第一章 集合、复数、逻辑、不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义覆盖集合、逻辑、复数、不等式等核心模块，按知识体系分解考点，通过核心考点梳理、典例分析、题组变式构建复习框架，结合数形结合、分类讨论等思想方法，帮助学生系统掌握高考必考点，提升解题能力。 资料以真题为模板，设置基础到能力提升的分层练习，如集合运算结合数轴应用培养几何直观，逻辑用语中命题否定训练推理意识，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2026-2027学年度高三数学总复习 第一章 集合、复数、逻辑、不等式 导语：本资料适用于2027届高三一轮复习。资料以知识板块的形式呈现，尽量兼顾知识的完整体系。将考点逐一分解，并试图各个击破各类题型。以核心考点为依托，以典型例题为模板，并在此基础上作出若干变式，围绕例题从各个角度由浅入深地进行探究、拓展，加深对主干知识及方法技巧的巩固与理解，方便不同层次的同学掌握其应用方法。“授人以鱼，不如授人以渔。”希望同学们避免就题论题，善于归纳总结，学会多题一解，以不变应万变。 第1节 集合 集合是高中数学的基础知识，也是高考的必考点．高考常考查集合中的元素个数问题，元素与集合、集合与集合的关系，集合之间的交、并、补运算，有时融合区间概念、复数、函数、方程与不等式等，必要时可借助数轴或韦恩图处理．涉及思想与方法有：例举法、特值法、排除法、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想 一、高考核心考点 1．集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性． 2．子集：①子集：若，则是的子集，记为（或）； ②相等集合：集合与中的元素完全相同，则； ③真子集：若，且，则是的真子集，记为． 3．交、并、补集运算 ①，且；②，或；③，且． 二、典例分析 1．涉及点集中元素个数、元素与集合、集合与集合的关系问题 【例1】（1）（2024年全国高考甲卷）集合，，则（ ） A． B． C． D． （2）（2020全国3卷理科）已知集合，， 则中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 （3）已知集合，，且，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 感悟提升：①考查元素个数，常通过元素的确定方式判断，即先认清集合（尤其是用描述法表示的集合）中元素符号的含义及元素性质（如属哪一类集合，元素有哪些等），把集合化简到最简形式； ②若集合中有个元素，则的子集有个，真子集有个． 【题组变式1】 变式1-1：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式1-2：（2023新高考2卷）设集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 变式1-3：已知集合，，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 变式1-4：（2025全国1卷）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2．涉及整数集或无限集、一元二次不等式、绝对值不等式、根式的交、并、补运算 【例2】（1）（2024年北京高考）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． （2）（2024甲卷理科）集合，，则（ ） A． B． C． D． 感悟提升：一元二次不等式的解法是集合中的高频考点，可以与整数集、绝对值不等式、根式、对数函数等相结合． 【题组变式2】 变式2-1：（2025新课标2卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2：（2024新课标I卷）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 变式2-3：（2023年乙卷）设集合，，，则（    ） A. B. C. D. 变式2-4：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式2-5：（2022新高考1卷）若集合，则（ ） A． B． C． D． 变式2-6：若集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式2-7：（2023年全国高考甲卷理科）设全集，集合，，（ ） A． B． C． D． 变式2-8：（2021全国乙卷理）已知集合，， 则（ ） A． B． C． D． 变式2-9：已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-10：设集合，，且，则（ ） A． B． C． D． 3．（能力提升）与指数或对数函数有关的集合问题 【例3】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 感悟提升：对于与指数或对数函数不等式的问题，常构造同底的指数或对数，再利用函数的单调性求解． 【题组变式3】 变式3-1：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式3-2：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 第2节 常用逻辑用语 简易逻辑是数学逻辑推理的基础，而且可以与任何知识点联合命题，属高考的高频率考点，备受命题专家的青睐．常考查命题真假、充分必要条件的判断等． 一、高考核心考点 1．全称量词命题（全称命题）与存在量词命题（特称命题） （1）命题的否定：只否定命题的结论． （2）含有一个量词的命题的否定 ①全称命题的否定是特称命题，全称命题：，，：，． ②特称命题的否定是全称命题，特称命题：，，：，． （3）全称量词与存在量词 ①全称量词常有：“任意一个”，“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”； ②存在量词有：“存在一个”，“某个”，“至少有一个”，“有些”，“有的”，“有一个”． 2．充分条件与必要条件 若，则说是的充分条件；若，则说是的必要条件； 若，则说是的充分且必要条件，即充要条件． 二、典例分析 1．全称量词命题与存在量词命题 【例1】（1）已知命题：，，那么是（ ） A． B． C． D． （2）若命题“，使得成立”是假命题，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【感悟提升】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，写全称命题或特称命题的否定时，注意两个要点，一是改词，二是否定结论． 【题组变式1】 变式1-1：（2024新高考2卷）已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 变式1-2：若“”为假命题，则实数的最小值为 ． 2．充分条件与必要条件的判断 【例2】（1）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【感悟提升】充分条件与必要条件的判断方法有： （1）对于数的范围的包含问题，若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充要条件．即：小范围推出大范围，大范围推不出小范围，范围相等可以互推。谁小谁充分（不必要），谁大谁必要（不充分），范围相等为充要． （2）判断“若，则”的真假，可正推为充分条件，可逆推为必要条件．即要判断是的什么条件，可做如下尝试： ①由推(正推)，能推出，则是的充分条件；推不出，则是的不充分条件． ②由推(逆推)，能推出，则是的必要条件；推不出，则是的不必要条件． ③由可推出，且由可推出，则是的充分必要条件，即充要条件． ④由不能推出，且由不能推出，则是的既不充分也不必要条件． 【题组变式2】 变式2-1：（2025上海卷）已知且，，则下列各项中，能推出的是（ ） A．， B．， C．， D．， 变式2-2：（2025天津卷）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-3：“”是“复数（）为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-4：（2024天津卷）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-5：（2024甲卷卷理）已知向量，则（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 变式2-6：（2024北京卷）已知向量，，则“”是“或”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-7：（2019浙江卷）若，，则“”是 “”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-8：在中，在下列命题中，真命题的个数是（ ） ①若，则；②若，则； ③若，，的面积为，则； ④“”是“”的充要条件． A． B． C． D． 变式2-9：（多选）下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“，有”的否定是“，使” D．“是方程的实数根”的充要条件是“” 变式2-10：已知命题直线与直线互相平行，命题，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-11：等比数列{}的首项为，公比为，前项和为，则“”是“{}是递增数列”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-12：（能力提升）“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．充分条件与必要条件的探求 【例3】使成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【感悟提升】（1）判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项，即弄清条件与结论的 关系；（2）必要时对条件（或结论）进行化简． 【题组变式3】 变式3：下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是( ) A． B． C． D． 第3节 复数 一、复数概念 1．为实数）叫复数． （1）其中为复数的实部，为复数的虚部，为虚数单位（）． （2）当时，为实数；当时，为虚数，其中且时，为纯虚数. （3） 2．共轭复数 设，则为的共轭复数，即与的实部相等，虚部互为相反数. 3．复数的几何意义 复数与平面直角坐标系中的点对应，与向量对应. 4．复数的模 向量的模称为复数的模（点的坐标为），可记为． 5．复数相等:设，，有（即实部相等，且虚部相等） 二、复数计算 1．加减法：设，，则． 2．乘法：设，，则． 3．除法 设，，． 设，，则，， ，，， ，，． 三、复数范围内一元二次方程的求解 （若为虚数根，则与互为共轭复数）. 四、应用举例（加横线的选项为正确答案） 主要考查复数的概念（实部、虚部、纯虚数）及几何意义，模的计算，加减乘除运算法则，复数方程的解法，两复数相等的条件等.求解时应熟练复数的构成及其几何意义，复数运算法则，掌握常见的变形技巧. 1．涉及复数的乘除运算（含乘幂运算） 【典例】复数 （　　） A． B．　 C． D． 【针对练习1-1】复数 （ ） A． B． C． D． 【针对练习1-2】复数 （ ） A． B． C． D． 【针对练习1-3】 （ ） A． B． C． D． 2．涉及复数方程的求解 【典例2】已知复数满足，则 （ ） A． B． C． D． 【针对练习2-1】设复数满足，则 （ ） A． B． C． D． 【针对练习2-2】设复数满足，则 （ ） A． B． C． D． 3涉及共轭复数问题 【典例3】设，则z的共轭复数为 （ ） A． B． C． D． 【针对练习3-1】（2023全国乙卷，理）设，则 （ ） A． B． C． D． 【针对练习3-2】复数的共轭复数记为.若，则 （ ） A． B． C． D． 【针对练习3-3】（2021全国乙卷，理）设，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习3-4】若，则 （ ） A． B． C． D． 4．涉及复数的几何意义 【典例4】已知复数的共轭复数，则在复平面内对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【针对练习4-1】如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是 （ ） A． B． C． D． 【针对练习4-2】复数对应的点在复平面内位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【针对练习4-3】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【针对练习4-4】已知复数的共轭复数为（其中为虚数单位）， 且在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D． 【针对练习4-5】若复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则 （ ） A. B. C. D． 【针对练习4-6】已知复数满足，设为在复平面内 对应的点，为坐标原点，则的最小值为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．涉及复数的模的计算 【典例5】设，则 （ ） A． B． C． D． 【针对练习5-1】设若复数满足，则= （ ） A． B． C． D． 【针对练习5-2】若复数满足，则的虚部为 （ ） A． B． C． D． 【针对练习5-3】已知复数，则 （ ） A． B． C． D． 【针对练习5-4】若复数满足（其中为虚数单位），则 （ ） A. B． C． D． 【针对练习5-5】设是复数，则下列命题中是假命题的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【针对练习5-6】设是复数，则下列命题中是假命题的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【针对练习5-7】（2024年九省联考）（多选）已知复数均不为0，则 （ ） A． B． C． D． 【针对练习5-8】（2020 新课标卷II，理）设复数，满足：， ，则 ． 6．复数的概念与含实数参变量的复数问题 【典例6】已知，若与互为共轭复数，则 （ ） A． B． C． D． 【针对练习6-1】已知，则 （ ） A． B． C． D． 【针对练习6-2】若，，则 （ ） A． B． C． D． 【针对练习6-3】若，其中，则 （ ） A． B． C． D． 【针对练习6-4】复数为纯虚数，则实数的值为 （ ） A． B． C． D． 【针对练习6-5】“复数为纯虚数”的一个必要不充分条件是 （ ） A． B． C．且 D． 7．复数范围内一元二次方程的求解问题 【典例7】方程的一个根是 （ ） A． B． C． D． 【针对练习7】若是关于的实系方程的一个复数根，则（ ） A． B． C． D． 第4节 不等式的性质 在高考试题中，涉及的不是等式就是不等式，所以不等式的性质是高考的必考点．不等式的相关内容可出现在各类题型中，核心内容为作差比较法、不等式的基本性质、基本不等式（均值不等式）．可联合命题，亦可单独命题． 一、高考核心考点 1．作差比较法 （1）；（2）；（3）． 2．不等式的基本性质 （1）反对称性：； （2）传递性：； （3），，移项法则：； （4）可加性：，即同向不等式可以相加； （5）时，；时，； （6）； （7），且≥；； 当为正奇数时，，； （8）可乘性：． 3．基本不等式 （1）重要不等式（定理）：①≥；②≥；③≤，（，当且仅当时，号成立). （2）基本不等式：设，≥，有①≥；②≥；③≤，（当且仅当时取号)． （3）基本不等式的变形式： （，当且仅当时取号)． （4）常见结论：①，②，． 4．权方和不等式 二维形式：，当时等号成立，其中． 5．柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式：若，，，都是实数，则，当且仅当时，等号成立． 2．三维形式的柯西不等式 设，，，，，，则，当且仅当或存在一个数，使得，，时等号成立． 二、典例分析 1．作差比较法 【例1】已知，求证：． 【感悟提升】作差比较法的一般步骤： （1）作差， （2）将差式变形、化简， 若为整式，常考虑：①化为常数，②化为完全平方式，③通过因式分解（利用平方差、立方和、立方差公式，分组分解，提公因式等）的方式，化为几个因式相乘的形式； 若为分式，可考虑通分，化为两个式子相比的形式， （3）判断差式的符号（正号或负号），即比较差式与的大小， （4）根据原理下结论： ①；②；③． 【题组变式1】 变式1：已知，，，，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．不确定 2．不等式的基本性质 【例2】（1）已知，则的取值范围是（　） A． B． C． D． （2）已知实数x，y满足，，则的取值范围是 ． 【感悟提升】根据不等式的基本性质，可以由单个变量的范围得到整体变量的范围，但由整体变量与的范围得不到单个变量的具体范围，此时需将，看作单个变量，从而得到整体的具体范围． 【题组变式2】 变式2-1：若满足，则的取值范围是___________． 变式2-2：（2024上海卷），，，，下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 变式2-3：（多选）若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．基本不等式 【例3】（1）（2022甲卷第20题改编）函数的最大值为 ． （2）（2024北京卷）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． （3）（多选）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（    ） A．最大值为1 B．有最大值4 C．的最大值为2 D．的最小值为9 【感悟提升】使用基本不等式时，一是要注意其使用前提：一“正”、二“定”、三“相等”，二是善于正用、逆用、变形用． 【题组变式3】 变式3-1：（2023北京卷）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-2：已知，则函数的最小值为 ． 变式3-3：（2025北京卷）已知，，则（ ） A． B． C． D． 变式3-4：已知为正实数，，，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-5：若，设，，，则（ ） A． B． C． D． 变式3-6：（2022甲卷第16题）当函数取得最小值时，____． 变式3-7：设，是实数，且，则的最小值是 ． 变式3-8：设，，，若，，则的最大值为_________． 变式3-9：当时，的最小值为 ． 变式3-10：已知非负数满足，则的最小值是_________． 变式3-11：若正数，满足，且恒成立，则的最大值为______． 变式3-12：设正实数，，满足，则的最小值为_______． 变式3-13：若，且，则ab的取值范围是 ． 变式3-14：如下图所示，用长为米的材料围成一个长为米，宽为米的矩形栅栏，矩形的一边利用一扇墙面，若矩形的面积为，则的最小值为 ． 变式3-15：某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（    ） A．30件 B．60件 C．80件 D．100件 4．权方和不等式 【典例4】已知，均为正数，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【针对练习4-1】已知，，且，则的最小值为 ． 【针对练习4-2】若正实数，，满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【针对练习4-3】已知，均为正数，且，则的最小值为 ． 【感悟提升】当需要分子、分母的底数和时，可以考虑使用权方和不等式． 5．柯西不等式 【典例5】设均为正数，且，证明：． 【感悟提升】→→． 【针对练习5-1】已知，求证：≥． 【针对练习5-2】已知，，，求证：． 【针对练习5-3】已知，则的最小值为 ． 【针对练习5-4】已知，，且，则的最小值是 ． 第5节 一元二次函数、方程、不等式 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式问题常称为“三个二次”问题，高考很少在此单独命题，主要出现在导数题中，如一元三次函数的导数是二次函数，还有导数为类二次函数（分式的分母符号确定，分子为二次函数）问题中，与二次不等式相结合，讨论函数的单调区间，往往要结合二次函数图象的对称轴和区间端点探求二次方程实根的分布，从而确定函数的单调区间与极（最）值情况． 一、高考核心考点 1．一元二次函数的解析式 （1）一般式：（，，为常数，且）； （2）顶点式：（（，，为常数，且）； （3）零点式：（为二次项系数），二次函数的零点为，． 2．一元二次函数图象 作图象时常考虑：（1）开口方向；（2）对称轴及顶点；（3）图象与轴交点；（4）时，图象与轴交点，． 3．一元二次不等式的解法 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的实根 有两相异实根 ， 有两相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 或 4．一元二次方程的实根分布 （1）一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 设一元二次方程的两个根为，，则① ②（其中）． 证明：由，， 得． （2）一元二次方程实根的分布（能力提升） 设，方程的两根为，且，则的分布情况如下表所示． 对应方程根的分布 函数的图象 充要条件 有且仅有一个在内 或 或 5．一元二次函数最值：①轴定区间定；②轴动区间定；③轴定区间动；④轴动区间动． 二、典例分析 1．一元二次不等式 【例1】（1）已知函数则不等式的解集是 ． （2）已知不等式对一切实数都成立，则的取值范围是 ． （3）（提高）已知，在实数范围内，解关于的不等式：． 【感悟提升】①设，的两根为，且，则 或；．若两根大小不确定，就讨论两根的大小． ②设，则恒成立且； 恒成立且．有时也可以用分离参数法． 【题组变式1】 变式1-1：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式1-2：不等式的解集为 ． 变式1-3：（2025年新课标2卷）不等式的解集是（ ） A．B． C． D． 变式1-4：解不等式：（1）；（2）． 【感悟提升】 1．，或． 2．，或． 变式1-4：已知的解集为，则的解集为（ ） A． B． C． D． 变式1-5：（提高）若函数的定义域为，则实数的取值范围为______. 变式1-6：已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 2．一元二次方程实根的分布 【典例2】（1）（提高）已知方程有一个正根一个负根，则实数的取值范围为　 　 ． （2）（提高）已知方程的两个不等实根均大于，则实数的取值范围为　　 ． 【感悟提升】一元二次方程的实根分布及条件： （1）两根都为正 （2）两根都为负 （3）两根一正一负． （4）方程的两根中一根比大，且另一根比小； （5）方程的两个不等实根都大于 （6）方程在区间上有两个不等实根 【题组变式2】 变式2-1：（提高）方程的两个不等实根一个在区间，一个在区间内，则实数的取值范围为　　　 ． 变式2-2：（提高）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围． （1）方程的两根都大于；（2）方程的一根大于，另一根小于． 3．一元二次函数在闭区间上的最值（提高） 【例3】（1）（提高）求函数在区间上的最小值； （2）（提高）已知函数，．若有最小值，求的值． 【感悟提升】①函数在上最小值有可能是，，三种情况，这与对称轴及区间的位置有密切关系．如第（2）问函数，在区间上最小值有，，三种情况，这里已知最小值，不妨直接假设三者分别等于已知的最小值，再分别代入验证． ②由于二次函数在区间上的最大值有，，三种情况，已知最大值，直接假设三者分别为已知的最大值，在代回去分别验证． ③当遇到轴定区间动的二次函数最值问题，我们可以进行动与静的转换，让对称轴分别运动．如本题第（1）问直线可以分别位于区间左侧、右侧、中间，可获得三种最小值．　 【题组变式3】 变式3-1：已知二次函数，关于该函数在时的最值情况，下列说法正确的是（　 ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值0，有最小值 C．有最大值7，有最小值 D．有最大值7，有最小值 变式3-2：已知函数，，求函数的最大值． 变式3-3：已知函数，求分别在下列各区间上的最大值： （1）；（2）；（3）． 变式3-4：已知函数．求分别在下列各区间上的最小值： （1）；（2）；（3）． 变式3-5：（提高）已知，的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三数学总复习 第一章 集合、复数、逻辑、不等式 导语：本资料适用于高三一轮复习。资料以知识板块的形式呈现，尽量兼顾知识的完整体系。将考点逐一分解，并试图各个击破各类题型。以核心考点为依托，以典型例题为模板，并在此基础上作出若干变式，围绕例题从各个角度由浅入深地进行探究、拓展，加深对主干知识及方法技巧的巩固与理解，方便不同层次的同学掌握其应用方法。“授人以鱼，不如授人以渔。”希望同学们避免就题论题，善于归纳总结，学会多题一解，以不变应万变。 第1节 集合 集合是高中数学的基础知识，也是高考的必考点．高考常考查集合中的元素个数问题，元素与集合、集合与集合的关系，集合之间的交、并、补运算，有时融合区间概念、复数、函数、方程与不等式等，必要时可借助数轴或韦恩图处理．涉及思想与方法有：例举法、特值法、排除法、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想 一、高考核心考点 1．集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性． 2．子集：①子集：若，则是的子集，记为（或）； ②相等集合：集合与中的元素完全相同，则； ③真子集：若，且，则是的真子集，记为． 3．交、并、补集运算 ①，且；②，或；③，且． 二、典例分析 1．涉及点集中元素个数、元素与集合、集合与集合的关系问题 【例1】（1）（2024年全国高考甲卷）集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，得对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是．故选A． （2）（2020全国3卷理科）已知集合，， 则中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】，，，，，中元素的个数为4．故选C． （3）已知集合，，且，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】由．①若，则，，符合题意；②若，解得或（与集合中元素的互异性相矛盾，舍去），此时， ，符合题意．所以或．故选A． 感悟提升：①考查元素个数，常通过元素的确定方式判断，即先认清集合（尤其是用描述法表示的集合）中元素符号的含义及元素性质（如属哪一类集合，元素有哪些等），把集合化简到最简形式； ②若集合中有个元素，则的子集有个，真子集有个． 【题组变式1】变式1-1：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以．故选D． 变式1-2：（2023新高考2卷）设集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意； 综上所述，．故选B． 变式1-3：已知集合，，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知直线与圆有两个公共点，所以中元素的个数为．故选B． 变式1-4：（2025全国1卷）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【解析】因为，所以， 中的元素个数为． 故选C． 2．涉及整数集或无限集、一元二次不等式、绝对值不等式、根式的交、并、补运算 【例2】（1）（2024年北京高考）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】由题意得．故选A． （2）（2024甲卷理科）集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】因为，所以， 则，．故选D． 感悟提升：一元二次不等式的解法是集合中的高频考点，可以与整数集、绝对值不等式、根式、对数函数等相结合． 【题组变式2】变式2-1：（2025新课标2卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】，故．故选D． 变式2-2：（2024新课标I卷）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，且注意到，从而．故选A． 变式2-3：（2023年乙卷）设集合，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误．故选A． 变式2-4：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易得，所以．故选B． 变式2-5：（2022新高考1卷）若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，故．故选D． 变式2-6：若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易得，，所以．故选D． 变式2-7：（2023年全国高考甲卷理科）设全集，集合，，（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为整数集，，所以．故选A． 变式2-8：（2021全国乙卷理）已知集合，， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以．故选C． 变式2-9：已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】根据知，集合表示的奇数倍的角的集合；而，即集合表示的整数倍的角的集合，所以．故选C． 变式2-10：设集合，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，因为，所以，得．故选B． 3．（能力提升）与指数或对数函数有关的集合问题 【例3】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知，，所以，从而．故选C． 感悟提升：对于与指数或对数函数不等式的问题，常构造同底的指数或对数，再利用函数的单调性求解． 【题组变式3】变式3-1：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，所以，． 故选A． 变式3-2：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，所以．故选B． 第2节 常用逻辑用语 简易逻辑是数学逻辑推理的基础，而且可以与任何知识点联合命题，属高考的高频率考点，备受命题专家的青睐．常考查命题真假、充分必要条件的判断等． 一、高考核心考点 1．全称量词命题（全称命题）与存在量词命题（特称命题） （1）命题的否定：只否定命题的结论． （2）含有一个量词的命题的否定 ①全称命题的否定是特称命题，全称命题：，，：，． ②特称命题的否定是全称命题，特称命题：，，：，． （3）全称量词与存在量词 ①全称量词常有：“任意一个”，“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”； ②存在量词有：“存在一个”，“某个”，“至少有一个”，“有些”，“有的”，“有一个”． 2．充分条件与必要条件 若，则说是的充分条件；若，则说是的必要条件； 若，则说是的充分且必要条件，即充要条件． 二、典例分析 1．全称量词命题与存在量词命题 【例1】（1）已知命题：，，那么是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，是．故选B． （2）若命题“，使得成立”是假命题，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为命题“，使得成立”是假命题，所以其否定“，使得成立”为真命题，显然，所以解得，故答案为．故选A． 【感悟提升】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，写全称命题或特称命题的否定时，注意两个要点，一是改词，二是否定结论． 【题组变式1】 变式1-1：（2024新高考2卷）已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题．故选B． 变式1-2：若“”为假命题，则实数的最小值为 ． 【解析】命题是“，有”，是真命题，即，恒成立，所以，，因为，在上单调递减，上单调递增，又，，所以，所以，所以的最小值为，故答案为． 2．充分条件与必要条件的判断 【例2】（1）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，得或；由，得，则“”是“”的必要不充分条件．故选B． （2）设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】若公比，则当时，成立，当时，则，若，则，因为与同号，所以当时，成立，当时，成立，所以“”是“”的充分必要条件．故选C． 【感悟提升】充分条件与必要条件的判断方法有： （1）对于数的范围的包含问题，若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充要条件．即：小范围推出大范围，大范围推不出小范围，范围相等可以互推。谁小谁充分（不必要），谁大谁必要（不充分），范围相等为充要． （2）判断“若，则”的真假，可正推为充分条件，可逆推为必要条件．即要判断是的什么条件，可做如下尝试： ①由推(正推)，能推出，则是的充分条件；推不出，则是的不充分条件． ②由推(逆推)，能推出，则是的必要条件；推不出，则是的不必要条件． ③由可推出，且由可推出，则是的充分必要条件，即充要条件． ④由不能推出，且由不能推出，则是的既不充分也不必要条件． 【题组变式2】 变式2-1：（2025上海卷）已知且，，则下列各项中，能推出的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】当时，函数在上为增函数，所以，故A，B错误； 当时，函数在上为减函数，由，对于C选项，不一定成立，故C错误； 对于D选项，当时一定满足，故D正确． 故选 D． 变式2-2：（2025天津卷）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，则“”是“”的充分条件；又当时，，可知，故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件．故选A． 变式2-3：“”是“复数（）为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由，当（）为实数时，必有，所以“”是“复数（）为实数”的充分必要条件．故选C． 变式2-4：（2024天津卷）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件．故选C． 变式2-5：（2024甲卷卷理）已知向量，则（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】对A，，解得或，即必要性不成立，故A错C对； ，解得，故B、D错误．故选C． 变式2-6：（2024北京卷）已知向量，，则“”是“或”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，得，即，则等价于． 若或，得，即，可知必要性成立； 若，即，则或不一定成立，还可能． 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件．故选B． 变式2-7：（2019浙江卷）若，，则“”是 “”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，，若，则，则，即.反之，若，取，，则，但，即推不出，所以是的充分不必要条件．故选A． 变式2-8：在中，在下列命题中，真命题的个数是（ ） ①若，则；②若，则； ③若，，的面积为，则； ④“”是“”的充要条件． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于①，，或，即为等腰或直角三角形，当为直角三角形时，不一定成立，为假命题． 对于②，，故不一定成立，为假命题． 对于③，由若，，的面积为，得 ，所以，得或，为假命题． ④由正弦定理得，所以”，故“”是“”的充分必要条件，为真命题． 故选A． 变式2-9：（多选）下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“，有”的否定是“，使” D．“是方程的实数根”的充要条件是“” 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，正确； 对于B，“”一定有“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，错误； 对于C，命题“，有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“，使”，正确； 对于D，当，时 ，1为方程的一个根，故充分性成立；当方程有一个根为1时，代入得，故必要性成立，正确； 故选ACD． 变式2-10：已知命题直线与直线互相平行，命题，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】在命题中，易知，所以，所以是的充要条件，故选C． 变式2-11：等比数列{}的首项为，公比为，前项和为，则“”是“{}是递增数列”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】在等比数列中，取，，此时，为摆动数列，所以，故充分性不成立；若等比数列的公比为，且是递增数列，所以，所以，，则，所以数列为递增数列时，成立，故必要性成立，所以“”是“数列为递增数列”的必要而非充分条件．故选B． 变式2-12：（能力提升）“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】令由的图象知，在上递增，所以，故“”是“”的充要条件．故选C． 3．充分条件与必要条件的探求 【例3】使成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 在A中，易知“”是“”的充要条件． 在B中，或，所以“”是“”的必要不充分条件． 在C中，，所以“”是“”的充分不必要条件． 在D中，，由及知，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选B． 【感悟提升】（1）判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项，即弄清条件与结论的 关系；（2）必要时对条件（或结论）进行化简． 【题组变式3】变式3：下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在A中，由，即，反之，若，如，，但“”不成立，故“”是使“” 成立的充分而不必要条件． 在B中，若，如，，但“”不成立；反之，由，即，故“”是使“”成立的必要而不充分条件． 在C中，由取，，则不成立；反之，若，取，，则不成立，故 “”是使“”成立的既不充分也不必要条件． 在D中，，故“”是使“”成立的充要条件． 故选A． 第3节 复数 一、复数概念 1．为实数）叫复数． （1）其中为复数的实部，为复数的虚部，为虚数单位（）． （2）当时，为实数；当时，为虚数，其中且时，为纯虚数. （3） 2．共轭复数 设，则为的共轭复数，即与的实部相等，虚部互为相反数. 3．复数的几何意义 复数与平面直角坐标系中的点对应，与向量对应. 4．复数的模 向量的模称为复数的模（点的坐标为），可记为． 5．复数相等:设，，有（即实部相等，且虚部相等） 二、复数计算 1．加减法：设，，则． 2．乘法：设，，则． 3．除法 设，，． 设，，则，， ，，， ，，． 三、复数范围内一元二次方程的求解 （若为虚数根，则与互为共轭复数）. 四、应用举例（加横线的选项为正确答案） 主要考查复数的概念（实部、虚部、纯虚数）及几何意义，模的计算，加减乘除运算法则，复数方程的解法，两复数相等的条件等.求解时应熟练复数的构成及其几何意义，复数运算法则，掌握常见的变形技巧. 1．涉及复数的乘除运算（含乘幂运算） 【典例】复数 （　　） A． B．　 C． D． 【答案】A 【解析】． 故选A． 【针对练习1-1】复数 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】． 故选D． 【针对练习1-2】复数 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 故选B． 【针对练习1-3】（2026年全国新课标2卷） （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 故选B． 2．涉及复数方程的求解 【典例2】已知复数满足，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ． 故选D． 【针对练习2-1】设复数满足，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得． 故选B． 【针对练习2-2】设复数满足，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 故选A． 3涉及共轭复数问题 【典例3】设，则z的共轭复数为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以． 故选D． 【针对练习3-1】（2023全国乙卷，理）设，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，则． 故选B． 【针对练习3-2】复数的共轭复数记为．若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以． 故选C． 【针对练习3-3】（2021全国乙卷，理）设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，由，得，，所以解得所以． 故选C． 【针对练习3-4】若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由，得，则 解得即． 故选A． 4．涉及复数的几何意义 【典例4】已知复数的共轭复数，则在复平面内对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，所以在复平面内对应的点位于第四象限 ． 故选D． 【针对练习4-1】如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为第二象限内的点，可设，则， 所以为第三象限内的点． 故选B． 【针对练习4-2】复数对应的点在复平面内位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，复数对应的点为，该点位于第四象限． 故选D． 【针对练习4-3】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，共轭复数为，对应的点位于第四象限． 故选D． 【针对练习4-4】已知复数的共轭复数为（其中为虚数单位）， 且在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以解得． 故选C． 【针对练习4-5】若复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，所以，所以． 故选C． 【针对练习4-6】已知复数满足，设为在复平面内 对应的点，为坐标原点，则的最小值为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设，由，所以点的轨迹是圆，又圆心到原点的距离为，圆的半径为，所以的最小值为． 故选C． 5．涉及复数的模的计算 【典例5】设，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以． 故选B． 【针对练习5-1】设若复数满足，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以，得． 故选C． 【针对练习5-2】若复数满足，则的虚部为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，所以的虚部为． 故选D． 【针对练习5-3】已知复数，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得． 故选B． 【针对练习5-4】若复数满足（其中为虚数单位），则 （ ） A. B． C． D． 【答案】A 【解析】由． 故选A． 【针对练习5-5】设是复数，则下列命题中是假命题的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】设． 对于A，由，得，所以，所以，即，从而，故A为真命题． 对于B，由，得，所以且，所以，即， ，故B为真命题． 对于C，由，得，即，故C为真命题． 对于D，由C知，，而， 二者无直接关联，比如，，满足，而，此时，，故D为假命题． 故选D． 【针对练习5-6】设是复数，则下列命题中是假命题的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】设，． 对于A，， ，所以，为真命题． 对于B，，， ，所以，为真命题． 对于选项C，，，由得 .因为，，而与不一定相等，所以不一定成立，如，则为真，而，即，所以该命题为假命题． 对于选项D，由得，，，所以，为真命题． 故选C． 【针对练习5-7】（2024年九省联考）（多选）已知复数均不为0，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】设、． 对于A，设，则， ，故A错误； 对于B，，又，即有，故B正确； 对于C，，则， ，，则，即，故C正确； 对于D， ， ， 故，故D正确． 故选BCD． 【针对练习5-8】（2020 新课标卷II，理）设复数，满足：， ，则 ． 【答案】 【解析】方法1：因为复数，满足：，，所以，所以，所以，得，所以．又，故． 方法2：设，，， 得两式相加，得 ，所以，从而 ． 方法3(数形结合) ：设对应的复数分别为，则 ，所以四边形为菱形，设菱形的对角线交点为，则，所以，即． 6．复数的概念与含实数参变量的复数问题 【典例6】已知，若与互为共轭复数，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为与互为共轭复数，所以，，从而 ． 故选D． 【针对练习6-1】已知，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，所以． 故选B． 【针对练习6-2】若，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，根据复数相等，得． 故选D． 【针对练习6-3】若，其中，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，根据复数相等，得，从而． 故选C． 【针对练习6-4】复数为纯虚数，则实数的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由复数为纯虚数，可设，所以， 所以解得． 故选B． 【针对练习6-5】“复数为纯虚数”的一个必要不充分条件是 （ ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【解析】“复数为纯虚数”的等价条件是所以“”是“复数为纯虚数”的一个必要不充分条件． 故选A． 7．复数范围内一元二次方程的求解问题 【典例7】方程的一个根是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法1：将代入方程中检验，得 ，方程成立．故选A． 方法2：因为，所以方程有两虚根，且两根互为共轭复数，记为，由韦达定理，得，，解得，，故两虚根为．故选A． 方法3：因为，所以方程有两虚根，由求根公式得．故选A． 【针对练习7】若是关于的实系方程的一个复数根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是关于的实系方程的一个复数根，所以也是的一个复数根，由韦达定理，得， ，即． 故选B． 第4节 不等式的性质 在高考试题中，涉及的不是等式就是不等式，所以不等式的性质是高考的必考点．不等式的相关内容可出现在各类题型中，核心内容为作差比较法、不等式的基本性质、基本不等式（均值不等式）．可联合命题，亦可单独命题． 一、高考核心考点 1．作差比较法 （1）；（2）；（3）． 2．不等式的基本性质 （1）反对称性：； （2）传递性：； （3），，移项法则：； （4）可加性：，即同向不等式可以相加； （5）时，；时，； （6）； （7），且≥；； 当为正奇数时，，； （8）可乘性：． 3．基本不等式 （1）重要不等式（定理）：①≥；②≥；③≤，（，当且仅当时，号成立). （2）基本不等式：设，≥，有①≥；②≥；③≤，（当且仅当时取号)． （3）基本不等式的变形式： （，当且仅当时取号)． （4）常见结论：①，②，． 4．权方和不等式 二维形式：，当时等号成立，其中． 5．柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式：若，，，都是实数，则，当且仅当时，等号成立． 2．三维形式的柯西不等式 设，，，，，，则，当且仅当或存在一个数，使得，，时等号成立． 二、典例分析 1．作差比较法 【例1】已知，求证：． 【解析】证明：，即，所以． 【感悟提升】作差比较法的一般步骤： （1）作差， （2）将差式变形、化简， 若为整式，常考虑：①化为常数，②化为完全平方式，③通过因式分解（利用平方差、立方和、立方差公式，分组分解，提公因式等）的方式，化为几个因式相乘的形式； 若为分式，可考虑通分，化为两个式子相比的形式， （3）判断差式的符号（正号或负号），即比较差式与的大小， （4）根据原理下结论： ①；②；③． 【题组变式1】 变式1：已知，，，，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解析】，所以．故选B． 2．不等式的基本性质 【例2】（1）已知，则的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，由，得．故选A． （2）已知实数x，y满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，又，所以，即的取值范围是． 【感悟提升】根据不等式的基本性质，可以由单个变量的范围得到整体变量的范围，但由整体变量与的范围得不到单个变量的具体范围，此时需将，看作单个变量，从而得到整体的具体范围． 【题组变式2】 变式2-1：若满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】因为，所以，，所以，又，所以．故答案为． 变式2-2：（2024上海卷），，，，下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】判断不等式不成立时，可利用特殊值法举反例． 对于A，若，，则，选项不成立，故A错误；对于B，，，由不等式的可加性可知，，故B正确；对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误．故选B． 变式2-3：（多选）若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，由，则，故A正确； 对于B，，由，所以，故B错误； 对于C，由，可得，所以，所以，故C错误； 对于D，，由，则，即，故D正确． 故选AD． 3．基本不等式 【例3】（1）（2022甲卷第20题改编）函数的最大值为 ． 【解析】，当且仅当即时取等号，故的最大值为． （2）（2024北京卷）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设，因为函数是增函数，所以，即． 对于选项AB，得，即，根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于选项C，如，则，得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，得 ，即，故D错误． 故选A． （3）（多选）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（    ） A．最大值为1 B．有最大值4 C．的最大值为2 D．的最小值为9 【答案】AC 【解析】，是正数，，当且仅当时取等号，此时，故A正确； ，当且仅当时取等号，有最小值4，当时，，故B错误； 因为，则，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，故D错误． 故选AC． 【感悟提升】使用基本不等式时，一是要注意其使用前提：一“正”、二“定”、三“相等”，二是善于正用、逆用、变形用． 【题组变式3】 变式3-1：（2023北京卷）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：因为，所以，又，所以，所以充分性成立； 必要性：当时，与必异号，所以，所以，当且仅当即时取等号，即时，有，所以必要性成立．故选C． 变式3-2：已知，则函数的最小值为 ． 【解析】，当且仅当即时取等号，故函数的最小值为． 变式3-3：（2025北京卷）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B、D，取，此时，，故B、D错误； 对于C，由基本不等式，得，故C正确．选C． 变式3-4：已知为正实数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为a、b为正实数，所以，当且仅当时，等号成立，，所以，当且仅当时，等号成立． 综上．故选B． 变式3-5：若，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以； ． 所以．故选A． 变式3-6：（2022甲卷第16题）当函数取得最小值时，____． 【解析】，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，. 变式3-7：设，是实数，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为，所以由基本不等式，得 ，当且仅当即时取等号，故的最小值是． 变式3-8：设，，，若，，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】因为，所以，，又，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最大值为． 变式3-9：当时，的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，则，因此 ，当且仅当时，等号成立，故的最小值为． 变式3-10：已知非负数满足，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】由，可得 ，当且仅当，即时取等号． 变式3-11：若正数，满足，且恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【解析】由，得 ，当且仅当时，即，时，等号成立，所以的最小值为4，所以．因此，实数的最大值为4． 变式3-12：设正实数，，满足，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】因为，所以 ，当且仅当即时等号成立，将代入中，得，故的最小值为． 变式3-13：若，且，则ab的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于，当且仅当时等号成立，所以，即，即，所以． 变式3-14：如下图所示，用长为米的材料围成一个长为米，宽为米的矩形栅栏，矩形的一边利用一扇墙面，若矩形的面积为，则的最小值为 ． 【解析】由题意，得，所以，当且仅当时取等号，此时与联立得故的最小值为． 变式3-15：某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（    ） A．30件 B．60件 C．80件 D．100件 【答案】B 【解析】该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是，这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）由基本不等式，得，当且仅当，即时，取得最小值，时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．故选B． 4．权方和不等式 【典例4】已知，均为正数，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由权方和不等式，得，当且仅当时取等号，此时，与联立，得，．故的最小值为．故选A． 【针对练习4-1】已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】方法1：由权方和不等式，得，当且仅当即时取等号，所以的最小值为． 方法2：由柯西不等式，得，所以，当且仅当即时取等号，所以的最小值为． 【针对练习4-2】若正实数，，满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由权方和不等式，得，当且仅当，此时所以的最小值是．故选C． 【针对练习4-3】已知，均为正数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由权方和不等式，得，当且仅当时取等号，与联立，得，，所以，所以，故的最小值为． 【感悟提升】当需要分子、分母的底数和时，可以考虑使用权方和不等式． 5．柯西不等式 【典例5】设均为正数，且，证明：． 【解析】证明：因为均为正数，由柯西不等式，得，所以≥． 【感悟提升】→→． 【针对练习5-1】已知，求证：≥． 【解析】证明：由柯西不等式，得 ，所以≥． 【针对练习5-2】已知，，，求证：． 【解析】证明： ． 【针对练习5-3】已知，则的最小值为 ． 【答案】【解析】因为，由柯西不等式，得 ，当且仅当即时，取最小值． 【针对练习5-4】已知，，且，则的最小值是 ． 【答案】【解析】由柯西不等式，得，当且仅当时取等号，此时，，故的最小值是． 第5节 一元二次函数、方程、不等式 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式问题常称为“三个二次”问题，高考很少在此单独命题，主要出现在导数题中，如一元三次函数的导数是二次函数，还有导数为类二次函数（分式的分母符号确定，分子为二次函数）问题中，与二次不等式相结合，讨论函数的单调区间，往往要结合二次函数图象的对称轴和区间端点探求二次方程实根的分布，从而确定函数的单调区间与极（最）值情况． 一、高考核心考点 1．一元二次函数的解析式 （1）一般式：（，，为常数，且）； （2）顶点式：（（，，为常数，且）； （3）零点式：（为二次项系数），二次函数的零点为，． 2．一元二次函数图象 作图象时常考虑：（1）开口方向；（2）对称轴及顶点；（3）图象与轴交点；（4）时，图象与轴交点，． 3．一元二次不等式的解法 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的实根 有两相异实根 ， 有两相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 或 4．一元二次方程的实根分布 （1）一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 设一元二次方程的两个根为，，则① ②（其中）． 证明：由，， 得． （2）一元二次方程实根的分布（能力提升） 设，方程的两根为，且，则的分布情况如下表所示． 对应方程根的分布 函数的图象 充要条件 有且仅有一个在内 或 或 5．一元二次函数最值：①轴定区间定；②轴动区间定；③轴定区间动；④轴动区间动． 二、典例分析 1．一元二次不等式 【例1】（1）已知函数则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】当时，化为，即，得，所以．当时，化为，即，得，所以． 综上知，不等式的解集是． （2）已知不等式对一切实数都成立，则的取值范围是 ． 【解析】当时，显然不合题意． 当时，有解得． 综上知，实数的取值范围是． （3）（提高）已知，在实数范围内，解关于的不等式：． 【解析】（1）当时，原不等式化为，得解集为． （2）当时，令，即，此方程的两根分别为，，且． ①当时，原不等式化为，即，得解集为． ②当时，，所以，得原不等式的解集为； ③当时，，所以，得原不等式的解集为； ④当时，，所以，得原不等式的解集为． 综上知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 【感悟提升】①设，的两根为，且，则 或；．若两根大小不确定，就讨论两根的大小． ②设，则恒成立且； 恒成立且．有时也可以用分离参数法． 【题组变式1】 变式1-1：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得， ，所以． 故选D． 变式1-2：不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式化为即解得，即原不等式的解集为． 变式1-3：（2025年新课标2卷）不等式的解集是（ ） A．B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，化为，即，所以所以，所以的解集为． 故选C． 变式1-4：解不等式：（1）；（2）． 【解析】（1）． （2） ，或． 【感悟提升】 1．，或． 2．，或． 变式1-4：已知的解集为，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为不等式的解集为，所以，且由根与系数的关系，得所以代入中，得，所以，即，解得．故选C． 变式1-5：（提高）若函数的定义域为，则实数的取值范围为______. 【解析】由函数的定义域为，即在恒成立，结合一元二次方程的性质，则满足，解得，所以实数的取值范围为． 变式1-6：已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】①若，则恒成立，满足题意； ②，则得即． 综上所述．故选D． 2．一元二次方程实根的分布 【典例2】（1）（提高）已知方程有一个正根一个负根，则实数的取值范围为　 　 ． 【解析】方法1：因为方程有一个正根一个负根，由判别式及韦达定理，得得得，即实数的取值范围为． 方法2：令，由题意，得，解得，即实数的取值范围为． （2）（提高）已知方程的两个不等实根均大于，则实数的取值范围为　　 ． 【解析】方法1：设，由的两个不等实根均大于，由二次函数图象，得解得． 方法2：设两根分别为，，则即解得． 【感悟提升】一元二次方程的实根分布及条件： （1）两根都为正 （2）两根都为负 （3）两根一正一负． （4）方程的两根中一根比大，且另一根比小； （5）方程的两个不等实根都大于 （6）方程在区间上有两个不等实根 【题组变式2】 变式2-1：（提高）方程的两个不等实根一个在区间，一个在区间内，则实数的取值范围为　　　 ． 【解析】设，则解得． 变式2-2：（提高）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围． （1）方程的两根都大于；（2）方程的一根大于，另一根小于． 【解析】（1）令，其对称轴为，若一元二次方程的两根都大于，则即解得，实数的取值范围是． （2）若的一根大于，另一根小于，则，即，实数的取值范围是． 3．一元二次函数在闭区间上的最值（提高） 【例3】（1）（提高）求函数在区间上的最小值； 【解析】函数图象的对称轴为． ①当即时，； ②当时，； ③当即时，． 故所求 （2）（提高）已知函数，．若有最小值，求的值． 【解析】方法1：，对称轴为． ①当时，，（舍去）． ②当时，，． ③当时，，（舍去）． 综上所述，或． 方法2：易知函数的最小值只可能是，，三种可能，于是， 令，得，此时，，符合题意； 令，得，此时，，符合题意； 令，得，此时，，此时的最小值是，不符合题意． 故或． 【感悟提升】①函数在上最小值有可能是，，三种情况，这与对称轴及区间的位置有密切关系．如第（2）问函数，在区间上最小值有，，三种情况，这里已知最小值，不妨直接假设三者分别等于已知的最小值，再分别代入验证． ②由于二次函数在区间上的最大值有，，三种情况，已知最大值，直接假设三者分别为已知的最大值，在代回去分别验证． ③当遇到轴定区间动的二次函数最值问题，我们可以进行动与静的转换，让对称轴分别运动．如本题第（1）问直线可以分别位于区间左侧、右侧、中间，可获得三种最小值．　 【题组变式3】 变式3-1：已知二次函数，关于该函数在时的最值情况，下列说法正确的是（　 ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值0，有最小值 C．有最大值7，有最小值 D．有最大值7，有最小值 【答案】D 【解析】因为，开口向上，对称轴为，且，所以时，随着增大而减小；时，随着增大而增大，即当时，有最小值为，当时，，当时，，所以二次函数有最大值为，有最小值为．故选D． 变式3-2：已知函数，，求函数的最大值． 【解析】令，则，先求的最大值．函数的图象开口向上，由可知，直线到对称轴的距离与直线到对称轴的距离相等，所以函数的最大值为，故函数的最大值为即． 变式3-3：已知函数，求分别在下列各区间上的最大值： （1）；（2）；（3）． 【解析】． （1）因为函数在上单调递增，所以当时，函数取得最大值． （2）因为，所以当时，函数取得最大值． （3）因为函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值． 变式3-4：已知函数．求分别在下列各区间上的最小值： （1）；（2）；（3）． 【解析】． （1）因为函数在 所以当时，函数取得最小值． （2）因为函数在上单调递减，所以当时，函数取得最小值． （3）因为函数在上单调递增，所以当时，函数取得最小值． 变式3-5：（提高）已知，的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二次函数的对称轴为，且， 当时，解得，，由二次函数的图象与性质得的取值范围是. 故选B． 1 学科网（北京）股份有限公司 $