精品解析：福建福州市福九联盟2025-2026学年第二学期高三5月适应性练习数学试卷

2025—2026学年第二学期高三5月适应性练习 数学科试卷 考试时间：5月27日 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 则． 2. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将全集利用列举法表示出来，利用集合的运算法则直接求解． 【详解】因为，， 故在中不在中的元素为； 故． 3. 在中，点满足，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】如图， . 4. 记为数列的前项和，则最小时，的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的通项可知，数列中先从负数变为正数，故前n项和先减后增，在最后一项负数处取最小值． 【详解】令，； 故时，，越来越小； 故时，，从第10项开始，各项为正，开始变大； 故最小． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角的正、余弦公式， 两角和的正切公式求解. 【详解】因为 ， 所以，. 6. 已知，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 7. 已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项分析得两圆半径相等，四边形为菱形，相交弦与圆心连线垂直平分，由面积公式和几何关系解得圆心距只能为2或，计算各选项圆心到原点的距离，只有D不满足，故D不可能. 【详解】所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形  是边长为2的菱形，如图所示，四边形  面积为， 其中，设， 代入  得方程解得  或 . 选项 A：圆心 ，，符合条件； 选项 B：圆心 ，，符合条件； 选项 C：圆心 ，，符合条件； 选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 8. 中，，设为的内心，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在和中同时使用正弦定理，得到和的关系，再利用，得到，最后再次运用正弦定理得到. 【详解】因为是的内心，所以， 可设，则有， ，在中，由正弦定理得①， 同理在中，由正弦定理得②，①②相比得， 即，得， 因为，所以，由①可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（，）的部分图象如图所示，，分别为图象与轴，轴的交点，则（ ） A. B. 在上不单调 C. 点为的对称中心 D. 将图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】A： 代入点坐标求，结合点对应相位，得到​，选项正确；B： 换元求出时内层角的范围，依据正弦函数单调性，判定区间内先增后减、不单调，选项正确；C： 代入横坐标算函数值不等于 0，不满足对称中心特征，选项错误；D： 横坐标伸缩变换后用诱导公式化简，和目标余弦式一致，选项正确. 【详解】已知，，，代入得，结合，得. 由图像，是下降沿的零点，对应相位，即，解得​， 因此. 故A正确； 当时，令，则. 在递增，在递减， 因此在先增后减，不单调，故B正确； 计算，正弦函数对称中心的函数值为0， 因此该点不是对称中心，C错误； 将横坐标缩短到原来的，得新函数， 由诱导公式化简：得符合描述，D正确. 10. 在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则（ ） A. 当点为的中点时，在上的投影向量的模为1 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 对于任意点，都有 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由相关公式判断AD；B选项，等体积法得到三棱锥体积最大值；C选项，证明线面垂直，由线面垂直得到线线垂直 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 则， 所以， 在的投影向量的模为，A错误； B选项，， 当点与点重合时，点到平面的距离最大，最大值为， 三棱锥体积的最大值为，B正确； C选项，因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以，对于任意点，都有，C正确； D选项，设，， ，则， 故，所以， 所以， ，故， 点到直线的距离 ， 故当时，取得最小值，最小值为，D错误. 11. 定义在R上函数与满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A. 令，由得；代入及 得 ； B. 由是偶函数及式令，得，因得，应为奇函数； C. 令推得恒等式，代入已知得，故； D. 令，则，得，再由得，故 ，而非. 【详解】令，代入式得，整理得，由题，故， 代入式得，代入得，又恒成立，故. 选项A正确； 已知为偶函数，即，令，代入式得 ， 代入和得 ，又，故， 即是奇函数，不是偶函数. 选项B错误； 对任意，令，得， 而，因此对任意恒有，即. 已知，代入得，整理得. 选项C正确； 由满足，得，即. 再代入得，即. 选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数为奇函数，则____． 【答案】1 【解析】 【详解】函数定义域为，关于原点对称，因为函数为奇函数， 所以，，， 所以，即，整理得对定义域内的恒成立，解得. 13. 已知五个整数的平均数为10，方差为，按从小到大的顺序写出一组满足条件的五个整数____． 【答案】9，9，10，10，12或8，10，10，11，11 【解析】 【分析】设这5个数分别为，且，由题意可得且，对6进行分解后求解即可. 【详解】设这5个数分别为，且， 则有，且， 所以， 又因为是整数，平均数为10， 所以， 又因为或， 当时，即有两个数与10的差的平方为1，有两个数与10的差的平方为0，有一个数与10的差的平方为4； 又因为， 所以， 此时这组数为； 当时，即有一个数与10的差的平方为4，有两个数与10的差的平方为0，有两个数与10的差的平方为1； 又因为， 所以， 此时这组数为； 综上，这组数据为或. 14. 已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是椭圆的左焦点，是与的公共点，若，则椭圆的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线和椭圆的性质求出抛物线方程，利用大角对大边，结合椭圆的定义和抛物线焦半径公式构造不等式，联立椭圆与抛物线方程求出，进而解关于的不等式求出离心率的取值范围． 【详解】 椭圆右焦点与抛物线的焦点重合且的中心与的顶点重合， 则抛物线的方程为， 在中，的对边，的对边， 由可得， 由椭圆的定义可得，则，解得， 由抛物线焦半径公式：，则，则， 联立椭圆与抛物线方程可得：， 由求根公式得，由得，， 故，则，故， ， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，在处的切线方程为． （1）求、的值； （2）判断的零点个数． 【答案】（1）， （2）只有一个零点 【解析】 【小问1详解】 由，求导得. ，切线斜率为，则. ，切点代入切线得. 故，. 【小问2详解】 ，. 设，. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以恒成立，在上单调递增. 又，， 所以使得 故只有一个零点． 16. 以下是面点师拉面中“对折拉伸”过程的简化数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀的拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如图2所示：在第一次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上的点的坐标为2、与2重合的原闭区间上的点的坐标为1、3），不断重复这样的操作． （1）求在第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标； （2）用集合表示在第次操作完成后（），恰好被拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标（此步无需给出严格的推理论证），并记该集合中所有的元素的和为，求使得成立的的最小值． 【答案】（1），，，； （2）集合为，的最小值为11 【解析】 【分析】（1）找规律，得到第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的点的坐标； （2）在（1）基础上，得到点的坐标，并由等差数列求和公式得到，解不等式，得到答案. 【小问1详解】 第一次操作，原来坐标2，即0，4的中点变为4，只有1个； 第二次操作，原来坐标1，3，即0，2的中点以及2，4的中点变为4，有2个； 第三次操作，原来坐标0，1的中点，1，2的中点，2，3的中点以及3，4的中点变为4，共4个； 【小问2详解】 根据前三次推导，可得第次操作后，1，2和2，3和3，4，……，的中点变为4， 故点的集合为； 则， 故，解得，又为正整数，故的最小值为11． 17. 在平面直角坐标系中，点与的距离和到：的距离之比是2，点构成的轨迹为． （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线和与轨迹都只有一个交点，分别为与，是否存在点使得．若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）不存在；理由如下: 由题可知直线和斜率必然存在. 故设与相切的直线方程为， 不妨记为，其中， 联立可得， ， 即，代入可得， 化简可得， ， 其两个根恰为直线，的斜率，， 故有，， 如图,设直线倾斜角为,直线倾斜角为,则. 则, 其中 所以. 所以 故不存在点使得． 【解析】 【分析】（1）设动点,根据点距与线距的比值为2列等式,通过平方化简整理,求得点的轨迹方程为双曲线. （2）设上的点,设过的切线方程并联立双曲线方程,利用直线与双曲线相切的判别式为0,整理得到关于切线斜率的一元二次方程.利用韦达定理得出两切线斜率的和与积,代入两直线夹角公式化简,得到.由代数式取值范围得该正切值最大值为,小于,因此不存在满足条件的点. 【小问1详解】 设，由题意，，到距离.，代入比例： 两边平方：. 展开：. 整理得，即.故轨迹：. 【小问2详解】 略 18. 蜂巢（图1）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂房的结构，如图2在正六棱柱的三个顶点A、C、E处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的棱锥，，，平面，平面，平面交于一点，则这三个平面与正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构．已知，． （1）求该正六棱柱内半径最大的球的体积； （2）判断四边形是否为菱形，并证明你的结论； （3）求当蜂房结构的表面积最小时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值． 【答案】（1） （2）四边形是菱形， 证明如下： 连接，，，， ， 为平行四边形， ， 同理可得， 又， ， 为平行四边形， 故， 又平面，平面 平面， 又平面，平面平面， 故， 同理可得， 又， 故四边形为菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）分别计算出球与棱柱的六个侧面相切和球与棱柱的上下底面相切时的半径，即可得答案； （2）由题意可证四边形、为平行四边形，由线面平行的性质定理可得，，再由，即可得结论； （3）由二面角的定义可得为平面与平面所成的锐二面角的平面角，进行可得，： 法1：利用换元思想及基本不等式求解即可； 法2：令，可视为与两点连线的斜率，利用直线与圆的位置关系进行求解即可. 【小问1详解】 当球与棱柱的六个侧面相切时， 其底面正六边形的内切圆半径为边长的， 所以球的半径为， 而当球与棱柱的上下底面相切时，半径为10， ， 故该六棱柱内体积最大的球的半径为， 故其体积为； 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 取中点K，连接、， 由，为等腰三角形， 可得，， 为平面与平面所成的锐二面角的平面角, 设，， ，， , ，， 法1： ， 令，， 其中，又，， 故当时 即时 即 故当蜂房结构的表面积最小时， 平面与平面所成的锐二面角的平面角的正切值为． 法2： 令，可视为与两点连线的斜率， 即圆在第一象限内的一点与两点连线的斜率， 由图形可知，当直线与圆相切时，斜率取得最大值， 函数取得最小值， 由图可知，此时， 故当蜂房结构的表面积最小时， 平面与平面所成的锐二面角的平面角的正切值为． 19. 设为不小于3的正整数，记有限集，若存在U的两个非空真子集A，B，满足：①；②；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B为一对平衡互补子集，并称A，B中任意一个为平衡子集．约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为． （1）当时，从集合的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是平衡子集的概率； （2）设，记，求证：； （3）设，从集合的所有非空真子集中，每次等可能抽取一个．独立重复抽取次，记至少一次抽到平衡子集的概率为，证明：． 【答案】（1） （2）当时，集合，其元素和为，为偶数，故存在平衡子集. 当时，，集合，其平衡子集为与，故； 当时，平衡互补子集总对数为，集合； 当时，集合可看作在集合的基础上，新增加了4个元素：，，，； 对于中的每一对平衡互补子集与，可构造中的4对平衡互补子集： ①与； ②与； ③不妨设，剔除元素1得到，则与； ④不妨设，剔除元素2得到，则与； 由于以上四对平衡互补子集互不重复，且均为中的平衡互补子集， 因此可得：，即， ，即不等式成立. （3）时，集合U的非空真子集总数为. 平衡子集个数为（每对平衡互补子集对应2个平衡子集）， 因此单次抽取到平衡子集的概率， 由（2）可知，代入可得， 令，，，则； 在严格递减，则； . ； . 【解析】 【分析】（1）计算的总元素和，确定平衡子集的元素和为14；统计中所有和等于14的非空真子集的数量，确定平衡互补子集的对数，以及平衡子集的总个数；计算的非空真子集总数，结合古典概型概率公式求解概率； （2）当时，的总元素和为；通过分类讨论，和平衡互补子集的总对数，得到，通过不等式的缩放证得； （3）根据题意求出单次抽取到平衡子集的概率，再 利用对立事件概率公式得到；构造函数，通过函数的单调性证明. 【小问1详解】 当时，则集合，其非空真子集个数为个； ，要使，为平衡互补子集，则，中元素和都为14. 由，得平衡互补子集有与，与，与，与，共4对，即平衡子集有8个. 子集是平衡子集概率为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期高三5月适应性练习 数学科试卷 考试时间：5月27日 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点满足，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 记为数列的前项和，则最小时，的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 中，，设为的内心，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（，）的部分图象如图所示，，分别为图象与轴，轴的交点，则（ ） A. B. 在上不单调 C. 点为的对称中心 D. 将图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象 10. 在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则（ ） A. 当点为的中点时，在上的投影向量的模为1 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 对于任意点，都有 D. 点到直线的距离的最小值为 11. 定义在R上函数与满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数为奇函数，则____． 13. 已知五个整数的平均数为10，方差为，按从小到大的顺序写出一组满足条件的五个整数____． 14. 已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是椭圆的左焦点，是与的公共点，若，则椭圆的离心率的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，在处的切线方程为． （1）求、的值； （2）判断的零点个数． 16. 以下是面点师拉面中“对折拉伸”过程的简化数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀的拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如图2所示：在第一次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上的点的坐标为2、与2重合的原闭区间上的点的坐标为1、3），不断重复这样的操作． （1）求在第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标； （2）用集合表示在第次操作完成后（），恰好被拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标（此步无需给出严格的推理论证），并记该集合中所有的元素的和为，求使得成立的的最小值． 17. 在平面直角坐标系中，点与的距离和到：的距离之比是2，点构成的轨迹为． （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线和与轨迹都只有一个交点，分别为与，是否存在点使得．若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 18. 蜂巢（图1）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂房的结构，如图2在正六棱柱的三个顶点A、C、E处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的棱锥，，，平面，平面，平面交于一点，则这三个平面与正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构．已知，． （1）求该正六棱柱内半径最大的球的体积； （2）判断四边形是否为菱形，并证明你的结论； （3）求当蜂房结构的表面积最小时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值． 19. 设为不小于3的正整数，记有限集，若存在U的两个非空真子集A，B，满足：①；②；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B为一对平衡互补子集，并称A，B中任意一个为平衡子集．约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为． （1）当时，从集合的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是平衡子集的概率； （2）设，记，求证：； （3）设，从集合的所有非空真子集中，每次等可能抽取一个．独立重复抽取次，记至少一次抽到平衡子集的概率为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $