2.2.3 直线的一般式方程 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“直线的一般式方程”，通过回顾点斜式、斜截式等已学直线方程，引导学生建立新旧知识联系，以知识梳理为支架引入一般式方程，明确学习目标与重难点。 资料特色在于知识体系完整，概念辨析结合判断与填空强化理解，典例分析涵盖多种方程转化及平行垂直问题，习题分层设计。通过问题探究培养学生数学思维（推理能力），借助方程转化训练数学语言表达（模型观念），助力学生掌握核心知识与解题方法。

2.2.3　直线的一般式方程 【学习目标】1.掌握直线的一般式方程. 2.理解关于的二元一次方程 (不同时为)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 【学习重难点】重点：掌握直线的一般式方程. 难点:理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 【知识梳理】 一、回顾已学直线方程 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 点和斜率 不垂直于轴的直线 斜截式 纵截距和斜率 不垂直于轴的直线 两点式 点 不垂直于坐标轴的直线 截距式 横截距和纵截距 不垂直于坐标轴和不经过原点的直线 二、我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 说明：直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按，常数的先后顺序排列． ③的系数一般不为分数和负数． 三、利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线 (不同时为)， (不同时为)． (1) ，且或. (2) .（同学们可以思考它与向量平行、垂直间的联系） 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式．(　 ) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　 ) (3)对于二元一次方程，当时，方程表示斜率不存在的直线．(　 ) (4)当同时为零时，方程也可表示为一条直线．(　 ) 2. 若直线过且平行于轴，则的方程为 . 3．直线的倾斜角为 . 4. 若直线经过点，则的一般式方程为 . 5．若直线与平行，则实数的值为 . 6．若直线与直线垂直，则等于 . 【典例分析】 例1、根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点； (2)经过，两点； (3)在轴、轴上的截距分别为； (4)经过点，且平行于轴． (5)经过点，平行于轴； (6)经过点，且一个方向向量为． 例2、已知直线的方程为，求直线的一般式方程，满足： (1)过点，且与平行； (2)过点，且与垂直． 变式、已知直线和直线. 若时，则的值为 ；若时，则的值为 ． 例3、设直线的方程为. (1)已知直线在轴上的截距为，求的值； (2)已知直线的斜率为，求的值． 变式、已知直线，直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点．证明：直线过定点. 【当堂训练】 1.已知直线. (1)当直线在轴上的截距是它在轴上的截距的倍时，求实数的值； (2)当直线不通过第四象限时，求实数的取值范围． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3　直线的一般式方程 【学习目标】 1.掌握直线的一般式方程(重点).2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 【学习重难点】重点：掌握直线的一般式方程. 难点理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 【知识梳理】 一、回顾直线方程 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 点P（x0,y0)和斜率k 不垂直于x轴的直线 斜截式 纵截距b和斜率k 不垂直于x轴的直线 两点式 点A(x1,y1)，B(x2,y2) 不垂直于坐标轴的直线 截距式 横截距a和纵截距b 不垂直于坐标轴和不经过原点的直线 二、我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 说明：直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． 三、利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.（同学们可以思考它与向量平行、垂直间的联系） 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式．(　 ) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　 ) (3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．(　 ) (4)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2. 若直线l过A(3,4)且平行于x轴，则l的方程为 . y=4【解析】因为直线l平行于x轴，所以其斜率为0，方程为y4=0(x3)，即y=4. 3．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　设直线的倾斜角为α，则直线斜率k＝－＝tan α，因为α∈[0，π)，则α＝，故选B. 4. 若直线l经过点A(2,0)，B(0,1)，则l的一般式方程为 . x+2y2=0【解析】方程为，即x+2y2=0. 5．若直线x＋2y－1＝0与mx－2y＋2＝0平行，则实数m的值为(　 ) A．－3 B．－1 C．1 D．2 解析：选B　由x＋2y－1＝0可知，其斜率为－，又两直线平行，所以可得＝－，解得m＝－1. 6．若直线4x＋2y－1＝0与直线ax＋4y＝0垂直，则a等于(　 ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：选B　因为直线4x＋2y－1＝0与直线ax＋4y＝0垂直，所以×＝－1，解得a＝－2. 【典例分析】 例1、根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． (5)经过点(2,1)，平行于y轴； （6）经过点(3，－5)，且一个方向向量为a＝(2,4)． 解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. (5)由题意知x＝2，即x－2＝0. (6)由直线的方向向量为a＝(2,4)，可得直线的斜率k＝2，所以所求直线方程为y＋5＝2(x－3)，即2x－y－11＝0. 例2、已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直． 解：(1)法一　由题意l的方程可化为y＝－x＋3，则l的斜率为－. 由l′与l平行，得l′的斜率为－，又l′过点(－1，3)，由点斜式知直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0. 法二　由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0，将点(－1,3)代入上式得m＝－9，所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0. (2)法一　由题意l的方程可化为y＝－x＋3，则l的斜率为－. 由l′与l垂直，得l′的斜率为， 又l′过点(－1,3)，由点斜式可得直线l′的方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0. 法二　由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0，将点(－1,3)代入上式得n＝13，所以直线l′的方程为4x－3y＋13＝0. [方法技巧] 求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程． (2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；过点(x0，y0)且与已知直线平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y1)＝0，与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2，过点(x0，y0)且与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0. （可适当渗透平行直线系、垂直直线系） 变式、已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. 若l1∥l2时，则a的值为 ；若l1⊥l2时，则a的值为 ． 解：(1)法一：利用斜截式方程　当a＝1时，显然两直线不平行． 当a≠1时，将方程ax＋2y＋6＝0化为y＝－x－3，将方程x＋(a－1)y＋a2－1＝0化为y＝x－a－1. 若直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行， 则解得a＝－1. 故当l1∥l2时，a的值为－1. 法二：利用一般式方程　当l1∥l2时，则 解得a＝－1. 故当l1∥l2时，a的值为－1. (2)法一：利用斜截式方程　当a＝1时，两直线不垂直． 当a≠1时，直线l1：ax＋2y＋6＝0的斜率k1＝－，直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0的斜率k2＝. 当l1⊥l2时，－·＝－1，解得a＝. 故当l1⊥l2时，a的值为. 法二：利用一般式方程　当l1⊥l2时，a＋2(a－1)＝0，解得a＝. 故当l1⊥l2时，a的值为. 例3、设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． 解　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝， ∴＝－3，解得m＝－. (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程 得y＝x＋， 则＝1，解得m＝－2. 变式、已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点．证明：直线l过定点； 证明：已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，则(x－2y)m＋2x－y－3＝0，由解得即直线l过定点(2,1)． 【当堂训练】 已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值； (2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围． 解：(1)由条件知，a≠0且a≠， 在直线l的方程中，令y＝0得x＝， 令x＝0得y＝， ∴＝×3，解得a＝1或a＝， 经检验，a＝1，a＝均符合要求， 故实数a的值为1或. (2)当a＝时，直线l的方程为x＋＝0. 即x＝－1，此时直线l不通过第四象限； 当a≠时，直线l的方程为y＝x＋. 直线l不通过第四象限，即 解得<a≤1， 综上所述，当直线l不通过第四象限时，实数a的取值范围为. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $