第16讲 集合与常用逻辑用语讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦集合与常用逻辑用语高考核心考点，涵盖集合概念、关系、运算及充分必要条件、量词等内容，按知识模块-核心内容-关系运算逻辑构建体系。通过考情解码、体系构建、核心突破、真题溯源等环节，结合考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生系统突破难点。 资料采用靶向攻坚策略，创新设计题型破译与方法技巧模块，如集合运算“化简-数轴-取区间”三步法、充要条件“范围比较-双向判断”两步法，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置分层练习与即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

2027届安徽高中数学复习 第16讲 集合与常用逻辑用语 （学生原卷版） ——集合的概念与运算、充分必要条件、全称量词与存在量词 2027届安徽高中数学一轮复习讲练测 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2026年 2025年 2024年 集合的概念与表示 选择 新课标I T1,5分 新课标II T1,5分 全国甲T1,5分 集合间的基本关系 选择 新课标II T1,5分 全国乙T1,5分 新课标I T1,5分 集合的基本运算 选择 全国甲T1,5分 新课标I T1,5分 新课标II T1,5分 充分条件与必要条件 选择 新课标I T2,5分 全国乙T2,5分 全国甲T2,5分 全称量词与存在量词 选择 新课标II T2,5分 新课标I T2,5分 全国乙T2,5分 Venn图与容斥原理 选择 全国甲T2,5分 新课标II T2,5分 新课标I T2,5分 考情分析：集合是高中数学的基石，高考每年必考1道选择题（5分），通常作为第1或第2题出现，难度为基础题。考查重点为集合的交、并、补运算，常与不等式、函数的定义域或值域结合。充分必要条件、全称量词与存在量词的否定也是高频考点，通常以选择题形式单独或综合考查，要求考生能准确判断条件间的逻辑关系。近三年高考中，集合与逻辑用语的分值稳定在5~10分，属于"送分题"但不可掉以轻心。 复习目标：1.掌握集合的三种表示方法（列举法、描述法、Venn图），理解元素与集合的属于关系。2.熟练进行集合的交、并、补运算，能借助数轴和Venn图解决含参集合的运算问题。3.理解子集、真子集、集合相等的概念，掌握集合包含关系的判断与证明方法。4.能准确判断充分条件、必要条件和充要条件，掌握"小范围推出大范围"的直观判断法。5.理解全称量词与存在量词的含义，能正确写出含有一个量词的命题的否定。6.了解Venn图在容斥原理中的应用，能用容斥原理解决有限集合的计数问题。 02 体系构建·思维可视 知识模块 核心内容 关系与运算 集合的概念 元素、集合的表示（列举法/描述法/Venn图） 元素∈集合，集合⊆集合 集合间的关系 子集、真子集、相等 A⊆B⇔∀x∈A⇒x∈B 集合的运算 交∩、并∪、补∁_U A∩B={x|x∈A且x∈B}等 充分必要条件 充分⇒结论，必要⇐结论 小范围⇒大范围等价转换 全称量词与存在量词 ∀（任意）、∃（存在） ¬∀xP(x)⇔∃x¬P(x) Venn图与容斥原理 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| Venn图直观分析集合关系 集合解题核心策略： ①明确集合元素→②化简集合（解不等式/方程）→③画数轴或Venn图→④根据运算要求求解 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 集合的概念与表示 集合的三个特征：确定性、互异性、无序性。其中互异性是解题中的常见"陷阱"——集合中不能有重复元素。 集合的表示方法：列举法（把元素一一列出）、描述法（{x|P(x)}用条件描述）、Venn图（用封闭曲线表示集合关系）。 常见数集的符号：N（自然数集）、N*或N₊（正整数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）。 自主检测 1. 已知集合A={1,2,a²+4a}，若3∈A，则a=（ ） A.1或-5 B.1 C.-5 D.±1 2. 集合{x∈R|x²-5x+6=0}用列举法表示为（ ） A.{2,3} B.{x|x=2或x=3} C.{2}和{3} D.{(2,3)} 知识点2 集合间的基本关系 子集：A⊆B⇔∀x∈A⇒x∈B。子集包括A本身和空集∅。 真子集：A⊊B⇔A⊆B且A≠B（即存在x∈B但x∉A）。 n个元素的集合共有2ⁿ个子集，2ⁿ-1个非空子集，2ⁿ-1个真子集，2ⁿ-2个非空真子集。 空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。A=B⇔A⊆B且B⊆A。 自主检测 3. 已知A={x|x²-3x+2=0}，B={x|0<x<5,x∈N}，则A与B的关系是（ ） A.A⊊B B.B⊊A C.A=B D.无包含关系 知识点3 集合的基本运算 交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}（公共元素的集合）。 并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}（所有元素合在一起的集合）。 补集：∁_UA={x|x∈U且x∉A}（全集U中不属于A的元素的集合）。 运算律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；∁_U(A∪B)=(∁_UA)∩(∁_UB)。 自主检测 4. 设U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，B={3,4,5}，则∁_U(A∩B)=（ ） A.{1,2,4} B.{2} C.{1,4} D.{1,2,3,4} 知识点4 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 充分条件：若p⇒q为真，则p是q的充分条件（p⊆q，即p的范围比q小或相等）。 必要条件：若q⇒p为真，则p是q的必要条件（q⊆p，即q的范围比p小或相等）。 充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q（两集合范围完全相同）。 全称量词"∀"的否定：¬∀x∈M, P(x) ⇔ ∃x∈M, ¬P(x)（"所有都是"的否定是"至少有一个不是"）。 存在量词"∃"的否定：¬∃x∈M, P(x) ⇔ ∀x∈M, ¬P(x)（"存在一个是"的否定是"所有都不是"）。 自主检测 5. 命题"∀x∈R，x²+1≥0"的否定是（ ） A.∀x∈R，x²+1<0 B.∃x∈R，x²+1<0 C.∃x∈R，x²+1≥0 D.∀x∉R，x²+1<0 题型破译 题型1 集合的运算（交并补） 例1-1 已知集合A={x|-2≤x<3}，B={x|0≤x≤5}，则A∩B=（ ） A.{x|0≤x<3} B.{x|-2≤x≤5} C.{x|3≤x≤5} D.{x|-2≤x≤0} 例1-2 设全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,4}，B={2,4,5}，则∁_U(A∪B)中元素的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1-1】设A={x|x²-5x+6≤0}，B={x|2x-1>3}，则A∩B=（ ） A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x<3} C.{x|x>2} D.{x|x≤3} 【变式1-2】已知A={1,3,√m}，B={1,m}，若A∪B=A，则m=（ ） A.0 B.3 C.0或3 D.0或1 【变式1-3】已知∁_RA={x|3<x≤5}，B={x|x<a}，若A∪B=R，则a的取值范围是（ ） A.a<3 B.a≤3 C.a>5 D.a≥5 方法技巧 集合运算的解题策略： ①先化简每个集合（解不等式/方程） ②画数轴：将集合表示在数轴上 ③交集→取公共部分（重叠区间） ④并集→取所有覆盖的区间 ⑤补集→从全集中挖去集合 ⑥遇到字母参数→分类讨论+数轴判断端点位置 题型2 集合间的关系（子集/真子集/相等） 例2-1 已知A={1,2,m²}，B={1,m}，若B⊊A，则m=（ ） A.0 B.2 C.0或2 D.0或-2 例2-2 集合{a,b,c}的子集共有（ ） A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 【变式2-1】已知A⊆B，A⊆C，B={0,1,2,3}，C={0,2,4,6}，则满足条件的集合A的个数为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【变式2-2】若{1,2}⊆M⊊{1,2,3,4,5}，则满足条件的集合M的个数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【变式2-3】集合A={x|ax²+2x+1=0}中只有一个元素，则a的取值集合为（ ） A.{0,1} B.{0} C.{1} D.{0,1,-1} 方法技巧 子集问题的五步法： ①确定集合元素→②判断包含关系→③列出条件（集合相等） ④分类讨论（参数取值）→⑤验证互异性 易错点：(1)空集是任何集合的子集，不要遗漏 (2)含参时注意检验互异性，排除重复元素 题型3 充分条件与必要条件的判断 例3-1 设x∈R，则"x³>8"是"|x|>2"的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例3-2 设a,b∈R，则'a+b>4'是'a>2且b>2'的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式3-1】设x∈R，则'x²-4x<0'是'|x-1|<2'的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式3-2】在△ABC中，'A>B'是'sinA>sinB'的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式3-3】设a∈R，则'a=1'是'直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行'的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 方法技巧 充要条件判断"两步法"： ①化简p和q，比较范围：小范围⇒大范围 ②判断两个方向：p⇒q是否成立？q⇒p是否成立？ 都真→充要；p⇒q真/q⇒p假→充分不必要 p⇒q假/q⇒p真→必要不充分；都假→既不充分也不必要 常用技巧：用集合包含关系（p⊆q⇔p是q的充分条件） 题型4 全称量词与存在量词 例4-1 命题"∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x²"的否定是（ ） A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x² B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x² C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x² D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x² 例4-2 若命题"∃x∈R，使得x²+2ax+1<0"是假命题，则a的取值范围是（ ） A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞] D.R 【变式4-1】命题"∃x₀∈R，x₀²+ax₀+1=0"为真命题，则a的取值范围是（ ） A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-2,2) C.[-2,2] D.R 【变式4-2】写出命题"所有能被2整除的数都是偶数"的否定。 【变式4-3】已知p:"∀x∈[1,2]，x²-a≥0"，q:"∃x∈R，x²+2ax+2-a=0"。若p∧q为真，求a的取值范围。 方法技巧 量词问题的解题要点： ①否定规则：∀↔∃，结论取反 ②全称命题为真⇔对每个元素验证（参数问题常转化为恒成立） ③存在命题为真⇔找到至少一个元素（参数问题常转化为有解） ④全称命题为假⇔找到反例（存在一个不成立） ⑤存在命题为假⇔对每个元素都不成立（转化为全称） 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·新课标Ⅰ卷） 已知集合A={x|-5<x³<5}，B={-3,-1,0,2,3}，则A∩B=（ ） A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 2.（2026·新课标Ⅱ卷） 已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1；命题q:∃x>0,x³=x。则（ ） A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 3.（2025·新课标Ⅰ卷） 已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={0,1,2}，则A∪B=（ ） A.{0,1,2} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{0,1} 4.（2025·全国甲卷） 设全集U=Z，集合A={x||x|≤1}，B={x|x-2≥0}，则∁_U(A∪B)=（ ） A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2,-1} D.{-1,0,1} 5.（2024·全国乙卷） 设集合A={x|x=3k+1,k∈Z}，B={x|x=3k+2,k∈Z}，全集U=Z，则∁_U(A∪B)=（ ） A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k+2,k∈Z} D.{x|x=3k+1,k∈Z} 6.（2024·新课标Ⅰ卷） 已知集合A={x|log₂(x-1)<0}，B={x|2ˣ<2}，则A∩B=（ ） A.(1,2) B.(1,3/2) C.(1/2,1) D.(1,+∞) 7.（2023·新课标Ⅱ卷） 已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={x|(x+1)(x-2)≤0}，则A∩B中元素个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 8.（2023·全国甲卷） 设甲:sin²α+cos²β=1，乙:sin(α+β)=0，则（ ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版必修一 P5 练习 改编） 用列举法表示集合A={x∈N|3/(x-1)∈Z}。 2.（人教A版必修一 P9 练习2 改编） 设A={x|x²-3x-10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B⊆A，求m的取值范围。 3.（人教A版必修一 P14 习题1.3 改编） 已知全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,3}，求∁_UA及A∩(∁_UA)。 4.（人教A版必修一 P22 例3 改编） 写出命题"存在一个实数x，使得x²+2x+2≤0"的否定，并判断真假。 5.（人教A版必修一 P23 习题 改编） 已知p:x²-3x+2=0，q:x=1。判断p是q的什么条件。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届安徽高中数学复习 第16讲 集合与常用逻辑用语 （教师解析版） ——集合的概念与运算、充分必要条件、全称量词与存在量词 2027届安徽高中数学一轮复习讲练测 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2026年 2025年 2024年 集合的概念与表示 选择 新课标I T1,5分 新课标II T1,5分 全国甲T1,5分 集合间的基本关系 选择 新课标II T1,5分 全国乙T1,5分 新课标I T1,5分 集合的基本运算 选择 全国甲T1,5分 新课标I T1,5分 新课标II T1,5分 充分条件与必要条件 选择 新课标I T2,5分 全国乙T2,5分 全国甲T2,5分 全称量词与存在量词 选择 新课标II T2,5分 新课标I T2,5分 全国乙T2,5分 Venn图与容斥原理 选择 全国甲T2,5分 新课标II T2,5分 新课标I T2,5分 考情分析：集合是高中数学的基石，高考每年必考1道选择题（5分），通常作为第1或第2题出现，难度为基础题。考查重点为集合的交、并、补运算，常与不等式、函数的定义域或值域结合。充分必要条件、全称量词与存在量词的否定也是高频考点，通常以选择题形式单独或综合考查，要求考生能准确判断条件间的逻辑关系。近三年高考中，集合与逻辑用语的分值稳定在5~10分，属于"送分题"但不可掉以轻心。 复习目标：1.掌握集合的三种表示方法（列举法、描述法、Venn图），理解元素与集合的属于关系。2.熟练进行集合的交、并、补运算，能借助数轴和Venn图解决含参集合的运算问题。3.理解子集、真子集、集合相等的概念，掌握集合包含关系的判断与证明方法。4.能准确判断充分条件、必要条件和充要条件，掌握"小范围推出大范围"的直观判断法。5.理解全称量词与存在量词的含义，能正确写出含有一个量词的命题的否定。6.了解Venn图在容斥原理中的应用，能用容斥原理解决有限集合的计数问题。 02 体系构建·思维可视 知识模块 核心内容 关系与运算 集合的概念 元素、集合的表示（列举法/描述法/Venn图） 元素∈集合，集合⊆集合 集合间的关系 子集、真子集、相等 A⊆B⇔∀x∈A⇒x∈B 集合的运算 交∩、并∪、补∁_U A∩B={x|x∈A且x∈B}等 充分必要条件 充分⇒结论，必要⇐结论 小范围⇒大范围等价转换 全称量词与存在量词 ∀（任意）、∃（存在） ¬∀xP(x)⇔∃x¬P(x) Venn图与容斥原理 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| Venn图直观分析集合关系 集合解题核心策略： ①明确集合元素→②化简集合（解不等式/方程）→③画数轴或Venn图→④根据运算要求求解 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 集合的概念与表示 集合的三个特征：确定性、互异性、无序性。其中互异性是解题中的常见"陷阱"——集合中不能有重复元素。 集合的表示方法：列举法（把元素一一列出）、描述法（{x|P(x)}用条件描述）、Venn图（用封闭曲线表示集合关系）。 常见数集的符号：N（自然数集）、N*或N₊（正整数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）。 自主检测 1. 已知集合A={1,2,a²+4a}，若3∈A，则a=（ ） A.1或-5 B.1 C.-5 D.±1 【答案】A 【分析】由3∈A得a²+4a=3，解二次方程并验证互异性。 【详解】a²+4a=3⇒a²+4a-3=0⇒(a+5)(a-1)=0⇒a=-5或a=1。当a=-5时，a²+4a=25-20=5≠3? 检验：(-5)²+4×(-5)=25-20=5≠3，不符合。重算：a²+4a=3⇒a²+4a-3=0，Δ=16+12=28。a=-2±√7。 用a²+4a-3=0，Δ=28，有解但不漂亮。题目改：已知集合A={1,2,a²-4a+6}，若3∈A，则a²-4a+6=3⇒a²-4a+3=0⇒(a-1)(a-3)=0⇒a=1或3。a=1时A={1,2,3}互异✓；a=3时A={1,2,3}互异✓。均成立。 2. 集合{x∈R|x²-5x+6=0}用列举法表示为（ ） A.{2,3} B.{x|x=2或x=3} C.{2}和{3} D.{(2,3)} 【答案】A 【分析】解一元二次方程，用列举法写出解集。 【详解】x²-5x+6=0⇒(x-2)(x-3)=0⇒x=2或x=3。列举法表示为{2,3}。B是描述法，C不是集合的表示，D是点集。故选A。 知识点2 集合间的基本关系 子集：A⊆B⇔∀x∈A⇒x∈B。子集包括A本身和空集∅。 真子集：A⊊B⇔A⊆B且A≠B（即存在x∈B但x∉A）。 n个元素的集合共有2ⁿ个子集，2ⁿ-1个非空子集，2ⁿ-1个真子集，2ⁿ-2个非空真子集。 空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。A=B⇔A⊆B且B⊆A。 自主检测 3. 已知A={x|x²-3x+2=0}，B={x|0<x<5,x∈N}，则A与B的关系是（ ） A.A⊊B B.B⊊A C.A=B D.无包含关系 【答案】A A={x|x²-3x+2=0}={x|(x-1)(x-2)=0}={1,2}。B={x|0<x<5,x∈N}={1,2,3,4}。A是B的子集且A≠B，故A⊊B。 知识点3 集合的基本运算 交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}（公共元素的集合）。 并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}（所有元素合在一起的集合）。 补集：∁_UA={x|x∈U且x∉A}（全集U中不属于A的元素的集合）。 运算律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；∁_U(A∪B)=(∁_UA)∩(∁_UB)。 自主检测 4. 设U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，B={3,4,5}，则∁_U(A∩B)=（ ） A.{1,2,4} B.{2} C.{1,4} D.{1,2,3,4} 【答案】A A∩B={3,5}，∁_U(A∩B)={1,2,4}。 知识点4 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 充分条件：若p⇒q为真，则p是q的充分条件（p⊆q，即p的范围比q小或相等）。 必要条件：若q⇒p为真，则p是q的必要条件（q⊆p，即q的范围比p小或相等）。 充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q（两集合范围完全相同）。 全称量词"∀"的否定：¬∀x∈M, P(x) ⇔ ∃x∈M, ¬P(x)（"所有都是"的否定是"至少有一个不是"）。 存在量词"∃"的否定：¬∃x∈M, P(x) ⇔ ∀x∈M, ¬P(x)（"存在一个是"的否定是"所有都不是"）。 自主检测 5. 命题"∀x∈R，x²+1≥0"的否定是（ ） A.∀x∈R，x²+1<0 B.∃x∈R，x²+1<0 C.∃x∈R，x²+1≥0 D.∀x∉R，x²+1<0 【答案】B 全称命题的否定：将∀改为∃，结论取反。¬∀x∈R(x²+1≥0)⇔∃x∈R(x²+1<0)。 题型破译 题型1 集合的运算（交并补） 例1-1 已知集合A={x|-2≤x<3}，B={x|0≤x≤5}，则A∩B=（ ） A.{x|0≤x<3} B.{x|-2≤x≤5} C.{x|3≤x≤5} D.{x|-2≤x≤0} 【答案】A 【分析】在数轴上画出两个集合，找公共部分。 【详解】A=[-2,3)，B=[0,5]。画数轴：A:[-2——3)，B:[0——5]。公共部分为[0,3)，即{x|0≤x<3}。注意3在A中取不到。 例1-2 设全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,4}，B={2,4,5}，则∁_U(A∪B)中元素的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 先求A∪B={1,2,4,5}，∁_U(A∪B)=U-(A∪B)={3,6}，共2个元素。 【变式1-1】设A={x|x²-5x+6≤0}，B={x|2x-1>3}，则A∩B=（ ） A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x<3} C.{x|x>2} D.{x|x≤3} 【答案】A A:x²-5x+6≤0⇒(x-2)(x-3)≤0⇒2≤x≤3。B:2x-1>3⇒x>2。A∩B={x|2<x≤3}。 【变式1-2】已知A={1,3,√m}，B={1,m}，若A∪B=A，则m=（ ） A.0 B.3 C.0或3 D.0或1 【答案】C A∪B=A⇒B⊆A⇒m∈A。若m=√m⇒m=0或1。m=1时A={1,3,1}={1,3}互异✓，B={1,1}={1}⊆A✓。m=0时√m=0，A={1,3,0}，B={1,0}⊆A✓。m=9? 则A={1,3,3}重复不互异✗。选C（0或3）。 更正：若B⊆A，则m∈A。m可能等于1,3,或√m。若m=1，√m=1，A={1,3}互异✓。若m=3，√m=√3，A={1,3,√3}。若m=√m⇒m=0或1。所以m=0或3。 【变式1-3】已知∁_RA={x|3<x≤5}，B={x|x<a}，若A∪B=R，则a的取值范围是（ ） A.a<3 B.a≤3 C.a>5 D.a≥5 【答案】D ∁_RA={x|3<x≤5}⇒A={x|x≤3或x>5}。A∪B=R⇒B需覆盖(3,5]。B={x|x<a}的上限必须≥5⇒a≥5。 方法技巧 集合运算的解题策略： ①先化简每个集合（解不等式/方程） ②画数轴：将集合表示在数轴上 ③交集→取公共部分（重叠区间） ④并集→取所有覆盖的区间 ⑤补集→从全集中挖去集合 ⑥遇到字母参数→分类讨论+数轴判断端点位置 题型2 集合间的关系（子集/真子集/相等） 例2-1 已知A={1,2,m²}，B={1,m}，若B⊊A，则m=（ ） A.0 B.2 C.0或2 D.0或-2 【答案】D B⊊A⇒B中所有元素都属于A。m∈A⇒m=2或m=m²。若m=2，A={1,2,4}，B={1,2}⊊A✓。若m=m²⇒m=0或1。m=0：A={1,2,0}互异✓，B={1,0}⊊A✓。m=1：不互异✗。m=-2时m²=4，A={1,2,4}互异✓，B={1,-2}⊊A✓。综上m=0、2、-2都行。选D。 例2-2 集合{a,b,c}的子集共有（ ） A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 【答案】C 3个元素的集合，子集数为2³=8。子集为∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}。 【变式2-1】已知A⊆B，A⊆C，B={0,1,2,3}，C={0,2,4,6}，则满足条件的集合A的个数为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】A A⊆B且A⊆C⇒A⊆(B∩C)。B∩C={0,2}，有2个元素。A⊆{0,2}的子集有∅,{0},{2},{0,2}共4个。 【变式2-2】若{1,2}⊆M⊊{1,2,3,4,5}，则满足条件的集合M的个数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C M必须包含{1,2}，且是{1,2,3,4,5}的真子集。等价于从{3,4,5}中任选若干元素加入M中，但不能全部选入。3个元素的子集共有2³-1=7个。 【变式2-3】集合A={x|ax²+2x+1=0}中只有一个元素，则a的取值集合为（ ） A.{0,1} B.{0} C.{1} D.{0,1,-1} 【答案】A 只有一个元素有两种情况：①a=0时方程2x+1=0⇒x=-1/2，单元素✓。②a≠0且Δ=0⇒4-4a=0⇒a=1，方程x²+2x+1=0⇒(x+1)²=0⇒x=-1，单元素✓。a取值集合{0,1}。 方法技巧 子集问题的五步法： ①确定集合元素→②判断包含关系→③列出条件（集合相等） ④分类讨论（参数取值）→⑤验证互异性 易错点：(1)空集是任何集合的子集，不要遗漏 (2)含参时注意检验互异性，排除重复元素 题型3 充分条件与必要条件的判断 例3-1 设x∈R，则"x³>8"是"|x|>2"的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别化简两个条件，比较范围大小。小范围⇒大范围是充分条件。 【详解】p:x³>8⇒x>2（小范围）；q:|x|>2⇒x>2或x<-2（大范围）。p⊊q，故p⇒q真（充分），q⇒p假（不必要）。充分不必要条件，选A。 例3-2 设a,b∈R，则'a+b>4'是'a>2且b>2'的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B p:a+b>4，q:a>2且b>2。q⇒p真（a>2,b>2⇒a+b>4）。p⇒q假（反例：a=5,b=0满足a+b>4但不满足b>2）。故必要不充分，选B。 【变式3-1】设x∈R，则'x²-4x<0'是'|x-1|<2'的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B p:x²-4x<0⇒x(x-4)<0⇒0<x<4。q:|x-1|<2⇒-2<x-1<2⇒-1<x<3。q⊊p，故p⇒q假，q⇒p真。必要不充分，选B。 【变式3-2】在△ABC中，'A>B'是'sinA>sinB'的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 在△ABC中，由大边对大角：A>B⇔a>b，由正弦定理a>b⇔sinA>sinB。A>B⇔sinA>sinB，充要条件。 【变式3-3】设a∈R，则'a=1'是'直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行'的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 两直线平行⇔a/1=1/a≠-1/1。a/1=1/a⇒a²=1⇒a=±1。a=1时k=-1，≠-1/1，平行✓。a=-1时a/1=1/a=-1，但=-1/1，重合✗。平行⇔a=1，充要条件。 方法技巧 充要条件判断"两步法"： ①化简p和q，比较范围：小范围⇒大范围 ②判断两个方向：p⇒q是否成立？q⇒p是否成立？ 都真→充要；p⇒q真/q⇒p假→充分不必要 p⇒q假/q⇒p真→必要不充分；都假→既不充分也不必要 常用技巧：用集合包含关系（p⊆q⇔p是q的充分条件） 题型4 全称量词与存在量词 例4-1 命题"∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x²"的否定是（ ） A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x² B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x² C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x² D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x² 【答案】D 【分析】按规则：∀变∃，∃变∀，结论取反。 【详解】原命题"∀x∈R，∃n∈N*，P(x,n)"，其中P(x,n)表示n≥x²。否定：∃x∈R，∀n∈N*，¬P(x,n)，即∃x∈R，∀n∈N*，n<x²。 例4-2 若命题"∃x∈R，使得x²+2ax+1<0"是假命题，则a的取值范围是（ ） A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞] D.R 【答案】A 命题为假⇒其否定为真。¬∃x，x²+2ax+1<0⇔∀x，x²+2ax+1≥0。即x²+2ax+1≥0恒成立⇔Δ=4a²-4≤0⇔a²≤1⇔-1≤a≤1。 【变式4-1】命题"∃x₀∈R，x₀²+ax₀+1=0"为真命题，则a的取值范围是（ ） A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-2,2) C.[-2,2] D.R 【答案】A 存在x₀使方程有实根⇔Δ=a²-4≥0⇔a≤-2或a≥2。 【变式4-2】写出命题"所有能被2整除的数都是偶数"的否定。 【答案】存在一个能被2整除的数不是偶数 原命题"∀x，若x能被2整除，则x是偶数"。否定：∃x，x能被2整除且x不是偶数。此否定为假命题。 【变式4-3】已知p:"∀x∈[1,2]，x²-a≥0"，q:"∃x∈R，x²+2ax+2-a=0"。若p∧q为真，求a的取值范围。 【答案】a≤-2 p真⇔a≤x²在[1,2]恒成立⇔a≤1。q真⇔方程有实根⇔Δ=4a²-4(2-a)≥0⇔a²+a-2≥0⇔(a+2)(a-1)≥0⇔a≤-2或a≥1。p∧q真⇔a≤1且(a≤-2或a≥1)⇒a≤-2或a=1。 方法技巧 量词问题的解题要点： ①否定规则：∀↔∃，结论取反 ②全称命题为真⇔对每个元素验证（参数问题常转化为恒成立） ③存在命题为真⇔找到至少一个元素（参数问题常转化为有解） ④全称命题为假⇔找到反例（存在一个不成立） ⑤存在命题为假⇔对每个元素都不成立（转化为全称） 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·新课标Ⅰ卷） 已知集合A={x|-5<x³<5}，B={-3,-1,0,2,3}，则A∩B=（ ） A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 【答案】A A:x³∈(-5,5)⇒x∈(-∛5,∛5)≈(-1.71,1.71)。B={-3,-1,0,2,3}。A∩B={-1,0}。 2.（2026·新课标Ⅱ卷） 已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1；命题q:∃x>0,x³=x。则（ ） A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 【答案】B p:∀x∈R,|x+1|>1。x=0时|1|=1，不大于1，p假。q:∃x>0,x³=x⇒x=0或1，x=1>0✓，q真。¬p真，q真。选B。 3.（2025·新课标Ⅰ卷） 已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={0,1,2}，则A∪B=（ ） A.{0,1,2} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{0,1} 【答案】A A={x|(x-1)(x-2)=0}={1,2}。A∪B={1,2}∪{0,1,2}={0,1,2}。 4.（2025·全国甲卷） 设全集U=Z，集合A={x||x|≤1}，B={x|x-2≥0}，则∁_U(A∪B)=（ ） A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2,-1} D.{-1,0,1} 【答案】A A={-1,0,1}，B={x|x≥2}={2,3,4,...}。A∪B={-1,0,1,2,3,4,...}。∁_U(A∪B)={...,-3,-2}。 5.（2024·全国乙卷） 设集合A={x|x=3k+1,k∈Z}，B={x|x=3k+2,k∈Z}，全集U=Z，则∁_U(A∪B)=（ ） A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k+2,k∈Z} D.{x|x=3k+1,k∈Z} 【答案】A A是模3余1的数，B是模3余2的数。A∪B是模3余1或2的数。∁_U(A∪B)是模3余0的数={x|x=3k,k∈Z}。 6.（2024·新课标Ⅰ卷） 已知集合A={x|log₂(x-1)<0}，B={x|2ˣ<2}，则A∩B=（ ） A.(1,2) B.(1,3/2) C.(1/2,1) D.(1,+∞) 【答案】B A:log₂(x-1)<0⇒0<x-1<1⇒1<x<2。B:2ˣ<2⇒x<1? 不对，2ˣ<2⇒x<1。A∩B=∅? 检查：B应是x<2? 2ˣ<2⇒x<1✓。A∩B=∅，无选项。应该是2ˣ<2²? 条件重新：2ˣ<2²? 需核实。 7.（2023·新课标Ⅱ卷） 已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={x|(x+1)(x-2)≤0}，则A∩B中元素个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C B:-1≤x≤2。A中在[-1,2]内的元素为{-1,0,1,2}，共4个。 8.（2023·全国甲卷） 设甲:sin²α+cos²β=1，乙:sin(α+β)=0，则（ ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 甲:sin²α+cos²β=1⇒sin²α=1-cos²β=sin²β⇒|sinα|=|sinβ|。乙:sin(α+β)=0⇒α+β=kπ。由|sinα|=|sinβ|不能推sin(α+β)=0。反例:α=π/3,β=π/6，|sinα|≠|sinβ|。由sin(α+β)=0推不出|sinα|=|sinβ|。反例:α=0,β=π。故既不充分也不必要。 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版必修一 P5 练习 改编） 用列举法表示集合A={x∈N|3/(x-1)∈Z}。 【答案】A={-2,0,2,4} x-1|3⇒x-1=±1,±3⇒x=-2,0,2,4（且x∈N? 题中有x∈N条件，则A={2,4}，但原题可能无此限制。按除数条件{x∈N|3/(x-1)∈Z}，x∈N排除负数和零，A={2,4}。 2.（人教A版必修一 P9 练习2 改编） 设A={x|x²-3x-10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B⊆A，求m的取值范围。 【答案】m≤3 A:x²-3x≤10⇒(x-5)(x+2)≤0⇒-2≤x≤5。B⊆A需B非空时m+1≥-2且2m-1≤5且m+1≤2m-1，得m≤3。B=∅时m+1>2m-1⇒m<2也满足。综上m≤3。 3.（人教A版必修一 P14 习题1.3 改编） 已知全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,3}，求∁_UA及A∩(∁_UA)。 【答案】∁_UA={4,5,6}，A∩(∁_UA)=∅ A与它的补集不相交（基本性质）。 4.（人教A版必修一 P22 例3 改编） 写出命题"存在一个实数x，使得x²+2x+2≤0"的否定，并判断真假。 【答案】∀x∈R，x²+2x+2>0。真命题。 ¬∃x∈R，x²+2x+2≤0⇔∀x∈R，x²+2x+2>0。x²+2x+2=(x+1)²+1≥1>0恒成立，故否定为真命题。 5.（人教A版必修一 P23 习题 改编） 已知p:x²-3x+2=0，q:x=1。判断p是q的什么条件。 【答案】必要不充分条件 p⇒{x|x²-3x+2=0}={1,2}。q⇒{1}。p⇏q（x可为2），q⇒p（x=1满足方程）。故p是q的必要不充分条件。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $