2.3.3 点到直线的距离公式(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.3.3　点到直线的距离公式 1.点P（1，－1）到直线x＝－2的距离是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知点P（x0，y0）到直线x＝1的距离为1，则x0＝（　　） A.0或2 B.1或2 C.0 D.2 3.已知A（－2，4），B（－4，6）两点到直线l：ax－y＋1＝0的距离相等，则a＝（　　） A.－1或－ B.3或4 C.3 D.4 4.已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么｜OP｜的最小值为（　　） A. B.1 C. D.2 5.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 6.〔多选〕已知直线l经过点（3，4），且点A（－2，2），B（4，－2）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（　　） A.2x＋3y－18＝0 B.2x－y－2＝0 C.x＋2y＋2＝0 D.2x－3y＋6＝0 7.〔多选〕（2025·焦作月考）已知在△ABC中，A（3，2），B（－1，5），点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为（　　） A.（－1，0） B.（，8） C.（1，6） D.（－，－2） 8.已知O为坐标原点，在直线y＝k（x－4）上存在点P，使得｜OP｜＝2，则k的取值范围为　　　　. 9.（2025·南阳月考）过点P（1，2）且与原点距离最大的直线方程为　　　　. 10.在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，OA∥BC，点A（4，2），B（1，4）.求： （1）点C的坐标； （2）等腰梯形OABC的面积. 11.已知直线l：（a－2）x＋y－2a＋1＝0，直线l1：2x＋y＝6与直线l2：x－y＋3＝0的交点为A，则点A到直线l的距离最大时，a＝（　　） A.1 B.－1 C.2 D.－2 12.已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为（　　） A. B. C. D. 13.若a，b为正实数，直线x＋（a－1）y＋1＝0与直线bx＋y－1＝0互相垂直，则点（1，1）到直线ax＋by＋1＝0的距离的最大值为　　　　. 14.已知点P（2，－1）. （1）求过点P且与原点的距离为2的直线的方程； （2）是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由. 15.已知直线m：（a－1）x＋（2a＋3）y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. （1）当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程； （2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3　点到直线的距离公式 1.C　因为直线x＝－2平行于y轴，所以所求距离d＝｜－2－1｜＝3. 2.A　因为点P（x0，y0）到直线x＝1的距离为1，所以｜x0－1｜＝1，解得x0＝0或x0＝2.故选A. 3.A　由题意知，＝，整理得｜2a＋3｜＝｜4a＋5｜，即2a＋3＝±（4a＋5），解得a＝－1或a＝－.故选A. 4.A　｜OP｜的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝. 5.C　设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ（3x－y）＝0，即（1＋3λ）x＋（3－λ）y－10＝0，因为原点到直线的距离d＝＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原点相距为1的直线的条数为2. 6.AB　当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x－3），即kx－y＋4－3k＝0，由点A（－2，2），B（4，－2）到直线l的距离相等，得＝，解得k＝2或k＝－，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.故选A、B. 7.AB　设C（m，n），由｜AB｜＝5，△ABC的面积为10，得点C到边AB所在直线的距离为4.又线段AB所在直线的方程为y－5＝－（x＋1），即3x＋4y－17＝0.所以解得或故点C坐标为（－1，0）或（，8）. 8.［－，］　解析：由题意得原点到直线的距离d＝≤2，解得－≤k≤. 9.x＋2y－5＝0　解析：由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，∴所求直线方程为y－2＝－（x－1），即x＋2y－5＝0. 10.解：（1）因为OA∥BC，所以kBC＝kOA＝＝. 又B（1，4），所以直线BC的方程为y－4＝（x－1），即y＝x＋. 设C（a，a＋），由｜AB｜＝｜OC｜，得a2＋（a＋）2＝13， 解得a＝－3或a＝. 当a＝－3时，C（－3，2），kOC＝kAB＝－，OC∥AB，不符合题意， 当a＝时，C（，），kOC＝18≠－，OC与AB不平行，符合题意， 故点C的坐标为（，）. （2）｜OA｜＝＝2，｜BC｜＝＝， 点B（1，4）到直线OA：x－2y＝0的距离d＝＝， 故等腰梯形OABC的面积S＝（｜OA｜＋｜BC｜）d＝×（2＋）×＝. 11.A　由解得即A（1，4）.由直线l：（a－2）x＋y－2a＋1＝0整理得（x－2）a－2x＋y＋1＝0，由解得所以直线l过定点B（2，3），则kAB＝＝－1，kl＝－（a－2）＝2－a，则当点A到直线l的距离最大时，（－1）×（2－a）＝－1，a＝1.故选A. 12.D　表示直线2x＋y＋5＝0上的动点到点（0，－3）的距离，过点（0，－3）向直线2x＋y＋5＝0作垂线，由垂线段最短知的最小值为点（0，－3）到直线2x＋y＋5＝0的距离，即＝，故选D. 13.2　解析：因为直线x＋（a－1）y＋1＝0与直线bx＋y－1＝0互相垂直，所以b＋a－1＝0.即a＋b＝1，则点（1，1）到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝＝，因为≥（）2＝，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为，所以d≤2，所以dmax＝2. 14.解：（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，即x－2＝0，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y＋1＝k（x－2）， 即kx－y－2k－1＝0. 根据题意，得＝2，解得k＝， 所以直线方程为3x－4y－10＝0. 故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0. （2）不存在.理由如下：过点P且与原点的距离最大的直线为过点P且与OP垂直的直线，此时最大距离为｜OP｜＝＝，而6＞，故不存在过点P且与原点的距离为6的直线. 15.解：（1）联立方程组 解得即m与n的交点为（－21，－9）. 当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0； 当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1， 将（－21，－9）代入得b＝－12， 所以直线l的方程为x－y＋12＝0， 所以直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. （2）设原点O到直线m的距离为d， 则d＝＝， 解得a＝－或a＝－， 当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n； 当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $