精品解析：福建省泉州市第七中学数学高三考前定位卷数学试题

绝密★启用前 福建省泉州市第七中学数学高三考前定位卷数学试题 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 5. 已知，函数，为奇函数，则（ ） A. 13 B. 24 C. 80 D. 240 6. 某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（   ） A. B. C. D. 7. 已知球 的半径为，圆锥内接于球 ，则圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆 ：，，为 的左、右焦点，为 上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为 ，内切圆半径为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正整数数列满足，且，则的前4项和的值可以是（ ） A. 11 B. 22 C. 33 D. 44 10. 一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则（ ） A. M中所有直线均经过一个定点 B. 点到M中任意一条直线的距离为定值 C. 点到M中所有直线距离的最大值为6 D. 不在直线系M中的点都落在面积为的区域内 11. 在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点 ，， ，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，， 为双曲线 右支上一点，连接交轴于点．若点恰为的中点，且，则双曲线 的离心率为__________． 14. 若直线与函数和的图象均相切，则实数的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 党的二十届五中全会审议通过的《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议》明确提出：“加快人工智能等数智技术创新”“全面实施‘人工智能+’行动”．下表是二十届五中全会后第 个月某工业园区应用人工智能的工厂个数的数据： 1 2 3 4 5 2 3 5 7 8 （1）求关于 的线性回归方程，并预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数； （2）从表中这5个月份中随机抽取3个月份，记这3个月份中应用人工智能的工厂个数大于6的月份的个数为 ，求 的分布列与数学期望． 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 （1）求角B的值； （2）若且△ABC的面积为求BC边上的中线AM的长. 17. 如图三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形，中且． （1）若是的中点，且，求证：平面平面 ； （2）在（1）的条件下求三棱锥 外接球的表面积； （3）设二面角的大小为，求的最小值． 18. 已知经过点的动圆与直线相切，设圆心的轨迹为 ． （1）求 的方程； （2）已知，，是 上的点，点是 上异于 ， ， 的任意一点，直线与相交于点 ，直线 与相交于点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （3）若是 外的一点，满足，过作 的两条切线，切点分别为，，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 19. 已知函数，． （1）判断函数的单调性． （2）若方程有两个根． ①求实数 的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 福建省泉州市第七中学数学高三考前定位卷数学试题 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由或，， 所以. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，则. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式和二倍角公式即可求解. 【详解】. 故选： . 4. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题干得到 ，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可. 【详解】由题可知：，通项公式为， 令，所以常数项为. 故选：C 5. 已知，函数，为奇函数，则（ ） A. 13 B. 24 C. 80 D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求出的值，进而求解即可． 【详解】由， 则， 又函数为 上的奇函数，则， 即对任意 成立， 整理得 所以，即，结合，解得， 所以，即． 6. 某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记“芯片为瑕疵芯片”为事件 ，“芯片被标记为合格”为事件，“芯片被标记为瑕疵”为事件. 则，，，. 所以. 即在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为. 7. 已知球 的半径为，圆锥内接于球 ，则圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过几何关系建立圆锥体积关于高的函数表达式，再利用导数求解函数最大值，需明确变量的实际取值范围. 【详解】设圆锥的高为 ，底面半径为，已知球 的半径 . ∵ 圆锥内接于球 ，球心到圆锥底面的距离为， ∴ 由勾股定理可得 ，整理得 ，其中 的取值范围为. 根据圆锥体积公式 ，将代入得：. 对 关于 求导，得 . 令，解得 或 （不符合实际意义，舍去）. ∵ 当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减， ∴ 当时， 取得最大值，代入得： . 故正确选项为B. 【点睛】方法归纳：求解几何体内接几何体的最值问题，通常先结合几何关系建立目标函数，再利用导数或基本不等式求解最值，需注意变量的实际取值范围，避免无意义解. 8. 已知椭圆 ：，，为 的左、右焦点， 为 上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为 ，内切圆半径为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当 为短轴端点时，最大，进而求出 的范围，由正弦定理得外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到的面积，由三角形内切圆的半径公式可得的内切圆半径，化简可得，利用基本不等式求出最值即可． 【详解】由于，所以，，故，设， 当 为短轴端点时， 最大，此时为等边三角形，所以， 设外接圆半径为 ，则，即， 由余弦定理得：， 整理可得， 所以的面积， 故的内切圆半径， 因为， 所以， 当且仅当，即，时取等， 所以的最小值为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正整数数列满足，且，则的前4项和的值可以是（ ） A. 11 B. 22 C. 33 D. 44 【答案】AC 【解析】 【详解】因为，所以或. 当时，，此时； 当时，或，此时或. AC选项正确. 10. 一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则（ ） A. M中所有直线均经过一个定点 B. 点到M中任意一条直线的距离为定值 C. 点到M中所有直线距离的最大值为6 D. 不在直线系M中的点都落在面积为的区域内 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线系的性质，把直线系方程转化为的圆的全部切线，再根据圆的切线的性质判断选项，利用动圆切线无公共点判断选项A；利用点到直线距离公式计算判断选项B；利用定点到切线最大距离为圆心距与半径的和，判断选项C；不在直线系M中的点落在圆内部，即，求面积判断选项D． 【详解】直线系方程表示圆心为，半径的圆的全部切线， 若直线过定点，则对任意恒成立， 不存在这样的定点，故A错误； 由点到直线的距离公式，点到直线距离， 距离恒为定值1，故B正确； 设，圆心，两点间距， 点到圆切线距离的最大值为，故C正确； 不在直线系M中的点到的距离小于1，在圆内部， 圆面积，故D正确． 11. 在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点 ， ， ，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面法向量的意义，结合线面垂直的判定性质逐项分析判断即可. 【详解】依题意，向量是平面的法向量， 对于A，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，A正确； 对于B，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又 平面，则，假设， 而平面，则，而 不在平面内，则 平面， 平面平面，平面，则必有，当时，由， 得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误； 对于C，由，得 平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，C正确； 对于D，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，而平面 ， 于是平面 ，又平面 ，则，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件结合向量数量积运算律求出，再利用向量的数量积及模长求解即可. 【详解】因为，为单位向量，所以. 两边平方，可得，解得. 而， ， . 设向量与的夹角为 ，， 则，所以. 向量与的夹角为. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，， 为双曲线 右支上一点，连接交 轴于点．若点恰为的中点，且，则双曲线 的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】如图： 因为为中点， 为中点，所以， 则，， 设，则，， 在直角三角形中，由，解得. 14. 若直线与函数和的图象均相切，则实数的最大值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】分别设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，由公切线得到，令，得到，进而构造函数，通过求导，确定零点，进而可求解. 【详解】设直线与的图象相切于点，直线与的图象相切于点， 则，得 得，令， 则， 得， 所以，整理可得． 设，显然为的一个零点，， 当时，单调递增， 当时，单调递减，故， 而， 所以的两根位于两侧， 已知一根为，当时，， 所以另一根位于区间内，由对勾函数单调性可知在单调递增， 此时， 所以当时，取得最大值，该值为1． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 党的二十届五中全会审议通过的《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议》明确提出：“加快人工智能等数智技术创新”“全面实施‘人工智能+’行动”．下表是二十届五中全会后第 个月某工业园区应用人工智能的工厂个数 的数据： 1 2 3 4 5 2 3 5 7 8 （1）求 关于 的线性回归方程，并预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数； （2）从表中这5个月份中随机抽取3个月份，记这3个月份中应用人工智能的工厂个数大于6的月份的个数为 ，求 的分布列与数学期望． 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【答案】（1），13 （2） 0 1 2 ． 【解析】 【分析】（1）由公式求解，，在将代入即可. （2）由题意可得，列出分布列，即可求解. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，所以 ． 故 ． 故 关于 的线性回归方程为． 当时， ， 故预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数为13． 【小问2详解】 由题意可得， 所以， 分布列如下： 0 1 2 所以． 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 （1）求角B的值； （2）若且△ABC的面积为求BC边上的中线AM的长. 【答案】（1）；（2）7. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合sinA≠0，可得tanB，结合B∈（0，π），可得B的值. （2）由已知可求∠C，设AC＝BC＝2a，利用三角形的面积公式可求a的值，可得AC＝BC＝2，在△ACM中，由余弦定理即可求解AM的值. 【详解】（1）因为asinB﹣bcosBcosC＝ccos2B， 所以由正弦定理可得sinAsinB﹣sinBcosBcosC＝sinCcos2B， 可得sinAsinB＝cosB（sinBcosC+sinCcosB）＝cosBsinA， 因为sinA≠0，可得sinB＝cosB，即tanB， 由B∈（0，π），可得B. （2）由已知A，则△ABC是等腰三角形，∠C，设AC＝BC＝2a， 可得S△ABCACBCsin∠ACB（2a）2sina2， 由已知△ABC的面积为7，得a2＝7，a，可得AC＝BC＝2， △ACM中，由余弦定理，AM2＝CA2+CM2﹣2CACMcos ＝（2）2+（）2﹣2×2（） ＝49， 所以AM＝7. 17. 如图三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形，中且． （1）若 是的中点，且，求证：平面平面 ； （2）在（1）的条件下求三棱锥 外接球的表面积； （3）设二面角的大小为，求的最小值． 【答案】（1）在等边 中， 是的中点， ，又且平面， 平面，又平面， ，又且平面， 平面，又平面 ， 平面平面 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，从而得到 ，结合可得平面，故平面平面 ； （2）根据（1）中的条件，将三棱锥补全为正三棱柱，得到外接球球心即为两个底面的中心连线的中点，使用勾股定理计算即可得到半径，进而得到表面积； （3）以的中点为原点，平行于为 轴方向，为 轴方向，垂直于平面向上为轴方向，建立坐标系，设从轴逆时针转到的角度为 （从左侧看），利用空间向量法得到平面 和平面 的法向量，得到夹角表达式，最后利用变量代换求得最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面 ，且 为等边三角形， 故可将三棱锥 补全为正三棱柱，三棱柱的高， 则三棱锥 的外接球就是三棱柱的外接球， 外接球的球心为等边三角形 和的中心连线的中点， 半径， 所以三棱锥 外接球的表面积为； 【小问3详解】 取的中点 为原点，平行于为 轴方向，为 轴方向， 垂直于平面向上为轴方向，建立如图所示的坐标系， 设从轴逆时针转到的角度为 （从左侧看）， 则 ，，，， ，， 设是平面 的一个法向量， 则有， 取，则 ，指向三棱锥外， 设是平面 的一个法向量， 则有， 取，则， 指向三棱锥内， 得， 令， 则， 当，即时取等号， 所以的最小值为． 18. 已知经过点的动圆与直线相切，设圆心的轨迹为 ． （1）求 的方程； （2）已知，，是 上的点，点 是 上异于 ， ， 的任意一点，直线与相交于点 ，直线 与相交于点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （3）若 是 外的一点，满足，过 作 的两条切线，切点分别为，，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）由题设，，设 （）， 所以，即， ，即， 由于直线与相交于点 ，直线 与相交于点，则， 联立，解得，即得， 联立，解得，即得， 所以直线的斜率， 则其方程为，即恒过定点，得证； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知有，化简整理即可得； （2）设 （），写出直线、直线 ，并求出它们与、的交点坐标，进而写出直线，即可证； （3）设，结合已知得，设切点，，从而得到，，即为方程的两根，韦达定理得，，进而有、，化简得，令，转化为研究的范围，构造且注意，从而得到范围. 【小问1详解】 设圆心，由动圆过点 且与直线相切， 所以，平方整理得 的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 由得，且， 由 在抛物线外部，所以​， 所以，则， 综上， 设切点，，而，则， 所以，，故且， 则为方程的两根，其中，则，， 在中，，，则， 所以，则到直线 的距离， 所以，同理得， 所以，又，， 所以， 由，则 令，，则 ， 且 ， 由，故，即， 由 ， ， 设且，则 ，且，则，而， 此时 ， 所以，则​， 结合对勾函数的性质有，又时，， 所以，因此取值范围为. 19. 已知函数，． （1）判断函数的单调性． （2）若方程有两个根． ①求实数 的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）①②证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负判断函数的单调区间即可； （2）①将方程分离参数得，构造函数 ，由导数判断函数的单调性，从而得到最小值，即可求得 的取值范围； ②先构造函数证明，再构造证得，结合 的单调性推出，即，联立两步结论，代回原式即可完成不等式证明. 【小问1详解】 因为，，所以． 由，得；由，得 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 ①方程，即，，则． 设，，则方程有两个根， 即函数的图象与直线有两个不同的交点． 因为，， 当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当 时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，当时，，当 时，， 所以，即实数 的取值范围是． ②证明：由①可知，， 则证不等式，即证， 转化为证． 令，，则． 令，则． 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以． 由①知，． 令，，则． 令，则． 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以单调递增，所以． 所以当时，． 由①及题意可知，，所以． 因为且在上单调递减，所以， 所以，所以． 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $