辽宁省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷04

**基本信息** 辽宁省2026年高一数学期末模拟卷覆盖必修三、四全册，以立体几何证明、三角函数变换等解答题为核心，通过分层设问（如解三角形中面积与周长范围探究），考查空间观念、运算能力与推理能力，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|三角函数定义、复数运算、棱台体积|结合斜二测直观图（第9题）考查空间观念，多选题区分度高| |填空题|3题/15分|虚数实部求解、正方体截面面积|第14题矩形动态点问题，体现数学眼光下的抽象能力| |解答题|5题/77分|立体几何证明与距离、三角函数图像变换|第19题正三棱柱面面垂直证明，考查逻辑推理；第18题三角函数平移伸缩，强化数学语言表达|

辽宁省2026年高一数学下学期期末模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三全册，必修四全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 2．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数 （   ） A． B． C． D． 3．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B．3 C． D．6 4．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（     ） A． B． C． D． 6．在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8． （    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 10．已知函数，则（   ） A． B．的定义域为 C．曲线关于点对称 D． 11．已知，，分别是的三个内角，，的对边，其中正确的命题有（ ） A．已知，，，则有两解 B．若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 C．若，，，内有一点使得与夹角为，与夹角为，则 D．已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知（，，i为虚数单位），则_________. 13．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____．    14．在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 16．如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 17．的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求角； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，求周长的取值范围． 18．已知． (1)若，求的最小正周期和初始相位； (2)根据的表达式，先经过怎样的平移变换，再经过怎样的伸缩变换后得到，请写出完整的变换过程； (3)若且对任意恒成立，求的最大值． 19．已知正三棱柱的棱长均为，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)求点到平面的距离 ． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026年高一数学下学期期末模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三全册，必修四全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 2．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将已知等式变形求出复数，再根据共轭复数的定义计算得到结果. 【详解】由， 可得， 的共轭复数. 3．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】由正弦定理，得； ，，又，. 4．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法1，因为，则， 解得，则，则， 所以. 法2，因为，则由，解得， 设，，则； 由向量减法的几何意义，可得 5．已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积. 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 6．在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，找线面所成角，直接用公式求出正弦值. 【详解】取线段的中点，连接，， 在正方体中，，分别为，的中点， 所以 平面，所以与平面所成角为， 因为，，，所以， 所以，所以. 7．（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数. 【详解】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3个. 8． （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系将切化弦，二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得； 【详解】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法求解. 【详解】如图1，过点，分别作，垂直于轴于点，， 因为等腰梯形中，，， 所以，， 又，所以，故A正确； 由斜二测画法知，故B正确； 作出其原图如图2，，，，， 则四边形的面积为，故C正确； 过点作于点，则，， 则， 于是四边形的周长为，故D错误． 10．已知函数，则（   ） A． B．的定义域为 C．曲线关于点对称 D． 【答案】ABC 【详解】A选项，，故A正确； B选项，由，解得， 则的定义域为，故B正确； C选项，令，得， 则函数的对称中心为， 令，得，则曲线关于点对称，故C正确； D选项，，故D错误． 11．已知，，分别是的三个内角，，的对边，其中正确的命题有（ ） A．已知，，，则有两解 B．若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 C．若，，，内有一点使得与夹角为，与夹角为，则 D．已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是 【答案】CD 【分析】对于A，利用余弦定理即可判断；对于B，根据余弦定理得到，根据方程有两个不相等正根列不等式即可求出判断；对于C，根据即可判断；对于D，分为为钝角和为钝角两种情况，分别讨论即可判断. 【详解】对于A，，故有唯一解，故A错误； 对于B，由余弦定理可得，即， 整理可得， 由题意可知，关于的方程有2个不相等的正根， 则，解得，且，可得，故B错误； 对于C：设，则在直角三角形中，，， 在中，有，即， 即有，整理可得， 即，故C正确； 对于D：若为钝角，如图，作于点， 有，即，即， 若为钝角，如图，作于点， 有，即，即， 综上所述， 的取值范围是，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知（，，i为虚数单位），则_________. 【答案】0 【详解】依题意， 则，解得，所以. 13．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____．    【答案】 【分析】取中点，延长，与直线交于点，与直线交于点，连接，交于点，连接，交于点，证明过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形，再求其面积即可. 【详解】取中点，因为为中点，故， 因为，分别是，的中点，所以， 由正方体性质可得，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 延长，与直线交于点，与直线交于点， 连接，交于点，连接，交于点， 则过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形， 记的交点为，则， 由已知，所以， 所以， 故过，，三点的平面截正方体所得截面面积为.    14．在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则    设，则， 所以， ， 当且仅当时，取得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）由于为纯虚数，故 且，解得， （2）,则， （3）由于是关于的一元二次实系数方程的一个根， 故，即， 则， 因此且，解得， 16．如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】建立平面直角坐标系，明确各点的坐标. （1）用表示，可得的值，可求的值. （2）设，利用可求的值. （3）利用坐标运算得到，再结合二次函数的值域求的范围. 【详解】（1）如图： 以为原点，建立如图平面直角坐标系，设，， 则，，，，，. 所以， 又，，所以. 又，所以，， 所以. （2）因为，， 由，又，所以. 故. （3）设，， 则，， 所以， 当时，；当或时，. 所以. 17．的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求角； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过正弦定理角化边，因式分解后结合余弦定理求角； （2）直接代入面积公式求解参数； （3）利用正弦定理边角互化，结合三角函数值域求周长范围. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 化简得. 因为，则，故有. 又由余弦定理， 又，得. （2）由可得， 又，联立解得. （3）由正弦定理得，故. 因，易得，又，则， 则， 因，故，得. 因此周长. 18．已知． (1)若，求的最小正周期和初始相位； (2)根据的表达式，先经过怎样的平移变换，再经过怎样的伸缩变换后得到，请写出完整的变换过程； (3)若且对任意恒成立，求的最大值． 【答案】(1)的最小正周期为，初始相位为 (2)的图象先向左平移个单位长度，得到的图象； 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到的图象 (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简得，利用最小正周期以及初始相位的定位即可求得； （2）结合函数图象变换的“左加右减、上加下减“以及伸缩变换的规律，逆向推导从到的平移、伸缩步骤； （3）根据求出，，；令，将转换为，求解不等式得；根据，求得的最大值. 【详解】（1） ； 的最小正周期，初始相位. （2）由（1）得. 的图象先向左平移个单位长度，得到的图象； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到的图象. （3）由（1）得； ； ，. 令，则. 由，得； ，即，得； ， ，； ，，解得，. ，， ，即的最大值为. 19．已知正三棱柱的棱长均为，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)求点到平面的距离 ． 【答案】(1)连接交于点，连接， 则正三棱柱中是平行四边形， 所以为的中点，又为的中点， 所以，平面， 平面， 所以平面. (2)因为为正三角形，为的中点，所以． 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，利用平行四边形性质可得，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）结合棱柱的性质，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）过作，垂足为，利用勾股定理得，利用面面垂直的性质定理得所以平面，即可得到平面的距离，进而利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）过作，垂足为， 由题意可得，，， 所以，所以， 所以的面积， 因为正三棱柱中，平面 平面， 又平面 平面，平面，且， 所以平面， 即到平面的距离为， 又的面积， 所以， 又， 所以，解得， 所以点到平面的距离为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $