辽宁省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷02

**基本信息** 高一数学期末模拟卷，覆盖必修三、四全册，通过选择、填空及立体几何、三角函数等综合性解答题，分层考查数学抽象、空间观念与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、立体几何、三角函数、向量|单选基础巩固（如复数共轭），多选综合辨析（如正方体动态问题）| |填空题|3题15分|纯虚数、函数值域、斜二测画法|聚焦概念辨析与计算（如纯虚数参数求解）| |解答题|5题77分|复数方程、解三角形、立体几何（面面垂直证明、线面角）、三角函数综合|注重知识交汇（如三角函数与解三角形周长最值），突出空间想象与逻辑推理（如四棱锥动态点探究）|

辽宁省2026年高一数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三全册，必修四全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是复数的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 2．设，表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 3．在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时．液面恰好过，，，的三等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（     ） A．3 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列代数式的值为的是（ ） A． B． C．     D． 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（     ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数__________． 13．已知函数，则当时，函数的值域为_____________． 14．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，复数在复平面内对应的点为． (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数． 16．已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点． (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若是上靠近的四等分点，求和平面夹角的正弦值； 18．已知，，． (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面．    (1)证明: 平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026年高一数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三全册，必修四全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是复数的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，即为， 可得，则， 所以. 2．设，表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】若，，，则或异面，故A错误； 若，，则或相交或，无法推出，故B错误； 若，，，，若相交，则， 若，则无法判断，故C错误； 若，，，过直线作平面，， ，，过直线作平面，， ，，，，， ，，故D正确． 3．在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， . 5．已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得，再由向量在向量上的投影向量定义求解即可. 【详解】因，得， 故向量在向量上的投影向量为． 6．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 7．已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出的值域，即可得到，从而得解. 【详解】当，则， 所以，则， 因为对于，不等式恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 8．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时．液面恰好过，，，的三等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“侧棱”及“侧面水平放置时液面过三等分点”，运用相似三角形面积比关系得出空出部分体积，再用总体积减空出体积得到水的体积，当“底面水平放置”时，利用体积不变及柱体体积公式建立方程，解得液面高度. 【详解】设底面的面积为，直三棱柱侧棱，因此直三棱柱总体积为， 当侧面水平放置时，上方空出部分是一个小三棱柱： 由，可得空出的小三角形与相似，相似比为，面积比为相似比的平方，即， 空出部分的体积为： 因此水的体积为： 当底面水平放置时，设液面高为，此时水的体积为， 结合体积相等：，约去得，即液面高为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列代数式的值为的是（ ） A． B． C．     D． 【答案】BC 【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合二倍角公式、同角三角函数基本关系，逐一计算各选项代数式的值，判断是否等于. 【详解】选项A：由二倍角余弦公式， 得，A错误. 选项B：由二倍角正弦公式， 得，B正确. 选项C：由同角三角函数关系， 代入得，C正确. 选项D：结合诱导公式和二倍角正弦公式计算：，D错误. 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】ABD 【分析】由正弦定理计算判断A；由同角三角函数基本关系计算判断B；由余弦定理计算判断C；由三角形面积公式计算判断D. 【详解】对于A，由 ，根据正弦定理可得 ， 即 ，则 ，故A正确； 对于B，由， 为的内角，可得， 则，故B正确； 对于C，由余弦定理得 ， 又 ，，可得 ， 整理得 ，即 ，， 则的周长为 ，故C错误； 对于D，由 ， ，得 ， 则，故D正确. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（     ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据正方体的性质，结合异面直线的定义、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可确定ABC的正误，利用展开法和点到点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A，取的中点，连接， 因为为中点，所以， 因为 ，所以， 所以过，，三点的平面截正方体所得的截面为梯形， 又， 所以梯形的高为， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 因为，所以当为的中点时，， 此时直线与所成角最大为， 当与点或重合时，直线与所成角最小， 因为，所以直线与所成角最小为， 所以异面直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于C， 因为，又平面，平面， 所以平面，所以上的点到平面的距离均相等， 所以到平面的距离为定值，又的面积固定， 所以当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，C正确； 对于D，将等腰直角三角形展开与矩形在同一个平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数__________． 【答案】 【分析】根据复数的加法和乘法运算，结合复数的概念求解即可. 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得. 13．已知函数，则当时，函数的值域为_____________． 【答案】 【详解】， 当时，，， 故的值域为. 14．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 【答案】 【详解】由斜二测画法的性质可得，原图中，，， 所以， 因此周长. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，复数在复平面内对应的点为． (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数． 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）由题意，将代入方程，可得m，n的值，即可得答案. （2）根据复数的运算法则，整理化简，可得复数，根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】（1）由题意，将代入方程可得， 整理得，即， 所以，解得， 所以. （2）由题意 ， 所以， 则复数的共轭复数 16．已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点． (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若是上靠近的四等分点，求和平面夹角的正弦值； 【答案】(1)证明：因为底面，且底面，所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以． 由为线段的中点，可知， 因为，且平面，所以平面． (2) 【分析】（1）由线面垂直及正方形的性质得、，再由线面垂直的判定定理、性质定理证明结论； （2）取的中点，连接，根据线面角的定义确定和平面夹角的平面角，最后结合已知求其正弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 因为为中点，为中点，，且， 又底面，所以底面， 所以为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故 在中，, 在中， ，即和平面夹角的正弦值为. 18．已知，，． (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 (3) 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算规则计算得到展开式，再利用二倍角公式、辅助角公式化简整理，即可得到的解析式； （2）由求出的取值范围，结合正弦函数的性质，即可计算出的最大、最小值； （3）先由结合B的范围求出角B，再利用余弦定理得到边的关系，结合基本不等式求最大值，进而得到周长最大值. 【详解】（1）由， 则. （2）当时，. 则当（即）时，取得的最大值为1； 当（即）时，取得的最小值为. 故的最大值为，最小值为. （3），即， 为的内角，. 故. . 则. 又，由余弦定理， 得，即. 由均值不等式得：， 即，从而， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形． 周长最大值：. 19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面．    (1)证明: 平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1） 可证平面，由面面垂直的判定定理即可证明；           （2） 可证平面，由线面平行的性质定理即可证明；         （3）由线面平行的判定定理得出点F在BC的处，再证得平面，所以即为EF与底面所成角，求解即可得出答案. 【详解】（1）因为底面，平面，则， 又因为底面为正方形，则 ， 且，平面， 可得平面， 又因为平面PBD，所以平面平面. （2）在正方形中，则， 且平面，平面，可知平面， 且平面，平面平面，所以. （3）存在点F在BC的处，使得平面． 在线段PA上取点K，使，连接KE，KB，EF． 在中，，即， 则，且， 在正方形中，F在BC的处，则，且， 可得，且，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，所以平面， 在AD的处取点M，连接． 中，点E，M分别为的处，则，且， 因为平面，则平面，即EF在平面上的射影MF， 可知即为EF与底面所成角，                           在中，，    若，，所以. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $