上海市光明中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025～2026学年光明中学高二下期末考试数学试卷 一、填空题 1． 2． 3． 4．6.3 5．拒绝 6．5.4 7． 8． 9． 10． 11． 12．，，， 二、单选题 13．B 14．B 15．A 16．A 三、解答题 17．； 【解析】，，样本点的中心为， 代入，，则线性回归方程为， 取，得， 取，得，故此时离差为． 18．（1）；（2）的最大值为，最小值为 【解析】（1）设的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c， 则，，则，所以． （2）依题意，设，则，，故， 则， 所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为． 19．（1）；（2）；（3）数学期望为8，方差为7． 【解析】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）X的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以X的分布列为： 随机变量X服从超几何分布，且，，，所以； （3）由题意得，， ， ，，， 所以Y的数学期望为8，方差为7． 20．（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由题，，得，故． （2）因为点M在第一象限，故不可能为直角； 若，将代入曲线C：，得符合题意， 若，设点，则，， 则． 又因为点M满足，可得，此时， 与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去． 综上，点M的坐标； （3）由题可得，双曲线C：， 当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线l的斜率一定存在， 又，说明M，D，N三点共线，且M，N都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，， 设直线l的方程为，、，且，， 联立方程，可得， 显然，， ，，故， 由，可得，且． 故， 因此， 根据对勾函数的性质：y在上单调递减， 可知， 又， 故，可得． 所以，直线l斜率的取值范围为， 直线l倾斜角的取值范围为． 21．（1）是；（2）2；（3）见解析 【解析】（1）由，得，由，得， 因为，所以函数是函数的“导控函数”； （2）由，得， 由，得， 由，得， 由题意可得恒成立， 令，解得， 故，从而有，所以， 又恒成立，即恒成立， 所以，所以， 故，且“导控点”为2； （3）函数和都是定义在上的偶函数， 且是函数的“导控函数”， 因此，又，， 因此函数是函数的“导控函数”， ，即， 用代换x有， 综上可知，记， 则， 因此存在常数c使得恒成立， 综上可得，恒成立（c为常数）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年光明中学高二下期末考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．抛物线的准线方程为________． 2．若直线的一个法向量为，则实数a的值为________． 3．一质点沿直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为________． 4．已知随机变量X的分布为，则期望________． 5．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断________原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平，．） 6．若随机变量X满足，则________． 7．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则________． 8．一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率________． 9．函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________． 10．已知椭圆（）的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点P，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为________． 11．掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示．已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为________．（精确到）． 12．2026年10月，光明中学将迎来140周年华诞．现将矩形操场分割为40个单位正方形，，，，，五个点在正方形的顶点处，构成字母“M”，四个标记为的点也在正方形的顶点处，设集合，点，过点M作直线，使得不在上的的点分布在的两侧．用和分别表示一侧和另一侧的的点到的距离之和．若过点M的直线中有且仅有一条直线满足，则G中所有这样的M为________． 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 14．函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A．在处切线的斜率大于零 B．点是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．点是函数的极小值点 15．已知双曲线：，点，点A、B分别在双曲线C的左、右两支上，则向量、的夹角（ ）． A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 16．椭圆具有如下光学性质：如图，，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（ ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．某公司为了解用电量y（单位：）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温x/℃ 18 13 10 用电量y/（） 24 34 38 64 由表中数据可得回归方程中．试预测当气温为时的用电量，并求用电量在的离差． 18．已知椭圆：，O为坐标原点． （1）求的离心率e； （2）设点，点M在上，求的最大值和最小值； 19．某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记X为抽取的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望； （3）经统计，该校学生体测得分Z近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级．现从全校抽取50名学生，记Y为这50名学生中“优秀”的人数，求Y的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 20．已知双曲线C：（）的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． （1）若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率； （2）若，为直角三角形，求点M的坐标； （3）若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数（），使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 21．若定义在上的函数和分别存在导函数和，且对任意x均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． （1）试问函数是否为函数的“导控函数”？ （2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； （3）已知函数和都是定义在上的偶函数，且是函数的“导控函数”，证明：恒成立（为常数）． 学科网（北京）股份有限公司 $