辽宁省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷01

**基本信息** 覆盖必修三、四全册，通过空间几何（如菱形折起外接球）、三角综合（如含中线解三角形）等问题，分层考查数学抽象、空间观念与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、向量关系、三角函数图像、立体几何异面直线|单选第8题结合菱形折叠考查外接球表面积，体现空间想象；多选第11题正四棱台结合线面角与切球，综合空间观念| |填空题|3题/15分|三角函数平移、异面直线夹角、解三角形最值|14题用余弦定理求三角形边长最大值，考查数学思维的严谨性| |解答题|5题/77分|复数分类、向量夹角、三角函数性质、解三角形、立体几何证明|19题四棱锥递进考查面面垂直证明、二面角正切值、外接球表面积，符合高考综合题型命题趋势，培养推理能力与数学语言表达|

辽宁省2026年高一数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三全册，必修四全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（其中i为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由复数的四则运算并结合复数的模即可求解. 【详解】， 则. 2．已知平面向量，，若，则（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】根据向量数乘与加法的坐标运算法则，计算的坐标，进而结合垂直向量的数量积为0建立关于的方程并求解. 【详解】由，，可得：， 所以. 由，得：， 代入坐标计算：， 解得. 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的平方关系对所求式平方，结合已知条件计算平方结果，再根据的范围判断所求式的符号，开方后得到最终值. 【详解】， 已知，因此，结合，可得， 故，开方得. 4．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式，及余弦定理即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 在中，有， 故． 5．某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像，可得，结合周期公式可求得，代入最高点坐标可求得，即可得函数解析式. 【详解】根据函数图像可知， 周期，所以， 所以，将最高点坐标代入可得 ，所以， 解得， 当时，， 所以. 6．在中，角的对边分别为，若，，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求得，，根据向量投影的知识求得正确答案． 【详解】由余弦定理得， 得， 解得，（舍去）， 所以， 所以在上的投影为， 所以在上的投影向量为． 7．如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义结合余弦定理计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 8．已知菱形的边长为，．将沿对角折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知三棱锥为正四面体，由的截面圆半径、球心到截面圆距离和球半径构成的直角三角形求出球的半径，进而得到表面积. 【详解】已知菱形边长为，， 可得，折叠后， 因此三棱锥的所有棱长均为，即该三棱锥是正四面体. 设的外接圆圆心为，连接,则平面,三棱锥的外接球球心必在上， 连接并延长交于，则为中点，则， 则, 设三棱锥的外接球半径为，由，得， 解得，所以外接球的表面积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列说法正确的是（     ） A．复数，则 B．复数的虚部为 C． D．复数是方程在复数范围内的一个解 【答案】BC 【详解】选项A：只有两个都是实数的复数才能比较大小， 、都是虚数，不能比较大小，因此A选项错误； 选项B：的共轭复数为，虚部为，B选项正确； 选项C： ，， 等式对任意复数都成立，因此C选项正确； 选项D：方程配方得，复数范围内根为， 不是该方程的根，D选项错误. 10．已知平面向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【分析】利用向量垂直时的坐标公式判断选项A；根据已知条件，利用向量线性运算的坐标形式，建立等量关系判断选项；根据投影向量的公式，代入坐标求值即可判断选项；根据向量夹角为锐角可得数量积大于，验证共线时的的取值，即可判断选项. 【详解】解：选项A，， ， 又，，， 解得，A正确； 选项B，，， ，解得，B正确； 选项C，在上的投影向量为，则，所以， 代入坐标得，化简得，易知方程无解，C错误； 选项D，与夹角为锐角，，解得， 若与共线，则，解得， 而当时，取不到，因此与夹角为锐角时，，正确. 11．已知正四棱台侧面与底面夹角为，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．与是异面直线 B．侧棱与底面的夹角正弦值为 C．平面平面 D．若存在球与该正四棱台每个面都相切，则 【答案】ABD 【分析】由异面直线判定定理可判断A，通过平面于上的点，于点， 结合底面与侧面所成角即可判断B，通过平面平面得到，可判断C，记上下底面中心分别为，通 过且垂直于的平面截该棱台得一等腰梯形，结合这个截面图形即可判断D. 【详解】对于A，因为平面， 平面，故与是异面直线，A正确， 对于B，由正四棱台，可知在底面的投影在对角线上， 如图，作于上的点，则平面， 再作于点， 因为平面，平面， 则，由平面，， 则平面，又平面， 则，则即为正四棱台侧面与底面夹角， 不妨设，则， 侧面与底面所成夹角的平面角， 故，， 所以，B正确； 对于C，若平面平面， 由面面平行的性质定理可得：， 又， 则四边形为平行四边形， 则，又为的中点， 所以，从已知条件中无法得到这个信息，故平面平面不成立，故C错误， 对于D，先将问题转化为平面几何问题： 记上下底面中心分别为， 过且垂直于的平面截该棱台得一等腰梯形，其一半为如图所示直角梯形， 若存在球与该正四棱台每个面都相切，不妨记该内切球球心为，半径为， 因为正四棱台侧面与底面夹角为，即， 由，得， ，又， 即，解得，D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 【答案】/ 【分析】由图象的平移变换可得到的表达式，结合其对称轴，即可求得的表达式，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以， 函数的图像关于直线对称，则， 解得，又，所以，. 13．如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 【答案】/ 【详解】如图，取棱AC的中点F，连接EF，DF． 因为E，F分别是棱，AC的中点，所以， 则是异面直线DE与所成的角或其补角． 直三棱柱的所有棱长都相等，设，则， 则， 即异面直线DE与所成角的余弦值是． 14．在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值为______. 【答案】14 【分析】将已知等式利用正弦定理边化角，化简后求得，由余弦定理结合基本不等式，即可求得最大值. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 因为，所以，所以， 因为，所以， 由余弦定理得，即， 因，当且仅当时取等号， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故，当且仅当时取等号， 则b+c的最大值为14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【详解】（1）因为为实数，所以，即，所以或； （2）因为为纯虚数，所以，即，所以； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限,所以，即，所以. 16．已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3). 【分析】（1）利用数量积的定义求解. （2）利用数量积的运算律求解. （3）利用向量的夹角公式及共线向量的意义求解. 【详解】（1）由与的夹角为，得. （2）由（1）得， . （3）由向量与的夹角为锐角，得，且向量与不共线， 则，即，解得且， 所以实数的取值范围是. 17．已知函数， (1)写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式和辅助角公式化简解析式，由此求得函数的最小正周期. （2）根据（1）中所求的解析式，结合三角函数单调区间的求法，求得函数的单调递减区间. （3）求得在区间上的值域，根据在上恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，， 所以函数最小正周期为. （2）由，，解得， 故函数的单调递减区间为. （3）由得，则， 所以. 由得在上恒成立， 所以，解得，即m的取值范围是. 18．已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）在中使用余弦定理计算，再由面积公式即可求解； （3）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，又， 代入可得： ， 又，故 （2） 记边上的中线为，则， 在中，由余弦定理得， 化简可得：，解得或（舍）， 所以. （3） 设角平分线交于，， 由得： ， 化简得 ，由基本不等式得， 解得： ，当且仅当 时等号成立， 故面积最小值. 19．如图，在四棱锥中，，四边形是直角梯形，， ，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． (3)求三棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)因为四边形是直角梯形，且， 所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2) (3) 【分析】（1）根据条件得，由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理，即可求解； （2）在平面内，作，垂足为，连接，记，连接，利用几何关系及二面角的定义得是二面角的平面角，再由几何关系得，即可求解； （3）设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，利用几何关系求出外接球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）在平面内，作，垂足为，连接，记，连接， 因为平面平面，平面平面，平面，则平面， 因为，所以， 因为，，则得， 又因，，，则，即得正三角形， 则四边形是菱形，故得， 因为平面，且平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，则是二面角的平面角， 又，则， 又，故二面角的正切值为. （3）设外接圆的圆心为，连接， 则． 设三棱锥外接球的球心为，连接，过点作，垂足为， 设三棱锥外接球的半径为，则， ，解得，则， 故三棱锥外接球的表面积为． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026年高一数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三全册，必修四全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（其中i为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 2．已知平面向量，，若，则（    ） A． B．4 C． D．3 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 5．某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 6．在中，角的对边分别为，若，，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．已知菱形的边长为，．将沿对角折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列说法正确的是（     ） A．复数，则 B．复数的虚部为 C． D．复数是方程在复数范围内的一个解 10．已知平面向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 11．已知正四棱台侧面与底面夹角为，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．与是异面直线 B．侧棱与底面的夹角正弦值为 C．平面平面 D．若存在球与该正四棱台每个面都相切，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 13．如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 14．在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16．已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17．已知函数， (1)写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 18．已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 19．如图，在四棱锥中，，四边形是直角梯形，， ，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． (3)求三棱锥外接球的表面积． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $