令 ，得． 因为 ，所以 ，解得 ， 所以为2，，2，，2，，…， 的通项公式为． 当n为偶数时， ，解得 ，k为奇数． 当n为奇数时， ，解得 ，k为奇数． 综上，存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”， 此时的通项公式为，且k为奇数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $