2.3 第2课时两点间的距离、点到直线的距离 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3　直线的交点坐标与距离公式 第 2 课时　两点间距离、点到直线间的距离 【学习目标】1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．会用两点间的距离公式解决一些相关问题． 2.理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线的距离公式. 3.感受代数方程与几何问题之间的关系、领悟数形结合思想. 【学习重难点】重点：点到点、点到直线的距离公式. 难点：数形结合思想. 【概念辨析】 一、两点间的距离公式 条件 点， 结论 ＝ 特例 点到原点的距离＝ 二、点到直线的距离公式 定义 点到直线的距离，就是从点到直线的垂线段的长度 公式 点到直线的距离 说明：点到几种特殊直线的距离 (1)点到轴的距离 ； (2)点到轴的距离 ； (3)点到直线的距离 ； (4)点到直线的距离 . 【概念辨析】 1.两点间的距离为 . 2.已知三角形的三个顶点，则边上中线的长为(　 ) A． B. C． D． 3.已知点到直线的距离为，则的值是(　 ) A．5或15 B．10 C．－5 D．15 【典例分析】 例1、已知点到直线的距离不大于，求实数的取值范围． 例2、已知过点的直线，且点与点到直线的距离相等，则直线的方程为(　 ) A． B． C．或 D．或 变式1、已知点，求过点且与坐标原点距离为的直线方程. 变式2、已知点，求过点且到坐标原点距离最大的直线方程，及最大距离． 例3、用坐标法证明：在中，为边上的中线，则． 【当堂训练】 1. 已知直线与直线的交点为，则点到直线的距离为 . 2.已知为直角三角形中的三边长，其中为斜边长.若点在直线上，则的最小值为(  ) A. B. C. D. 3.（多选题）已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为(  ) A. B. C. D. 4.已知在中，点，，点在直线上.若的面积为，则点的坐标为     ． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　直线的交点坐标与距离公式 第 2 课时　两点间距离公式、点到直线间的距离公式 【学习目标】 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．会用两点间的距离公式解决一些相关问题． 2.理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线的距离公式. 3.感受代数方程与几何问题之间的关系、领悟数形结合思想. 【学习重难点】 重点：点到点、点到直线的距离公式. 难点：数形结合思想. 【概念辨析】 一、两点间的距离公式 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|＝ 特例 点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝ 二、点到直线的距离公式 定义 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段的长度 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 说明：点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； (3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|； (4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|. 【概念辨析】 1. A(2,1)，B(4,2)两点间的距离为(　 ) A．3 B．3 C. D．2 解析：选C　由两点间距离公式得|AB|＝＝. 2. 已知三角形的三个顶点A(2,4)，B(3，－6)，C(5,2)，则BC边上中线的长为(　 ) A．2 B. C．11 D．3 解析：选A　设BC的中点为D(x，y)，由中点坐标公式得所以D(4，－2)，所以|AD|＝＝＝2.故选A. 3.已知点P(－1,2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C的值是(　 ) A．5或15 B．10 C．－5 D．15 解析：选A　由点线距离公式有＝1，解得C＝15或C＝5. 【典例分析】 例1、已知点P(1, －1)到直线l: ax＋y－2＝0的距离不大于，求实数a的取值范围． 【解】 根据点到直线距离的公式得d＝≤，解得a≥或a≤－2，故实数a的取值范围是. 例2、已知过点P(1,2)的直线l，且点A(2,3)与点B(0，－5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　 ) A．4x－y－2＝0 B．4x－y＋2＝0 C．4x－y－2＝0或x＝1 D．4x－y＋2＝0或x＝1 解析：选C　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，点A(2,3)与点B(0，－5)到x＝1的距离为1，符合题意．当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由于点A(2,3)与点B(0，－5)到直线l的距离相等，则＝，解得k＝4，故直线l的方程为4x－y－2＝0，综上所述，直线l的方程为4x－y－2＝0或x＝1. 变式1、已知点，求过点且与坐标原点距离为的直线方程. 【解】 当斜率不存在时，方程，适合题意．当斜率存在时，设直线方程为，即，则，解得．所以直线方程为． 所以所求直线方程为或． 变式2、已知点，求过点且到坐标原点距离最大的直线方程，及最大距离． 【解】 过点且与原点距离最大的直线方程应为过点且与垂直的直线. 因为，则所求直线的斜率为.所以直线方程为，最大距离为．  例3、用坐标法证明：在△ABC中，AO为边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(AO2＋BO2)． 【证明】如图，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设B(－a, 0), C(a, 0), A(m, n)，则AB2＝(m＋a)2＋n2 ，AC2＝(m－a)2＋n2，故AB2＋AC2＝2(m2＋n2＋a2)．又AO2＝m2＋n2, BO2＝a2，所以AB2＋AC2＝2(AO2＋BO2)． 【当堂训练】 1. 已知直线：与直线：的交点为，则点到直线：的距离为(     ) A. B. C. D. 1. C 【解析】 因为直线：与直线：，由解得坐标为，点到直线：的距离为.故选C． 2.已知，，为直角三角形中的三边长，其中为斜边长.若点在直线：上，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 2. D【解析】 ，，为直角三角形中的三边长，为斜边长，可得，点在直线：上，又表示原点到的距离的平方， 原点到直线的距离即为所求最小值，可得最小值为．则的最小值为．故选． 3.（多选题）已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为(    ) A. B. C. D. 3. AB 【解析】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．由已知得，所以或，所以直线的方程为或．故选AB． 4.已知在中，点，，点在直线上.若的面积为，则点的坐标为                      ． 4. 或 【解析】设，由，的面积为，得点到直线的距离为.又根据直线的两点式方程得,所在直线的方程为，所以解得或，所以点的坐标为或． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $