2.1.2两直线平行和垂直的判定导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.2两条直线平行和垂直的判定 【学习目标】1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件(重点). 2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题(难点)． 【学习重难点】重点：根据斜率判定两条直线平行或垂直． 难点：能应用两条直线平行或垂直解决有关问题． 【知识梳理】 一、两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 两直线的斜率都不存在 图示 说明：(1) 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合． (2) 或与重合(斜率存在)． (3) 或两条直线的斜率都不存在． 二、两条直线垂直的判定 图示 对应关系 (两直线的斜率都存在)⇔ 的斜率不存在，的斜率为 说明：(1) 成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线时，有或其中一条直线垂直于轴，另一条直线垂直于轴；而若，则一定有. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　 ) (2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．(　 ) (3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(　 ) 2.设点.若则实数的值为(　　) A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D． 3.过点和的直线平行于斜率等于的直线，则实数的值是(　　) A．4 B．1 C．1或3 D．1或4 4.已知直线的倾斜角为，且直线，则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 5.若直线的倾斜角为，直线经过点，则直线与的位置关系是________． 【典例分析】 例1、(多选题)下列条件能得到直线平行的有( ) A. 经过点，经过点 B. 的斜率为，经过点 C. 经过点，过点 D. 经过点，过点 变式、已知，若，则的值为________． 例2、已知的顶点为，若为直角三角形，求的值． 变式、（多选）满足下列条件的直线，其中的是(　 ) A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点 C．经过点，经过点 D．的方向向量为，的方向向量为 例3、已知四点，若顺次连接四点，试判定四边形的形状． 变式、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标按逆时针顺序依次为，，，，其中，试判断四边形的形状. 【当堂训练】 1．过点和点的直线与直线的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 2.已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与平行，则实数的值为(　　) A．0 B．1 C．6 D．0或6 3.(多选题)直线为两条不重合的直线，倾斜角分别为,则（ ） A．若，则的斜率相等      B．若的斜率相等，则 C．若，则 D．若，则 4.已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为______． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 【学习目标】1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件(重点).2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题(难点)． 【学习重难点】重点：根据斜率判定两条直线平行或垂直． 难点：能应用两条直线平行或垂直解决有关问题． 【知识梳理】 1、两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔ l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 2.两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔ l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－. 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　 ) (2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．(　 ) (3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2.设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,a).若PQ∥SR则实数a的值为(　　) A．6　　　　 B．－6　　　　 C．12　　　　 D．－12 C【解析】由斜率公式知kPQ＝＝－.因为PQ∥SR，所以kSR＝－，所以a＝12.故选C. 3.过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线平行于斜率等于1的直线，则实数m的值是(　　) A．4 B．1 C．1或3 D．1或4 B　【解析】由题意，知＝1，解得m＝1.故选B. 4.已知直线的倾斜角为，且直线，则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 【解析】 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率.又因为，所以由，解得.故选. 5.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是________． 平行或重合【解析】直线l1的倾斜角为135°，故斜率＝tan 135°＝－1.由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，得＝＝－1，所以＝，所以直线l1与l2平行或重合． 【典例分析】 例1 (多选题)下列条件能得到直线平行的有( ) A. 经过点，经过点 B. 的斜率为1，经过点 C. 经过点，过点 D. 经过点，过点 CD【解析】选项A， ，，与不平行；选项B, ，k1＝k2，故或与重合；选项C, ，则有k1＝k2.又，则不共线．故；选项D, 由已知点的坐标，得与均与x轴垂直且不重合，故有.故选CD. 变式、已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为________． 解析：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝，kMN＝＝.因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1.当m＝0或m＝1时，经检验，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 答案：0或1 例2、已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 解　若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， 即·＝－1，解得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1， 即·＝－1，解得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1， 即·＝－1，解得m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2. 变式、[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是(　 ) A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B．l1的斜率为－，l2经过点A(2,0)，B(3，) C．l1经过点P(2,1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1,2)，N(1,0) D．l1的方向向量为(1，m)，l2的方向向量为 解析：选BCD　kl1＝tan 45°＝1，kl2＝1，kl1·kl2≠－1，所以A不正确；kl2＝＝，kl1 kl2＝－×＝－1，故B正确；kl1＝＝1，kl2＝＝－1，kl1kl2＝－1，故C正确；因为(1，m)·＝1－1＝0，所以两直线的方向向量互相垂直，故l1⊥l2，故D正确． 例3、已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 解　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3， kBC＝＝－， ∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， ∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行． 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1， ∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形． 变式、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标按逆时针顺序依次为，，，，其中，试判断四边形的形状. 【当堂训练】 1．过点和点的直线与直线的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 B【解析】斜率都为0且不重合，所以平行．故选B. 2.已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与平行，则实数的值为(　　) A．0 B．1 C．6 D．0或6 C【解析】由直线的倾斜角为，得的斜率为.因为直线与平行，所以的斜率为.又直线经过点和，所以的斜率为，故，解得.故选C. 3.(多选题)直线为两条不重合的直线，倾斜角分别为,则（ ） 若，则的斜率相等       若的斜率相等，则 若，则 若，则 BCD【解析】因为当两条直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以错误； 因为两直线的斜率相等即斜率，且直线为两条不重合的直线，所以，所以正确； 若倾斜角，且直线为两条不重合的直线，则，所以正确； 若，则倾斜角，所以正确．故选BCD． 4.已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为______． 解析：因为直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，所以l2的斜率存在，而l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，则其斜率可能不存在，当l1的斜率不存在时，a－2＝3，即a＝5，此时l2的斜率为0，则l1⊥l2，满足题意；当l1的斜率存在时，a－2≠3，即a≠5，此时直线l1，l2的斜率均存在，由l1⊥l2得k1k2＝－1，即·＝－1，解得a＝0.综上，a的值为0或5. 答案：0或5 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $