2.3.2 两点间的距离公式 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两点间的距离公式，通过问题引入先引导学生计算水平、竖直线段长度，再过渡到斜线段，借助构造直角三角形推导公式，形成从特殊到一般的学习支架，衔接前后知识。 特色在于问题引入联系生活实际培养数学眼光，探究过程通过特殊到一般推理发展数学思维，“坐标法”步骤总结强化数学语言表达，分层习题设计提升直观想象与数学建模素养，助力学生系统掌握公式及应用方法。

2.3.2 两点间的距离公式学案 【学习目标】 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式．会用两点间的距离公式解决一些相关问题． 2.能用坐标法解决平面几何中的距离问题,体会数形结合思想的应用，培养直观想象、数学建模素养. 3.感受代数方程与几何问题之间的关系、领悟数形结合思想. 【学习重难点】 重点：两点间距离公式的推导与运用； 难点：应用两点间的距离公式证明几何问题． 【学习过程】 （一）问题引入 生活中两个物体之间的距离可以用测量工具测量，在平面直角坐标系中已知两点的坐标，如何计算水平线段和竖直线段的长度？4 （1） 在x轴上或平行于x轴的水平线段：A（-1，0）, B（3，0）则|AB|=5 （2）在y轴上或平行于y轴的竖直线段：A（2，-3）, B（2，2）则|AB|= （二）探究新知 1．如果不是上述两种特殊情况，点A和点B两点构成的线段为斜线段时该如何计算呢？ （3）A（-1，3） B（2，1）则|AB|= 解：过点A和点B分别作x轴和y轴的垂线 设两条垂线相交于点C，则C（-1，1） 此时△ACB为直角三角形，线段AB为三角形的斜边， 线段AC、线段BC为三角形的两条直角边，可求得|AC|=2，|BC|=3， 根据勾股定理得： 2. 思考：若 为直角坐标系中的任意两点，那么线段|AB|= 解：过点A和点B分别作x轴和y轴的垂线，设两条垂线相交于点C，则，且有 由勾股定理得： （3） 典型例题 例1.求下列两点间的距离： (1) A(6,0), B(−2,0); (2) C(0,−4), D(0,−1); (3) P(6,0), Q(0,−2); (4) M(2,1), N(5,−1). 2.已知在x轴上有一点B,与点A（5，12）两点间的距离是13, 求点B的坐标. 解：设点B的坐标为（a,0） 由题意可得： 解得：a=0 ，a=10 所以，所求点B的坐标为（0，0）或（10，0） 例2. 已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(1，5）， B（-3，6），C（2，9），如图所示。 （1）求三角形ABC三边的长度； （2）求证：△ABC为等腰三角形. （1） 解：由两点的距离公式代入计算得： （2） 思路：要证明三角形为等腰三角形的两种方法——有两条相等的边／有两个相等的角，根据第一问的计算结果，故我们采取的第一种方法进行证明 （2）证明：由（1）知：有|AC|＝|BC|　故△ABC为等腰三角形 例3.用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 证明：如图所示，做平面直角坐标系及三角形ABC， 设各点坐标为C（0，0），A（a，0)，B（0，b），则边AB的中点 由题意可知： 故有：|AM|=|BM|=|CM|，所以，命题得证。 [小结] 用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤： 1.建立坐标系(坐标原点, 轴和 轴)，用坐标表示有关的量；（形→数） 2.进行有关代数运算； 3.把代数运算的结果“翻译”成几何结论.（数→形） （四）课堂总结 1.用构造直角三角形和向量法的探索两点间的距离公式： 2.用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤： (1)建立坐标系(坐标原点, 轴和 轴),用坐标表示有关的量（形→数）; (2)进行有关代数运算; (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论（数→形）. (五）课后作业 【基础训练】 1.已知连接点(-2,5)和点M的线段的中点是(1,0),那么点M到原点的距离为(　B　) A.41 B. C. D.39 2.过直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点,并且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程是(　B　) A.x-3y+7=0 B.x-3y+13=0 C.x-3y+6=0 D.x-3y+5=0 3.已知过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为(　C　) A.6 B.2 C. D.不能确定 4.若直线ax+by-11=0与直线3x+4y-2=0平行,并且经过直线2x+3y-8=0和直线x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为(　B　) A.-3,-4 B.3,4 C.4,3 D.-4,-3 5.到A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　B　) A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0 6.直线x+y-1=0上与点P(-2,3)之间距离等于的点的坐标是(　C　) A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-3,4)或(-1,2) D.(-4,5)或(0,1) 7.(1)已知点A(1,-1),B(2,2),点P在直线y=x上,求|PA|2+|PB|2取得最小值时点P的坐标. (2)求过两条直线l1:x=-2与l2:2x+y=-3的交点M,且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程. 解:(1)设P(t,t),则|PA|2+|PB|2=(t-1)2+(t+1)2+(t-2)2+(t-2)2=4t2-8t+10=4(t-1)2+6, ∴当t=1时,|PA|2+|PB|2取得最小值,此时点P的坐标为(1,1). (2)由方程组解得 即点M的坐标为(-2,1). 根据题意,知当两坐标轴上的截距均为0时, 所求直线的方程为y=-x,即x+2y=0. 当两坐标轴上的截距均不为0时,设所求直线l的方程为=1, 根据题意可得解得 所以所求直线的方程为=1,即x+y+1=0.综上所述,直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0. 【创新提升】 1.已知直线:mx+4y-2=0与直线:2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m-n+p为(　B　) A.24 B.20 C.0 D.-4 2.已知等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(3,0),底边BC的长为4,BC边的中点D的坐标为(5,4),则此三角形的腰长为　　2　　　.  3.若直线l:y=kx-与直线l1:2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　(30°,90°)　　　　　　.  4.在x轴上求一点P,使得: (1)点P到点A(4,1),B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值; (2)点P到点A(4,1),C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值. 解:(1)如图,直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点, 且|PB|-|PA|=|AB|==5. ∵直线BA的斜率kBA==-,∴直线BA的方程为y=-x+4. 令y=0,得x=,即P.故距离之差的最大值为5, 此时点P的坐标为. (2)如图,作点A关于x轴的对称点A',则A'(4,-1),连接CA', 则|CA'|为所求最小值,直线CA'与x轴交点P1为所求点. 由两点间的距离公式,得|CA'|=. ∵直线CA'的斜率kCA'==-5,∴直线CA'的方程为y-4=-5(x-3). 令y=0,得x=,即P. 故距离之和的最小值为,此时点P的坐标为. 5.已知直线l:(4λ+1)x-(λ+1)y+3=0. (1)求证:直线l过定点; (2)若直线l被两平行直线l1:x-2y+2=0与l2:x-2y-6=0所截得的线段AB的中点恰好在直线2x+y+6=0上,求λ的值. (1)证明:直线l的方程可化为λ(4x-y)+x-y+3=0, 令解得 因此直线l过定点(1,4). (2)解:设直线l1,l2分别与直线2x+y+6=0交于C,D两点, 由解得 ∴点C; 由解得 ∴点D,所以CD的中点M的坐标为(-2,-2). 不妨设点A在直线l1上,点B在直线l2上,则△AMC≌△BMD,即MA=MB, 故M(-2,-2)为AB的中点.将点M的坐标代入直线l的方程,得(4λ+1)(-2)-(λ+1)(-2)+3=0,解得λ=. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $